Jump to content

Когерентная топология

В топологии когерентная топология — это топология , которая однозначно определяется семейством подпространств . Грубо говоря, топологическое пространство когерентно с семейством подпространств, если оно является топологическим объединением этих подпространств. Ее также иногда называют слабой топологией, порожденной семейством подпространств, и это понятие сильно отличается от понятия слабой топологии , порожденной набором отображений. [1]

Определение

[ редактировать ]

Позволять быть топологическим пространством и пусть быть семейством подмножеств каждое со своей индуцированной топологией подпространства. (Обычно будет кавер на .) Затем говорят, что он согласуется с (или определяется ) [2] если топология восстанавливается как полученная из окончательной топологии, коиндуцированной картами включения По определению, это лучшая топология на (базовом наборе) для которых отображения включения непрерывны . согласуется с если выполняется любое из следующих двух эквивалентных условий:

  • Подмножество открыт в тогда и только тогда, когда открыт в для каждого
  • Подмножество закрыт в тогда и только тогда, когда закрыт в для каждого

Учитывая топологическое пространство и любое семейство подпространств существует уникальная топология (основной набор) это согласуется с Эта топология, вообще говоря, будет тоньше , чем данная топология на

Топологический союз

[ редактировать ]

Позволять быть семейством (не обязательно непересекающихся ) топологических пространств, в которых индуцированные топологии согласуются на каждом пересечении. Предположим далее, что закрыт в для каждого Тогда топологическое объединение является теоретико-множественным объединением наделенный окончательной топологией, коиндуцированной отображениями включения . Тогда карты включения будут топологическими вложениями и будет когерентен с подпространствами

И наоборот, если является топологическим пространством и согласовано с семейством подпространств это покрытие затем гомеоморфно топологическому объединению семейства

Можно сформировать топологическое объединение произвольного семейства топологических пространств, как указано выше, но если топологии не согласуются на пересечениях, то включения не обязательно будут вложениями.

Топологическое объединение можно также описать с помощью непересекающегося объединения . В частности, если представляет собой топологическое объединение семейства затем гомеоморфен фактору несвязного объединения семейства по отношению эквивалентности для всех ; то есть,

Если пространства все непересекающиеся, то топологическое объединение — это просто непересекающееся объединение.

Предположим теперь, что множество A направлено способом, совместимым с включением: в любое время . Тогда есть уникальная карта из к что на самом деле является гомеоморфизмом. Здесь прямой (индуктивный) предел ( копредел ) из в категории Топ .

Характеристики

[ редактировать ]

Позволять быть согласованным с семейством подпространств Функция от в топологическое пространство непрерывен тогда и только тогда , когда ограничения непрерывны для каждого Это универсальное свойство характеризует когерентные топологии в том смысле, что пространство согласуется с тогда и только тогда, когда это свойство справедливо для всех пространств и все функции

Позволять определяться обложкой Затем

  • Если это доработка обложки затем определяется В частности, если является частью определяется
  • Если представляет собой уточнение и каждый определяется семьей всех содержится в затем определяется
  • Позволять быть открытым или подпространством закрытым или, в более общем смысле, локально закрытое подмножество Затем определяется
  • Позволять быть факторкартой . Затем определяется

Позволять быть сюръективным отображением и предположим определяется Для каждого позволять быть ограничением к Затем

  • Если является непрерывным и каждый является фактор-отображением, то является факторкартой.
  • является закрытой картой (соответственно открытой картой ) тогда и только тогда, когда каждое закрыто (соответственно открыто).

Учитывая топологическое пространство и семейство подпространств существует уникальная топология на это согласуется с Топология тоньше топологии исходной и строго тоньше, если не был согласован с Но топологии и индуцировать одну и ту же топологию подпространства на каждом из в семье И топология всегда согласуется с

В качестве примера последней конструкции, если представляет собой совокупность всех компактных подпространств топологического пространства. результирующая топология определяет k-ификацию из Пространства и имеют одинаковые компакты с одинаковыми топологиями индуцированных подпространств. И к-ификация компактно генерируется.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Уиллард, с. 69
  2. ^ также говорят, что он имеет слабую топологию, порожденную Это потенциально запутанное название, поскольку прилагательные слабый и сильный используются разными авторами в противоположных значениях. В современном использовании термин « слабая топология» является синонимом начальной топологии , а «сильная топология» — синонимом окончательной топологии . Здесь обсуждается окончательная топология.
  • Танака, Ёсио (2004). «Факторпространства и разложения». В КП Харт; Дж. Нагата; Дж. Э. Воган (ред.). Энциклопедия общей топологии . Амстердам: Elsevier Science. стр. 43–46. ISBN  0-444-50355-2 .
  • Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-486-43479-6 . (Дуврское издание).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 67ddec10c1ecd924e1214cbf61d980c7__1705618260
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/67/c7/67ddec10c1ecd924e1214cbf61d980c7.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Coherent topology - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)