Когерентная топология

В топологии когерентная топология — это топология , которая однозначно определяется семейством подпространств . Грубо говоря, топологическое пространство когерентно с семейством подпространств, если оно является топологическим объединением этих подпространств. Ее также иногда называют слабой топологией, порожденной семейством подпространств, и это понятие сильно отличается от понятия слабой топологии , порожденной набором отображений.

Определение

Позволять $X$ быть топологическим пространством и пусть $C=\left\{C_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ быть семейством подмножеств $X,$ каждое со своей индуцированной топологией подпространства. (Обычно $C$ будет кавер на $X$.) Затем $X$ говорят, что он согласуется с $C$ (или определяется $C$) если топология $X$ восстанавливается как полученная из окончательной топологии, коиндуцированной картами включения $$i_{\alpha }:C_{\alpha }\to X\qquad \alpha \in A.$$По определению, это лучшая топология на (базовом наборе) $X$ для которых отображения включения непрерывны . $X$ согласуется с $C$ если выполняется любое из следующих двух эквивалентных условий:

• Подмножество $U$ открыт ​ в $X$ тогда и только тогда, когда $U\cap C_{\alpha }$ открыт в $C_{\alpha }$ для каждого $\alpha \in A.$
• Подмножество $U$ закрыт ​ в $X$ тогда и только тогда, когда $U\cap C_{\alpha }$ закрыт в $C_{\alpha }$ для каждого $\alpha \in A.$

Учитывая топологическое пространство $X$ и любое семейство подпространств $C$ существует уникальная топология (основной набор) $X$ это согласуется с $C.$ Эта топология, вообще говоря, будет тоньше , чем данная топология на $X.$

Примеры

• Топологическое пространство $X$ соответствует каждой открытой обложке $X.$ В более общем смысле, $X$ когерентно с любым семейством подмножеств, внутренности которого покрывают $X.$ В качестве примера можно привести слабо локально компактное пространство, когерентное с семейством своих компактных подпространств . А локально связное пространство когерентно с семейством своих связных подмножеств.
• Топологическое пространство $X$ когерентно с каждым локально конечным замкнутым покрытием $X.$
• Дискретное пространство когерентно с каждым семейством подпространств (включая пустое семейство ).
• Топологическое пространство $X$ согласуется разделением с $X$ тогда и только $X$ гомеоморфно несвязному объединению . элементов разбиения
• Конечно порожденные пространства — это те, которые определяются семейством всех конечных подпространств .
• Компактно порожденные пространства (в смысле определения 1 в этой статье) — это пространства, определяемые семейством всех компактных подпространств .
• Комплекс ХО $X$ соответствует своему семейству $n$-скелеты $X_{n}.$

Топологический союз

Позволять $\left\{X_{\alpha }:\alpha \in A\right\}$ быть семейством (не обязательно непересекающихся ) топологических пространств, в которых индуцированные топологии согласуются на каждом пересечении. $X_{\alpha }\cap X_{\beta }.$ Предположим далее, что $X_{\alpha }\cap X_{\beta }$ закрыт в $X_{\alpha }$ для каждого $\alpha ,\beta \in A.$ Тогда топологическое объединение $X$ является теоретико-множественным объединением $$X^{set}=\bigcup _{\alpha \in A}X_{\alpha }$$наделенный окончательной топологией, коиндуцированной отображениями включения $i_{\alpha }:X_{\alpha }\to X^{set}$. Тогда карты включения будут топологическими вложениями и $X$ будет когерентен с подпространствами $\left\{X_{\alpha }\right\}.$

И наоборот, если $X$ является топологическим пространством и согласовано с семейством подпространств $\left\{C_{\alpha }\right\}$ это покрытие $X,$ затем $X$ гомеоморфно топологическому объединению семейства $\left\{C_{\alpha }\right\}.$

Можно сформировать топологическое объединение произвольного семейства топологических пространств, как указано выше, но если топологии не согласуются на пересечениях, то включения не обязательно будут вложениями.

Топологическое объединение можно также описать с помощью непересекающегося объединения . В частности, если $X$ представляет собой топологическое объединение семейства $\left\{X_{\alpha }\right\},$ затем $X$ гомеоморфен фактору несвязного объединения семейства $\left\{X_{\alpha }\right\}$ по отношению эквивалентности $$(x,\alpha )\sim (y,\beta )\Leftrightarrow x=y$$для всех $\alpha ,\beta \in A.$; то есть, $$X\cong \coprod _{\alpha \in A}X_{\alpha }/\sim .$$

Если пространства $\left\{X_{\alpha }\right\}$ все непересекающиеся, то топологическое объединение — это просто непересекающееся объединение.

Предположим теперь, что множество A направлено способом, совместимым с включением: $\alpha \leq \beta$ в любое время $X_{\alpha }\subset X_{\beta }$. Тогда есть уникальная карта из $\varinjlim X_{\alpha }$ к $X,$ что на самом деле является гомеоморфизмом. Здесь $\varinjlim X_{\alpha }$ — прямой (индуктивный) предел ( копредел ) из $\left\{X_{\alpha }\right\}$ в категории Топ .

Характеристики

Позволять $X$ быть согласованным с семейством подпространств $\left\{C_{\alpha }\right\}.$ Функция $f:X\to Y$ от $X$ в топологическое пространство $Y$ непрерывен тогда и только тогда , когда ограничения $$f{\big \vert }_{C_{\alpha }}:C_{\alpha }\to Y\,$$непрерывны для каждого $\alpha \in A.$ Это универсальное свойство характеризует когерентные топологии в том смысле, что пространство $X$ согласуется с $C$ тогда и только тогда, когда это свойство справедливо для всех пространств $Y$ и все функции $f:X\to Y.$

Позволять $X$ определяться обложкой $C=\{C_{\alpha }\}.$ Затем

• Если $C$ это доработка обложки $D,$ затем $X$ определяется $D.$ В частности, если $C$ является частью ​ $D,$ $X$ определяется $D.$
• Если $D=\{D_{\beta }\}$ представляет собой уточнение $C$ и каждый $C_{\alpha }$ определяется семьей всех $D_{\beta }$ содержится в $C_{\alpha }$ затем $X$ определяется $D.$
• Позволять $Y$ быть открытым или подпространством закрытым $X,$ или, в более общем смысле, локально закрытое подмножество $X.$ Затем $Y$ определяется $\left\{Y\cap C_{\alpha }\right\}.$
• Позволять $f:X\to Y$ быть факторкартой . Затем $Y$ определяется $\left\{f(C_{\alpha })\right\}.$

Позволять $f:X\to Y$ быть сюръективным отображением и предположим $Y$ определяется $\left\{D_{\alpha }:\alpha \in A\right\}.$ Для каждого $\alpha \in A$ позволять ${\textstyle f_{\alpha }:f^{-1}(D_{\alpha })\to D_{\alpha }\,}$быть ограничением $f$ к $f^{-1}(D_{\alpha }).$ Затем

• Если $f$ является непрерывным и каждый $f_{\alpha }$ является фактор-отображением, то $f$ является факторкартой.
• $f$ является закрытой картой (соответственно открытой картой ) тогда и только тогда, когда каждое $f_{\alpha }$ закрыто (соответственно открыто).

Учитывая топологическое пространство $(X,\tau )$ и семейство подпространств $C=\{C_{\alpha }\}$ существует уникальная топология $\tau _{C}$ на $X$ это согласуется с $C.$ Топология $\tau _{C}$ тоньше топологии исходной $\tau ,$ и строго тоньше, если $\tau$ не был согласован с $C.$ Но топологии $\tau$ и $\tau _{C}$ индуцировать одну и ту же топологию подпространства на каждом из $C_{\alpha }$ в семье $C.$ И топология $\tau _{C}$ всегда согласуется с $C.$

В качестве примера последней конструкции, если $C$ представляет собой совокупность всех компактных подпространств топологического пространства. $(X,\tau ),$ результирующая топология $\tau _{C}$ определяет k-ификацию $kX$ из $X.$ Пространства $X$ и $kX$ имеют одинаковые компакты с одинаковыми топологиями индуцированных подпространств. И к-ификация $kX$ компактно генерируется.

См. также

• Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.

Ссылки

• Танака, Ёсио (2004). «Факторпространства и разложения». В КП Харт; Дж. Нагата; Дж. Э. Воган (ред.). Энциклопедия общей топологии . Амстердам: Elsevier Science. стр. 43–46. ISBN  0-444-50355-2 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-486-43479-6 . (Дуврское издание).