Jump to content

Формализм Баталина–Вилковиского.

(Перенаправлено с Баталина-Вилковиского )

В теоретической физике Баталина -Вилковиского ( БВ ) формализм (названный в честь Игоря Баталина и Григория Вилковиского ) был разработан как метод определения призрачной структуры для лагранжевых калибровочных теорий , таких как гравитация и супергравитация , чья соответствующая гамильтонова формулировка имеет ограничения, не связанные к алгебре Ли (т. е. роль структурных констант алгебры Ли играют более общие структурные функции). Формализм BV, основанный на действии , содержащем как поля , так и «антиполя», можно рассматривать как обширное обобщение исходного формализма BRST для чистой теории Янга – Миллса на произвольную лагранжеву калибровочную теорию. Другие названия формализма Баталина-Вилковиского — формализм поля-антиполя , лагранжев БРСТ-формализм или формализм БВ-БРСТ . Его не следует путать с формализмом Баталина-Фрадкина-Вилковиского (БФВ) , который является гамильтоновым аналогом.

Алгебры Баталина–Вилковиского

[ редактировать ]

В математике алгебра Баталина–Вилковиского — это градуированная суперкоммутативная алгебра (с единицей 1) с нильпотентным оператором ∆ второго порядка степени −1. Точнее, оно удовлетворяет тождествам

  • (Произведение ассоциативное)
  • (Произведение (супер-)коммутативно)
  • (Продукт имеет степень 0)
  • (Δ имеет степень −1)
  • (Нильпотентность (порядка 2))
  • Оператор ∆ имеет второй порядок:

Часто также требуется нормализация:

  • (нормализация)

Анти-брекет

[ редактировать ]

Алгебра Баталина–Вилковиского становится алгеброй Герстенхабера , если определить скобку Герстенхабера формулой

Другие названия скобки Герстенхабера — скобка Баттина , антискобка или нечетная скобка Пуассона . Антибрекет удовлетворяет

  • (Антискобка (,) имеет степень −1)
  • (кососимметрия)
  • (Тождество Якоби)
  • (свойство Пуассона; правило Лейбница )

Странный лапласиан

[ редактировать ]

Нормализованный оператор определяется как

Его часто называют нечетным лапласианом , особенно в контексте нечетной геометрии Пуассона. Он «дифференцирует» антибрекет

  • ( оператор дифференцирует (,))

Площадь нормализованного оператор представляет собой гамильтоново векторное поле с нечетным гамильтонианом ∆(1)

  • (Правило Лейбница)

которое также известно как модульное векторное поле . Предполагая нормировку Δ(1)=0, нечетный лапласиан это просто оператор Δ, а модульное векторное поле исчезает.

Компактная формулировка с использованием вложенных коммутаторов

[ редактировать ]

Если ввести левый оператор умножения как

и суперкоммутатор [,] как

для двух произвольных операторов S и T определение антискобки можно компактно записать как

а условие второго порядка для ∆ можно компактно записать как

(Оператор ∆ имеет второй порядок)

где подразумевается, что соответствующий оператор действует на единичный элемент 1. Другими словами, является оператором первого порядка (аффинным) и является оператором нулевого порядка.

Основное уравнение

[ редактировать ]

Классическим уравнение основным уравнением для элемента четной степени S (называемого действием ) алгебры Баталина–Вилковиского является

Квантовым главным уравнением для элемента четной степени W алгебры Баталина–Вилковиского является уравнение

или эквивалентно,

Предполагая нормализацию Δ(1) = 0, квантовое главное уравнение имеет вид

Обобщенные алгебры БВ

[ редактировать ]

В определении обобщенной алгебры БВ отбрасывается предположение второго порядка для ∆. Затем можно определить бесконечную иерархию высших скобок степени −1.

Кронштейны (градуированные) симметричны.

(симметричные скобки)

где является перестановкой, и - знак Кошуля перестановки

.

Скобки образуют гомотопическую алгебру Ли , также известную как алгебра, удовлетворяющая обобщенным тождествам Якоби

(Обобщенные тождества Якоби)

Первые несколько скобок:

  • (нулевая скобка)
  • (Одна скобка)
  • (Две скобки)
  • (Три скобки)

В частности, одна скобка — нечетный лапласиан, а двускобочный - это антискобка до знака. Первые несколько обобщенных тождеств Якоби:

  • ( является -закрыто)
  • ( — гамильтониан модулярного векторного поля )
  • ( оператор дифференцирует (,) обобщенно)
  • (Обобщенное тождество Якоби)

где якобиатор для двухскобок определяется как

BV n -алгебры

[ редактировать ]

Оператор ∆ по определению имеет n-й порядок тогда и только тогда, когда ( n + 1)-скобка исчезает. В этом случае говорят о BV n-алгебре . Таким образом, BV 2-алгебра по определению является просто BV-алгеброй. Якобиатор исчезает внутри алгебры BV, а это означает, что антискобка здесь удовлетворяет тождеству Якоби. BV 1-алгебра, удовлетворяющая нормировке ∆(1) = 0, аналогична дифференциальной градуированной алгебре (ДГА) с дифференциалом ∆. BV 1-алгебра имеет исчезающую антискобку.

Нечетное многообразие Пуассона с объемной плотностью

[ редактировать ]

Пусть дано (n|n) супермногообразие с нечетным бивектором Пуассона and a Berezin volume density , также известный как P-структура и S-структура соответственно. Пусть локальные координаты называются . Пусть производные и

обозначают левую и правую производную функции f относительно. , соответственно. Нечетный бивектор Пуассона точнее удовлетворяет

  • (Нечетная структура Пуассона имеет степень –1)
  • (кососимметрия)
  • (Тождество Якоби)

При смене координат нечетный бивектор Пуассона and Berezin volume density трансформировать как

где sdet обозначает супердетерминант , также известный как Березиниан.Тогда нечетная скобка Пуассона определяется как

Гамильтоново векторное поле с гамильтонианом f можно определить как

(Супер-) дивергенция векторного поля определяется как

Напомним, что гамильтоновы векторные поля бездивергентны в четной геометрии Пуассона в силу теоремы Лиувилля. В нечетной пуассоновской геометрии соответствующее утверждение не выполняется. Странный лапласиан измеряет несостоятельность теоремы Лиувилля. С точностью до знакового множителя он определяется как половина дивергенции соответствующего гамильтонова векторного поля:

Странная структура Пуассона and Berezin volume density называются совместными, если модульное векторное поле исчезает. В этом случае нечетный лапласиан является оператором BV ∆ с нормировкой ∆(1)=0. Соответствующая алгебра БВ является алгеброй функций.

Нечетное симплектическое многообразие

[ редактировать ]

Если нечетный бивектор Пуассона обратимо, существует нечетное симплектическое многообразие. В этом случае существует нечетная теорема Дарбу . То есть существуют локальные координаты Дарбу , т. е. координаты и импульс , степени

такая, что нечетная скобка Пуассона имеет форму Дарбу

В теоретической физике координаты и импульс называются полями и антиполями и обычно обозначаются и , соответственно.

действует в векторном пространстве полуплотностей и является глобально корректным оператором на атласе окрестностей Дарбу. Худавердяна оператор зависит только от P-структуры. Он явно нильпотентен , и степени −1. Тем не менее, технически это не оператор BV Δ, поскольку векторное пространство полуплотностей не имеет умножения. (Произведение двух полуплотностей является плотностью, а не полуплотностью.) При фиксированной плотности , можно построить нильпотентный оператор BV ∆ как

чья соответствующая алгебра BV является алгеброй функций или, что то же самое, скаляров . Странная симплектическая структура и плотность совместимы тогда и только тогда, когда ∆(1) — нечетная константа.

См. также

[ редактировать ]

Педагогический

[ редактировать ]
  • Костелло, К. (2011). « Перенормировка и эффективная теория поля ». ISBN   978-0-8218-5288-0 (объясняет пертурбативную квантовую теорию поля и строгие аспекты, такие как квантование теории Черна-Саймонса и теории Янга-Миллса с использованием BV-формализма)
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 05958391fb67432073596e10d048ab41__1716611760
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/05/41/05958391fb67432073596e10d048ab41.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Batalin–Vilkovisky formalism - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)