Комплексный параметр луча

В оптике комплексный параметр луча — это комплексное число , которое задает свойства гауссова луча в определенной точке z вдоль оси луча. Обычно его обозначают q . волны луча Его можно рассчитать по вакуумной длине λ ₀ , радиусу кривизны R фазового фронта , показателю преломления n ( n =1 для воздуха) и радиусу луча w (определяемому как 1/ e ² интенсивность), согласно:

${\frac {1}{q(z)}}={\frac {1}{R(z)}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw(z)^{2}}}$.

Альтернативно, q можно рассчитать по формуле

$q(z)=z+{\frac {i\pi nw_{0}^{2}}{\lambda _{0}}}=z+z_{\mathrm {R} }i\ ,$

где z — местоположение относительно местоположения перетяжки пучка , в котором q вычисляется , z _R — диапазон Рэлея , а i — мнимая единица измерения .

Распространение луча

Комплексный параметр луча обычно используется при анализе матрицы переноса луча , который позволяет рассчитать свойства луча в любой заданной точке при его распространении через оптическую систему, если известны матрица луча и начальный комплексный параметр луча. Этот же метод можно использовать и для определения размера основной моды стабильного оптического резонатора .

Учитывая начальный параметр луча q _i , можно использовать матрицу переноса лучей оптической системы: ${\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}$, чтобы найти результирующий параметр луча q _f после того, как луч прошел систему:

$q_{f}={\frac {Aq_{i}+B}{Cq_{i}+D}}$.

Часто бывает удобно выразить это уравнение через обратные величины q :

${1 \over q_{f}}={\frac {C+D/q_{i}}{A+B/q_{i}}}$.

Распространение в свободном пространстве

Эффект распространения в свободном пространстве заключается в добавлении пройденного осевого расстояния Δ z к комплексному параметру луча:

$q_{f}=q_{i}+\Delta z$.

Интерфейсы

Для простых астигматических фундаментальных гауссовых пучков q-параметры для тангенциальной и сагиттальной плоскостей независимы . Это уже не так, если эти плоскости не совпадают с главным направлением поверхности, на которую падает луч; этот случай называется общим астигматизмом . Формулы для угла падения θ _i были выведены в статье Мэсси и Зигмана 1969 года.

Для размышления матрицы ABCD гласят:

${\begin{aligned}M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {2}{R_{I}\cos \theta _{i}}}&1\end{pmatrix}},&M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {2\cos \theta _{i}}{R_{S}}}&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Для рефракции используются:

${\begin{aligned}M_{t}&={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}{n_{r}\cos \theta _{i}}}&0\\{\frac {\cos \theta _{i}-{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}{R_{I}\cos \theta _{i}{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}}&{\frac {\cos \theta _{i}}{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}\end{pmatrix}},&M_{t}&={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {\cos \theta _{i}-{\sqrt {n_{r}^{2}-\sin ^{2}\theta _{i}}}}{R_{S}n_{r}}}&{1 \over n_{r}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Основная мода оптического резонатора

Для нахождения комплексного параметра пучка устойчивого оптического резонатора необходимо найти лучевую матрицу резонатора. Это делается путем отслеживания пути луча в резонаторе. Принимая начальную точку, найдите матрицу, которая проходит через полость, и возвращайтесь до тех пор, пока луч не окажется в том же положении и направлении, что и начальная точка. Используя эту матрицу и сделав q _i = q _f , квадратичное уравнение формируется как:

$C{q_{f}}^{2}+(D-A)q_{f}-B=0$.

Решение этого уравнения дает параметр луча для выбранного начального положения в полости, а путем распространения можно найти параметр луча для любого другого места в полости.

Ссылки

• Кочкина, Евгения (2013). Стигматические и астигматические гауссовы лучи в фундаментальном режиме: влияние выбора модели луча на оценки интерферометрической длины пути сигнала (доктор философии). Ганноверский университет Готфрида Вильгельма Лейбница.