Когерентная топология
В топологии когерентная топология — это топология , которая однозначно определяется семейством подпространств . Грубо говоря, топологическое пространство когерентно с семейством подпространств, если оно является топологическим объединением этих подпространств. Ее также иногда называют слабой топологией, порожденной семейством подпространств, и это понятие сильно отличается от понятия слабой топологии , порожденной набором отображений. [1]
Определение
[ редактировать ]Позволять быть топологическим пространством и пусть быть семейством подмножеств каждое со своей индуцированной топологией подпространства. (Обычно будет кавер на .) Затем говорят, что он согласуется с (или определяется ) [2] если топология восстанавливается как полученная из окончательной топологии, коиндуцированной картами включения По определению, это лучшая топология на (базовом наборе) для которых отображения включения непрерывны . согласуется с если выполняется любое из следующих двух эквивалентных условий:
- Подмножество открыт в тогда и только тогда, когда открыт в для каждого
- Подмножество закрыт в тогда и только тогда, когда закрыт в для каждого
Учитывая топологическое пространство и любое семейство подпространств существует уникальная топология (основной набор) это согласуется с Эта топология, вообще говоря, будет тоньше , чем данная топология на
Примеры
[ редактировать ]- Топологическое пространство соответствует каждой открытой обложке В более общем смысле, когерентно с любым семейством подмножеств, внутренняя часть которого покрывает В качестве примера можно привести слабо локально компактное пространство, когерентное с семейством своих компактных подпространств . А локально связное пространство когерентно с семейством своих связных подмножеств.
- Топологическое пространство когерентно с каждым локально конечным замкнутым покрытием
- Дискретное пространство когерентно с каждым семейством подпространств (включая пустое семейство ).
- Топологическое пространство согласован разделением с тогда и только гомеоморфно несвязному объединению . элементов разбиения
- Конечно порожденные пространства — это те, которые определяются семейством всех конечных подпространств .
- Компактно порожденные пространства (в смысле определения 1 в этой статье) — это пространства, определяемые семейством всех компактных подпространств .
- Комплекс ХО соответствует своему семейству -скелеты
Топологический союз
[ редактировать ]Позволять быть семейством (не обязательно непересекающихся ) топологических пространств, в которых индуцированные топологии согласуются на каждом пересечении. Предположим далее, что закрыт в для каждого Тогда топологическое объединение является теоретико-множественным объединением наделенный окончательной топологией, коиндуцированной отображениями включения . Тогда карты включения будут топологическими вложениями и будет когерентен с подпространствами
И наоборот, если является топологическим пространством и согласовано с семейством подпространств это покрытие затем гомеоморфно топологическому объединению семейства
Можно сформировать топологическое объединение произвольного семейства топологических пространств, как указано выше, но если топологии не согласуются на пересечениях, то включения не обязательно будут вложениями.
Топологическое объединение можно также описать с помощью непересекающегося объединения . В частности, если представляет собой топологическое объединение семейства затем гомеоморфен фактору несвязного объединения семейства по отношению эквивалентности для всех ; то есть,
Если пространства все непересекающиеся, то топологическое объединение — это просто непересекающееся объединение.
Предположим теперь, что множество A направлено способом, совместимым с включением: в любое время . Тогда есть уникальная карта из к что на самом деле является гомеоморфизмом. Здесь — прямой (индуктивный) предел ( копредел ) из в категории Топ .
Характеристики
[ редактировать ]Позволять быть согласованным с семейством подпространств Функция от в топологическое пространство непрерывен тогда и только тогда , когда ограничения непрерывны для каждого Это универсальное свойство характеризует когерентные топологии в том смысле, что пространство согласуется с тогда и только тогда, когда это свойство справедливо для всех пространств и все функции
Позволять определяться обложкой Затем
- Если это доработка обложки затем определяется В частности, если является частью определяется
- Если представляет собой уточнение и каждый определяется семьей всех содержится в затем определяется
- Позволять быть открытым или подпространством закрытым или, в более общем смысле, локально закрытое подмножество Затем определяется
- Позволять быть факторкартой . Затем определяется
Позволять быть сюръективным отображением и предположим определяется Для каждого позволять быть ограничением к Затем
- Если является непрерывным и каждый является фактор-отображением, то является факторкартой.
- является закрытой картой (соответственно открытой картой ) тогда и только тогда, когда каждое закрыто (соответственно открыто).
Учитывая топологическое пространство и семейство подпространств существует уникальная топология на это согласуется с Топология тоньше топологии исходной и строго тоньше, если не был согласован с Но топологии и индуцировать одну и ту же топологию подпространства на каждом из в семье И топология всегда согласуется с
В качестве примера последней конструкции, если представляет собой совокупность всех компактных подпространств топологического пространства. результирующая топология определяет k-ификацию из Пространства и имеют одинаковые компакты с одинаковыми топологиями индуцированных подпространств. И к-ификация компактно генерируется.
См. также
[ редактировать ]- Окончательная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Уиллард, с. 69
- ^ также говорят, что он имеет слабую топологию, порожденную Это потенциально запутанное название, поскольку прилагательные слабый и сильный используются разными авторами в противоположных значениях. В современном использовании термин « слабая топология» является синонимом начальной топологии , а «сильная топология» — синонимом окончательной топологии . Здесь обсуждается окончательная топология.
Ссылки
[ редактировать ]- Танака, Ёсио (2004). «Факторпространства и разложения». В КП Харт; Дж. Нагата; Дж. Э. Воган (ред.). Энциклопедия общей топологии . Амстердам: Elsevier Science. стр. 43–46. ISBN 0-444-50355-2 .
- Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-486-43479-6 . (Дуврское издание).