Тавтологическая одноформа

Не путать с симплектическим многообразием § Определение или симплектическим векторным пространством .

В математике тавтологическая форма — это специальная 1-форма, определенная на кокасательном расслоении. $T^{*}Q$ многообразия ​ $Q.$ В физике он используется для создания соответствия между скоростью точки механической системы и ее импульсом, обеспечивая тем самым мост между механикой Лагранжа и механикой Гамильтона (на многообразии $Q$).

Внешняя производная этой формы определяет симплектическую форму, дающую $T^{*}Q$ строение симплектического многообразия . Тавтологическая одноформа играет важную роль в связи формализма гамильтоновой механики и лагранжевой механики . Тавтологическую одну форму иногда также называют одной формой Лиувилля , одной формой Пуанкаре , канонической одной формой или симплектическим потенциалом . Аналогичным объектом является каноническое векторное поле на касательном расслоении .

Чтобы определить тавтологическую форму, выберите координатную схему $U$ на $T^{*}Q$ и каноническую систему координат на $U.$ Выберите произвольную точку $m\in T^{*}Q.$ По определению коткасательного расслоения $m=(q,p),$ где $q\in Q$ и $p\in T_{q}^{*}Q.$ Тавтологическая одноформа $\theta _{m}:T_{m}T^{*}Q\to \mathbb {R}$ дается

$$\theta _{m}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dq^{i},$$

с $n=\mathop {\text{dim}} Q$ и $(p_{1},\ldots ,p_{n})\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ являющееся координатным представлением $p.$

Любые координаты на $T^{*}Q$ которые сохраняют это определение с точностью до полного дифференциала ( точной формы ), могут быть названы каноническими координатами; преобразования между различными каноническими системами координат известны как канонические преобразования .

Каноническая симплектическая форма , также известная как двуформа Пуанкаре , определяется выражением

$$\omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}$$

Распространение этой концепции на общие пучки волокон известно как форма припоя . По соглашению, фраза «каноническая форма» используется всякий раз, когда форма имеет уникальное каноническое определение, и термин «форма припоя», когда необходимо сделать произвольный выбор. В алгебраической геометрии и комплексной геометрии термин «канонический» не рекомендуется из-за путаницы с каноническим классом , а термин «тавтологический» предпочтителен, как и в тавтологическом расслоении .

Бескоординатное определение

Тавтологическую 1-форму также можно довольно абстрактно определить как форму в фазовом пространстве . Позволять $Q$ быть многообразием и $M=T^{*}Q$ быть кокасательным расслоением или фазовым пространством . Позволять

$$\pi :M\to Q$$

— проекция канонического расслоения, и пусть

$$\mathrm {d} \pi :TM\to TQ$$

быть индуцированным касательным отображением . Позволять $m$ быть точкой на $M.$ С $M$ это котангенс, мы можем понять $m$ быть картой касательного пространства в $q=\pi (m)$:

$$m:T_{q}Q\to \mathbb {R} .$$

То есть у нас это есть $m$ находится в волокнах $q.$ Тавтологическая одноформа $\theta _{m}$ в точку $m$ тогда определяется как

$$\theta _{m}=m\circ \mathrm {d} _{m}\pi .$$

Это линейная карта

$$\theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R}$$

и так

$$\theta :M\to T^{*}M.$$

Симплектический потенциал

Симплектический потенциал обычно определяется несколько более свободно, а также определяется только локально: это любая одноформенная $\phi$ такой, что $\omega =-d\phi$; по сути, симплектические потенциалы отличаются от канонической 1-формы замкнутой формой .

Свойства

Тавтологическая форма — это единственная форма, которая «отменяет» откат . То есть пусть $\beta$ быть 1-формой на $Q.$ $\beta$ это раздел $\beta :Q\to T^{*}Q.$ Для произвольной 1-формы $\sigma$ на $T^{*}Q,$ откат $\sigma$ к $\beta$ это, по определению, $\beta ^{*}\sigma :=\sigma \circ \beta _{*}.$ Здесь, $\beta _{*}:TQ\to TT^{*}Q$ это вперед продвижение $\beta .$ Нравиться $\beta ,$ $\beta ^{*}\sigma$ является 1-формой на $Q.$ Тавтологическая одноформа $\theta$ единственная форма со свойством, которое $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ за каждую 1-форму $\beta$ на $Q.$

showДоказательство.

For a chart $(\{q^{i}\}_{i=1}^{n},U)$ on $Q$ (where $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}),$ let $\{p_{i},q^{i}\}_{i=1}^{n}$ be the coordinates on $T^{*}Q,$ where the fiber coordinates $\{p_{i}\}_{i=1}^{n}$ are associated with the linear basis $\{dq^{i}\}_{i=1}^{n}.$ By assumption, for every ${\mathbf {q} }=(q^{1},\ldots ,q^{n})\in U,$

$$\beta ({\mathbf {q} })=\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(\mathbf {q} )\,dq^{i},$$

or

$$\mathbf {q} =(q^{1},\ldots ,q^{n})\ {\stackrel {\beta }{\to }}\ (\underbrace {q^{1},\ldots ,q^{n}} _{\mathbf {q} },\underbrace {\beta _{1}(\mathbf {q} ),\ldots ,\beta _{n}(\mathbf {q} } _{\mathbf {p} })).$$

It follows that

$$\beta _{*}\left({\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\right)={\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \beta _{j}}{\partial q^{i}}}{\Biggl |}_{\mathbf {q} }\cdot {\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\Biggl |}_{\beta (\mathbf {q} )}$$

which implies that

$$(\beta ^{*}\,dq^{i})\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }=dq^{i}\left[\beta _{*}\left({\partial /\partial q^{j}}\right)_{\mathbf {q} }\right]=\delta _{ij}.$$

Step 1. We have

$${\begin{aligned}(\beta ^{*}\theta )\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }&=\theta \left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)=\left(\sum _{j=1}^{n}p_{j}dq^{j}\right)\left(\beta _{*}\left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }\right)\\&=\beta _{i}(\mathbf {q} )=\beta \left(\partial /\partial q^{i}\right)_{\mathbf {q} }.\end{aligned}}$$

Step 1'. For completeness, we now give a coordinate-free proof that $\beta ^{*}\theta =\beta ,$ for any 1-form $\beta .$

Observe that, intuitively speaking, for every $q\in Q$ and $p\in T_{q}^{*}Q,$ the linear map $d\pi _{(q,p)}$ in the definition of $\theta$ projects the tangent space $T_{(q,p)}T^{*}Q$ onto its subspace $T_{q}Q.$ As a consequence, for every $q\in Q$ and $v\in T_{q}Q,$

$$d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=v,$$

where $\beta _{*q}$ is the instance of $\beta _{*}$ at the point $q\in Q,$ that is,

$$\beta _{*q}:T_{q}Q\to T_{\beta (q)}T^{*}Q.$$

Applying the coordinate-free definition of $\theta$ to $\theta _{\beta (q)},$ obtain

$$(\beta ^{*}\theta )_{q}v=\theta _{\beta (q)}(\beta _{*q}v)=\beta (q)(d\pi _{\beta (q)}(\beta _{*q}v))=\beta (q)v.$$

Step 2. It is enough to show that $\alpha =0$ if $\beta ^{*}\alpha =0,$ for every one-form $\beta .$ Let

$$\alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dq^{i}+\sum _{i=1}^{n}\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )\,dp_{i},$$

where $\alpha _{p^{i}},\alpha _{q^{i}}\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}\times U,\mathbb {R} ).$

Substituting $v=\left(\partial /\partial q_{i}\right)_{\mathbf {q} }$ into the identity $\alpha (\beta _{*}v)=0$ obtain

$$\alpha (\partial /\partial q^{i})_{\beta (\mathbf {q} )}+\sum _{j=1}^{n}(\partial \beta _{j}/\partial q^{i})_{\mathbf {q} }\cdot \alpha (\partial /\partial p_{j})_{\beta (\mathbf {q} )}=0,$$

or equivalently, for any choice of $n$ functions $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ),$

$$\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )+\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0.$$

Let $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}dq^{j},$ where $c_{j}={\text{const}}.$ In this case, $\beta _{j}=c_{j}.$ For every $\mathbf {q} \in U$ and $c_{j}\in \mathbb {R} ,$

$$\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}}=0.$$

This shows that $\alpha _{q^{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ on $\mathbb {R} ^{n}\times U,$ and the identity

$$\sum _{j=1}^{n}\partial p_{j}/\partial q^{i}\cdot \alpha _{p_{j}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$$

must hold for an arbitrary choice of functions $p_{i}=\beta _{i}(\mathbf {q} ).$ If $\beta =\sum _{j=1}^{n}c_{j}q^{j}dq^{j}$ (with ${}^{j}$ indicating superscript) then $\beta _{j}=c_{j}q^{j},$ and the identity becomes

$$\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ){\bigl |}_{j=1\ldots n}^{p_{j}=c_{j}q^{j}}=0,$$

for every $\mathbf {q} \in U$ and $c_{j}\in \mathbb {R} .$ Since $c_{j}=p^{j}/q^{j},$ we see that $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0,$ as long as $q^{j}\neq 0$ for all $j.$ On the other hand, the function $\alpha _{p_{i}}$ is continuous, and hence $\alpha _{p_{i}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=0$ on $\mathbb {R} ^{n}\times U.$

Итак, путем коммутации между обратным образом и внешней производной,

$$\beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}\,d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta .$$

Действие

Если $H$ является гамильтонианом на кокасательном расслоении и $X_{H}$ — его гамильтоново векторное поле , то соответствующее действие $S$ дается

$$S=\theta (X_{H}).$$

Говоря более прозаически, гамильтонов поток представляет собой классическую траекторию механической системы, подчиняющуюся уравнениям движения Гамильтона-Якоби . Гамильтонов поток является интегралом векторного поля Гамильтона, поэтому, используя традиционные обозначения для переменных действия-угла , можно записать :

$$S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}$$

под интегралом понимают многообразие, определяемое сохранением энергии $E$ постоянный: $H=E={\text{const}}.$

псевдоримановых

Если многообразие $Q$ имеет риманову или псевдориманову метрику $g,$ тогда соответствующие определения можно дать в терминах обобщенных координат . В частности, если мы возьмем метрику в качестве отображения

$$g:TQ\to T^{*}Q,$$

затем определите

$$\Theta =g^{*}\theta$$

и

$$\Omega =-d\Theta =g^{*}\omega$$

В обобщенных координатах $(q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})$ на $TQ,$ у одного есть

$$\Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}$$

и

$$\Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}$$

Метрика позволяет определить сферу единичного радиуса в $T^{*}Q.$ Каноническая одноформа, ограниченная этой сферой, образует контактную структуру ; контактная структура может использоваться для создания геодезического потока для этой метрики.

Ссылки

• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон ISBN   0-8053-0102-X См. раздел 3.2 .