Непересекающееся объединение (топология)

В общей топологии и смежных областях математики дизъюнктное объединение (также называемое прямой суммой , свободным объединением , свободной суммой , топологической суммой или копроизведением ) семейства топологических представляет пространств собой пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения основных множеств. с естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения . Грубо говоря, в непересекающемся объединении данные пространства рассматриваются как часть единого нового пространства, где каждое выглядит как бы по отдельности и изолировано друг от друга.

Название «копродукт» происходит от того факта, что непересекающееся объединение является категориальным двойником продукта конструкции пространства .

Определение

Пусть { X _i : i ∈ I } — семейство топологических пространств с I. индексом Позволять

$X=\coprod _{i}X_{i}$

быть дизъюнктным объединением основных множеств. Для каждого i в I пусть

$\varphi _{i}:X_{i}\to X\,$

быть канонической инъекцией (определяемой $\varphi _{i}(x)=(x,i)$). Топология непересекающегося объединения на X определяется как тончайшая топология на X, для которой все канонические инъекции $\varphi _{i}$ непрерывны , (т.е. это окончательная топология на X индуцированная каноническими инъекциями).

Явно топологию непересекающегося объединения можно описать следующим образом. Подмножество U множества X открыто когда в X тогда и только тогда, его прообраз $\varphi _{i}^{-1}(U)$ открыто в X _i для каждого i ∈ I . Еще одна формулировка состоит в том, что подмножество V множества X открыто относительно X тогда и только тогда, когда его пересечение с X _i открыто относительно X _i для каждого i .

Свойства

Дизъюнктное объединенное пространство X вместе с каноническими инъекциями может характеризоваться следующим универсальным свойством : если Y — топологическое пространство, а f _i : X _i → Y — непрерывное отображение для каждого i ∈ I , то существует в точности одно непрерывное отображение f : X → Y такое, что следующий набор диаграмм коммутирует :

Characteristic property of disjoint unions

Это показывает, что дизъюнктное объединение является копроизведением в категории топологических пространств . Из приведенного выше универсального свойства следует, что отображение f : X → Y непрерывно тогда и только тогда, когда f _i = f o φ _i непрерывно для всех i в I .

не только непрерывны, но и _{Канонические инъекции φ i} : X _i → X являются открытыми и замкнутыми отображениями . Отсюда следует, что инъекции являются топологическими вложениями, что каждое X _i можно канонически рассматривать как подпространство X так .

Примеры

Если каждое X _i гомеоморфно , фиксированному пространству A то дизъюнктное объединение X гомеоморфно пространству- произведению A × I , где I имеет дискретную топологию .

Сохранение топологических свойств

• Каждое дизъюнктное объединение дискретных пространств дискретно.
• Разделение
  • Каждое дизъюнктное объединение T ₀ пространств есть T ₀
  • Каждое дизъюнктное объединение T ₁ пространств есть T ₁
  • Каждое непересекающееся объединение хаусдорфовых пространств является хаусдорфовым.
• Связность
  • Дизъюнктное объединение двух или более непустых топологических пространств несвязно.

См. также

• топология продукта , двойная конструкция
• топология подпространства и ее двойственная фактортопология
• топологическое объединение — обобщение на случай, когда части не пересекаются.