Касательный пучок

Неформально, касательное расслоение многообразия (которое в данном случае представляет собой круг) получается путем рассмотрения всех касательных пространств (вверху) и их плавного и непересекающегося соединения (внизу).

Касательное расслоение — это совокупность всех касательных пространств для всех точек многообразия , структурированная таким образом, что она сама образует новое многообразие. Формально в дифференциальной геометрии касательное расслоение дифференцируемого многообразия $M$ является многообразием $TM$ который собирает все касательные векторы в $M$. Как множество, оно задается непересекающимся объединением касательных пространств $M$. То есть,

${\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}$

где $T_{x}M$ обозначает касательное пространство к $M$ в точку $x$. Итак, элемент $TM$ можно рассматривать как пару $(x,v)$, где $x$ это точка в $M$ и $v$ является касательным вектором к $M$ в $x$.

Есть естественная проекция

$\pi :TM\twoheadrightarrow M$

определяется $\pi (x,v)=x$. Эта проекция отображает каждый элемент касательного пространства. $T_{x}M$ в одну точку $x$.

Касательное расслоение имеет естественную топологию (описанную в разделе ниже ). В этой топологии касательное расслоение к многообразию является прототипом векторного расслоения (которое представляет собой расслоение , слои которого являются векторными пространствами ). Раздел ​ ​ $TM$ векторное поле на $M$, и двойственное расслоение на $TM$ — кокасательное расслоение , которое представляет собой несвязное объединение пространств кокасательных $M$. По определению, многообразие $M$ распараллеливаемо тогда и только тогда , когда касательное расслоение тривиально . По определению, многообразие $M$ оснащено тогда и только тогда , когда касательное расслоение $TM$ стабильно тривиален, то есть для некоторого тривиального расслоения $E$ сумма Уитни $TM\oplus E$ тривиально. Например, n -мерная сфера S ^н оформлен для всех n , но распараллеливаем только для n = 1, 3, 7 (по результатам Ботта-Милнора и Кервера).

Роль

Одна из основных ролей касательного расслоения — предоставить область определения и диапазон для производной гладкой функции. А именно, если $f:M\rightarrow N$ является гладкой функцией, при этом $M$ и $N$ гладкие многообразия, его производная — гладкая функция $Df:TM\rightarrow TN$.

Топология и гладкая структура

Касательное расслоение имеет естественную топологию ( а не топологию непересекающегося объединения ) и гладкую структуру , позволяющую превратить его в самостоятельное многообразие. Размерность $TM$ в два раза больше размерности $M$.

Каждое касательное пространство n -мерного многообразия является n -мерным векторным пространством. Если $U$ является открытым сжимаемым подмножеством $M$, то существует диффеоморфизм $TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}$ который ограничивается линейным изоморфизмом из каждого касательного пространства $T_{x}U$ к $\{x\}\times \mathbb {R} ^{n}$. Однако как многообразие $TM$ не всегда диффеоморфно многообразию произведений $M\times \mathbb {R} ^{n}$. Когда оно имеет форму $M\times \mathbb {R} ^{n}$, то касательное расслоение называется тривиальным . Тривиальные касательные расслоения обычно возникают для многообразий, снабженных «совместимой групповой структурой»; например, в случае, когда многообразие является группой Ли . Касательное расслоение единичной окружности тривиально, поскольку оно является группой Ли (относительно умножения и ее естественной дифференциальной структуры). Однако неверно, что все пространства с тривиальными касательными расслоениями являются группами Ли; Многообразия, имеющие тривиальное касательное расслоение, называются параллелизуемыми . Точно так же, как многообразия локально моделируются в евклидовом пространстве , касательные расслоения локально моделируются в евклидовом пространстве. $U\times \mathbb {R} ^{n}$, где $U$ является открытым подмножеством евклидова пространства.

Если M — гладкое n -мерное многообразие, то оно снабжено атласом карт $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$, где $U_{\alpha }$ представляет собой открытый набор в $M$ и

$\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}$

является диффеоморфизмом . Эти местные координаты на $U_{\alpha }$ порождать изоморфизм $T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ для всех $x\in U_{\alpha }$. Затем мы можем определить карту

${\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}$

к

${\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)$

Мы используем эти карты для определения топологии и гладкой структуры на $TM$. Подмножество $A$ из $TM$ открыт тогда и только тогда, когда

${\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)$

открыт в $\mathbb {R} ^{2n}$ для каждого $\alpha .$ Эти отображения являются гомеоморфизмами между открытыми подмножествами $TM$ и $\mathbb {R} ^{2n}$ и поэтому служат диаграммами плавной структуры на $TM$. Функции перехода на диаграмме перекрываются $\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)$ индуцируются матрицами Якоби соответствующего преобразования координат и, следовательно, являются гладкими отображениями между открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{2n}$.

Касательное расслоение является примером более общей конструкции, называемой векторным расслоением (которое само по себе является особым видом расслоения ). Явно, касательное расслоение к $n$-мерное многообразие $M$ может быть определен как ранг $n$ векторный расслоение над $M$ чьи функции перехода задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

Примеры

Самый простой пример – это $\mathbb {R} ^{n}$. В этом случае касательное расслоение тривиально: каждое $T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}$ канонически изоморфен $T_{0}\mathbb {R} ^{n}$ через карту $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ который вычитает $x$, дающий диффеоморфизм $T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$.

Другой простой пример — единичный круг , $S^{1}$ (см. картинку выше). Касательное расслоение окружности также тривиально и изоморфно $S^{1}\times \mathbb {R}$. Геометрически это цилиндр бесконечной высоты.

Единственные касательные пучки, которые можно легко визуализировать, - это пучки реальной линии. $\mathbb {R}$ и единичный круг $S^{1}$, оба из которых тривиальны. Для двумерных многообразий касательное расслоение четырехмерно и, следовательно, его трудно визуализировать.

Простым примером нетривиального касательного расслоения является единичная сфера. $S^{2}$: это касательное расслоение нетривиально как следствие теоремы о волосатом шаре . Следовательно, сфера не распараллеливаема .

Векторные поля

Гладкое присвоение касательного вектора каждой точке многообразия называется векторным полем . В частности, векторное поле на многообразии $M$ это гладкая карта

$V\colon M\to TM$

такой, что $V(x)=(x,V_{x})$ с $V_{x}\in T_{x}M$ для каждого $x\in M$. На языке расслоений такое отображение называется сечением . Векторное поле на $M$ поэтому является сечением касательного расслоения $M$.

Набор всех векторных полей на $M$ обозначается $\Gamma (TM)$. Векторные поля можно складывать поточечно.

$(V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}$

и умноженный на гладкие функции на M

$(fV)_{x}=f(x)V_{x}$

чтобы получить другие векторные поля. Набор всех векторных полей $\Gamma (TM)$ затем принимает структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на M , обозначаемой $C^{\infty }(M)$.

Локальное векторное поле на $M$ является локальным сечением касательного расслоения. То есть локальное векторное поле определено только на некотором открытом множестве. $U\subset M$ и присваивает каждой точке $U$ вектор в соответствующем касательном пространстве. Набор локальных векторных полей на $M$ образует структуру, известную как пучок действительных векторных пространств на $M$.

Приведенная выше конструкция одинаково хорошо применима и к кокасательному расслоению – дифференциальным 1-формам на $M$ являются в точности сечениями коткасательного расслоения $\omega \in \Gamma (T^{*}M)$, $\omega :M\to T^{*}M$ которые соответствуют каждой точке $x\in M$ 1-ковектор $\omega _{x}\in T_{x}^{*}M$, которые сопоставляют касательные векторы с действительными числами: $\omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R}$. Эквивалентно, дифференциальная 1-форма $\omega \in \Gamma (T^{*}M)$ отображает гладкое векторное поле $X\in \Gamma (TM)$ к гладкой функции $\omega (X)\in C^{\infty }(M)$.

Касательные расслоения высшего порядка

Поскольку касательное расслоение $TM$ само по себе является гладким многообразием, касательное расслоение второго порядка можно определить путем многократного применения конструкции касательного расслоения:

$T^{2}M=T(TM).\,$

В целом, $k$Касательное расслоение го порядка $T^{k}M$ может быть определено рекурсивно как $T\left(T^{k-1}M\right)$.

Гладкая карта $f:M\rightarrow N$ имеет индуцированную производную, для которой касательное расслоение является подходящей областью и диапазоном $Df:TM\rightarrow TN$. Аналогичным образом, касательные расслоения более высокого порядка обеспечивают область определения и диапазон для производных более высокого порядка. $D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N$.

Отдельной, но родственной конструкцией являются пучки струй на многообразии, которые представляют собой пучки, состоящие из струй .

Каноническое векторное поле на касательном расслоении

На каждом касательном расслоении $TM$, рассматриваемый как само многообразие, можно определить каноническое векторное поле $V:TM\rightarrow T^{2}M$ как диагональное отображение касательного пространства в каждой точке. Это возможно, потому что касательное пространство векторного пространства W, естественно, является произведением: $TW\cong W\times W,$ поскольку само векторное пространство плоское и, следовательно, имеет естественное диагональное отображение $W\to TW$ данный $w\mapsto (w,w)$ в соответствии с этой структурой продукта. Применение этой структуры произведения к касательному пространству в каждой точке и глобализация дает каноническое векторное поле. Неформально, хотя многообразие $M$ искривлено, каждое касательное пространство в точке $x$, $T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}$, плоское, поэтому касательное многообразие расслоения $TM$ локально является продуктом искривленной $M$ и квартира $\mathbb {R} ^{n}.$ Таким образом, касательное расслоение касательного расслоения локально (используя $\approx$ для «выбора координат» и $\cong$ для «естественной идентификации»):

$T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})$

и карта $TTM\to TM$ – проекция на первые координаты:

$(TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).$

Разделение первой карты по нулевой секции и второй карты по диагонали дает каноническое векторное поле.

Если $(x,v)$ являются локальными координатами для $TM$, векторное поле имеет выражение

$V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.$

Более кратко, $(x,v)\mapsto (x,v,0,v)$ – первая пара координат не меняется, потому что это сечение пучка, а это всего лишь точка в базовом пространстве: последняя пара координат – это само сечение. Это выражение для векторного поля зависит только от $v$, не на $x$, поскольку естественным путем можно идентифицировать только касательные направления.

В качестве альтернативы рассмотрим скалярную функцию умножения:

${\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}$

Производная этой функции по переменной $\mathbb {R}$ во время $t=1$ это функция $V:TM\rightarrow T^{2}M$, что является альтернативным описанием канонического векторного поля.

Существование такого векторного поля на $TM$ аналогична канонической одной форме на кокасательном расслоении . Иногда $V$ также называется векторным полем Лиувилля или радиальным векторным полем . С использованием $V$ можно охарактеризовать касательное расслоение. По сути, $V$ можно охарактеризовать с помощью 4 аксиом, и если многообразие имеет векторное поле, удовлетворяющее этим аксиомам, то многообразие является касательным расслоением, а векторное поле является каноническим векторным полем на нем. См., например, Де Леон и др.

Лифты

Существуют различные способы подъема предметов на $M$ в объекты на $TM$. Например, если $\gamma$ представляет собой кривую в $M$, затем $\gamma '$ ( тангенс ​ $\gamma$) представляет собой кривую $TM$. Напротив, без дальнейших предположений о $M$ (скажем, римановой метрики не существует ), аналогичного подъема в кокасательное расслоение .

Вертикальный подъем функции $f:M\rightarrow \mathbb {R}$ это функция $f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R}$ определяется $f^{\vee }=f\circ \pi$, где $\pi :TM\rightarrow M$ является канонической проекцией.

См. также

• Толчок вперед (дифференциал)
• Единичный касательный пучок
• Котангенс расслоение
• Комплект рамок
• Музыкальный изоморфизм

Ссылки

• Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , том. 107, Провиденс: Американское математическое общество . ISBN   978-0-8218-4815-9
• Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. дои : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN  978-1-4419-9981-8 .
• Юрген Йост , Риманова геометрия и геометрический анализ , (2002) Springer-Verlag, Берлин. ISBN   3-540-42627-2
• Ральф Абрахам и Джеррольд Э. Марсден , Основы механики , (1978) Бенджамин-Каммингс, Лондон. ISBN   0-8053-0102-X
• Леон, М. Де; Мерино, Э.; Убинья, JA; Сальгадо, М. (1994). «Характеристика касательных и стабильных касательных расслоений» (PDF) . Annales de l'IHP: Physique Théorique . 61 (1): 1–15.
• Гудмундссон, Зигмундур; Каппос, Элиас (2002). «О геометрии касательных расслоений». Экспозиции Mathematicae . 20 : 1–41. дои : 10.1016/S0723-0869(02)80027-5 .

Внешние ссылки

• «Касательное расслоение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Tangent Bundle
• PlanetMath: Касательный пакет