Супералгебра Пуассона

В математике супералгебра Пуассона представляет собой Z ₂ - градуированное обобщение алгебры Пуассона . В частности, супералгебра Пуассона представляет собой (ассоциативную) супералгебру A вместе со вторым произведением — суперскобкой Ли.

[\cdot ,\cdot ]:A\otimes A\to A

такая, что ( A , [·,·]) – супералгебра Ли и оператор

[x,\cdot ]:A\to A

является суперпроизводным A :

[x,yz]=[x,y]z+(-1)^{|x||y|}y[x,z].

Здесь, $|a|=\deg a$ это оценка (чистого) элемента $a$ .

Суперкоммутативная алгебра Пуассона — это алгебра, для которой (ассоциативное) произведение является суперкоммутативным .

Это один из двух возможных способов «супер»изации алгебры Пуассона. Это дает классическую динамику фермионных полей и классических частиц со спином 1/2. Другой способ — определить алгебру антискобок или алгебру Герстенхабера , используемую в БРСТ и формализме Баталина-Вилковиского . Разница между этими двумя заключается в классификации скобки Ли. В супералгебре Пуассона градуировка скобки равна нулю:

|[a,b]|=|a|+|b|

тогда как в алгебре Герстенхабера скобка уменьшает градуировку на единицу:

|[a,b]|=|a|+|b|-1

Примеры

Если $A$ — любая ассоциативная градуированная Z ₂ алгебра, то, определяя новое произведение $[\cdot ,\cdot ]$ , называемый суперкоммутатором, по $[x,y]:=xy-(-1)^{|x||y|}yx$ для любых чистых градуированных x, y, витков $A$ в супералгебру Пуассона.