Восстановление фокуса на основе линейного канонического преобразования

Для цифровой обработки изображений из восстановление фокуса расфокусированного изображения является некорректной задачей, поскольку при этом теряется высокочастотная составляющая. Большинство методов восстановления фокуса основаны на теории оценки глубины. Линейное каноническое преобразование (LCT) дает масштабируемое ядро, подходящее ко многим хорошо известным оптическим эффектам. Использование LCT для аппроксимации оптической системы визуализации и инвертирования этой системы теоретически позволяет восстановить расфокусированное изображение.

Глубина резкости и фокус восприятия

Объект ставится в разные положения, что приводит к эффективной фокусировке.

В фотографии глубина резкости (DOF) означает эффективное фокусное расстояние. Обычно его используют для выделения объекта и уменьшения акцента на заднем плане (и/или переднем плане). Важным показателем, связанным с глубиной резкости, является апертура объектива . Уменьшение диаметра апертуры увеличивает фокус и снижает разрешение, и наоборот.

Принцип Гюйгенса-Френеля и степень свободы.

Точки наблюдения на двух разных полях

Принцип Гюйгенса-Френеля описывает дифракцию распространения волн между двумя полями. Она принадлежит скорее оптике Фурье, чем геометрической оптике . Нарушение дифракции зависит от двух параметров обстоятельств: размера апертуры и межполюсного расстояния.

Рассмотрим поле источника и поле назначения, поле 1 и поле 0 соответственно. P ₁ (x ₁ , y ₁ ) — позиция в поле источника, P ₀ (x ₀ , y ₀ ) — позиция в поле назначения. Принцип Гюйгенса-Френеля дает формулу дифракции для двух полей U(x0 _, y0 ₎ , U(x1 _, y1 ₎ следующим образом:

$\mathbf {U} (x_{0},y_{0})={\frac {1}{j\lambda }}\int \!\int \mathbf {U} (x_{1},y_{1}){\frac {e^{jkr_{01}}}{r_{01}}}\cos \theta dx_{1}dy_{1}$

где θ обозначает угол между $r_{01}$ и $z$. Замените cos θ на ${\frac {r_{01}}{z}}$ и $r_{01}$ к
$[(x_{0}-x_{1})^{2}+(y_{0}-y_{1})^{2}+z^{2}]^{1/2}$

мы получаем

$\mathbf {U} (x_{0},y_{0})={\frac {1}{j\lambda z}}\int \!\int \mathbf {U} (x_{1},y_{1}){\frac {\exp(jkz[1+({\frac {x_{0}-x_{1}}{z}})^{2}+({\frac {y_{0}-y_{1}}{z}})^{2}]^{1/2})}{1+({\frac {x_{0}-x_{1}}{z}})^{2}+({\frac {y_{0}-y_{1}}{z}})^{2}}}dx_{1}dy_{1}$

Дальнейшее расстояние z или меньшая апертура (x ₁ ,y ₁ ) вызывают большую дифракцию. Большая глубина резкости может привести к более эффективному сфокусированному распределению волн. Кажется, это конфликт. Вот обозначения:

• Дифракция
  • В реальной среде визуализации глубины объектов по сравнению с апертурой обычно недостаточно, чтобы привести к серьезной дифракции.
  • Однако достаточно большая глубина объекта может действительно размыть изображение.
• Эффективный фокус
  • Маленькая апертура, небольшой радиус размытия, мало волновой информации.
  • Теряет детализацию по сравнению с большой диафрагмой.

В заключение, дифракция объясняет микроповедение, тогда как глубина резкости демонстрирует макроповедение. Оба они связаны с размером апертуры.

Линейное каноническое преобразование

В значении слова «канонический» линейное каноническое преобразование (LCT) представляет собой масштабируемое преобразование, которое соединяется со многими важными ядрами, такими как преобразование Френеля , преобразование Фраунгофера и дробное преобразование Фурье . Им можно легко управлять с помощью четырех параметров: a , b , c , d (3 степени свободы). Определение:

Общая система визуализации с двумя распространяющимися в свободном пространстве и одной тонкой линзой, проходящей через

$L_{M}(f(u))=\int L_{M}(u,u')f(u')du'$

где

$L_{M}(u,u')={\begin{cases}{\sqrt {\frac {1}{b}}}e^{-j\pi /4}e^{[j\pi ({\frac {d}{b}}u^{2})-2{\frac {1}{b}}uu'+{\frac {a}{b}}u'^{2}]},&{\mbox{if }}b\neq 0\\{\sqrt {d}}e^{{\frac {j}{2}}cdu^{2}}\delta (u'-du),&{\mbox{if }}b=0\end{cases}}$

Рассмотрим общую систему формирования изображений с расстоянием до объекта z ₀ , фокусным расстоянием тонкой линзы f и расстоянием визуализации z ₁ . Эффект распространения в свободном пространстве действует почти как чирп -свертка , то есть формула дифракции. Кроме того, эффект распространения в тонкой линзе действует как умножение чирпа. Все параметры упрощены как параксиальные приближения с учетом распространения в свободном пространстве. Размер диафрагмы не учитывается.

Из свойств LCT можно получить следующие 4 параметра для этой оптической системы:

${\begin{bmatrix}1-{\frac {z_{1}}{f}}\quad &\lambda z_{0}-{\frac {\lambda z_{0}z_{1}}{f}}+\lambda z_{1}\\-{\frac {1}{\lambda f}}\quad &1-{\frac {z_{0}}{f}}\end{bmatrix}}$

Как только значения z ₁ , z ₀ и f известны, LCT может моделировать любую оптическую систему.

Ссылки

• Халдун М. Озактас; Зеев Залевский ; М. Альпер Кутай (2001). Дробное преобразование Фурье с приложениями в оптике и обработке сигналов . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN  978-0-471-96346-2 .
• М. Сорель и Дж. Флюссер, «Пространственно-вариантное восстановление изображений, ухудшенных размытием изображения при движении камеры», IEEE Transactions on Image Processing , vol. 17, стр. 105–116, февраль 2008 г.
• «Как работает зум-объектив» . Йос Шнайдер Оптише Верке ГмбХ. Февраль 2008 г. Архивировано из оригинала 8 мая 2012 г.
• Б. Баршан, М. Альпер Кутай и Х. М. Озактас , «Оптимальная фильтрация с линейными каноническими преобразованиями», Optics Communications , vol. 135, стр. 32–36, февраль 1997 г.