Формализм Баталина–Вилковиского.
Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . ( Октябрь 2023 г. ) |
В теоретической физике Баталина -Вилковиского ( БВ ) формализм (названный в честь Игоря Баталина и Григория Вилковиского ) был разработан как метод определения призрачной структуры для лагранжевых калибровочных теорий , таких как гравитация и супергравитация , чья соответствующая гамильтонова формулировка имеет ограничения, не связанные к алгебре Ли (т. е. роль структурных констант алгебры Ли играют более общие структурные функции). Формализм BV, основанный на действии , содержащем как поля , так и «антиполя», можно рассматривать как обширное обобщение исходного формализма BRST для чистой теории Янга – Миллса на произвольную лагранжеву калибровочную теорию. Другие названия формализма Баталина-Вилковиского — формализм поля-антиполя , лагранжев БРСТ-формализм или формализм БВ-БРСТ . Его не следует путать с формализмом Баталина-Фрадкина-Вилковиского (БФВ) , который является гамильтоновым аналогом.
Алгебры Баталина–Вилковиского
[ редактировать ]В математике алгебра Баталина–Вилковиского — это градуированная суперкоммутативная алгебра (с единицей 1) с нильпотентным оператором ∆ второго порядка степени −1. Точнее, оно удовлетворяет тождествам
- (Произведение ассоциативное)
- (Произведение (супер-)коммутативно)
- (Продукт имеет степень 0)
- (Δ имеет степень −1)
- (Нильпотентность (порядка 2))
- Оператор ∆ имеет второй порядок:
Часто также требуется нормализация:
- (нормализация)
Анти-брекет
[ редактировать ]Алгебра Баталина–Вилковиского становится алгеброй Герстенхабера , если определить скобку Герстенхабера формулой
Другие названия скобки Герстенхабера — скобка Баттина , антискобка или нечетная скобка Пуассона . Антибрекет удовлетворяет
- (Антискобка (,) имеет степень −1)
- (кососимметрия)
- (Тождество Якоби)
- (свойство Пуассона; правило Лейбница )
Странный лапласиан
[ редактировать ]Нормализованный оператор определяется как
Его часто называют нечетным лапласианом , особенно в контексте нечетной геометрии Пуассона. Он «дифференцирует» антибрекет
- ( оператор дифференцирует (,))
Площадь нормализованного оператор представляет собой гамильтоново векторное поле с нечетным гамильтонианом ∆(1)
- (Правило Лейбница)
которое также известно как модульное векторное поле . Предполагая нормировку Δ(1)=0, нечетный лапласиан это просто оператор Δ, а модульное векторное поле исчезает.
Компактная формулировка с использованием вложенных коммутаторов
[ редактировать ]Если ввести левый оператор умножения как
и суперкоммутатор [,] как
для двух произвольных операторов S и T определение антискобки можно компактно записать как
а условие второго порядка для ∆ можно компактно записать как
- (Оператор ∆ имеет второй порядок)
где подразумевается, что соответствующий оператор действует на единичный элемент 1. Другими словами, является оператором первого порядка (аффинным) и является оператором нулевого порядка.
Основное уравнение
[ редактировать ]Классическим уравнение основным уравнением для элемента четной степени S (называемого действием ) алгебры Баталина–Вилковиского является
Квантовым главным уравнением для элемента четной степени W алгебры Баталина–Вилковиского является уравнение
или эквивалентно,
Предполагая нормализацию Δ(1) = 0, квантовое главное уравнение имеет вид
Обобщенные алгебры БВ
[ редактировать ]В определении обобщенной алгебры БВ отбрасывается предположение второго порядка для ∆. Затем можно определить бесконечную иерархию высших скобок степени −1.
Кронштейны (градуированные) симметричны.
- (симметричные скобки)
где является перестановкой, и - знак Кошуля перестановки
- .
Скобки образуют гомотопическую алгебру Ли , также известную как алгебра, удовлетворяющая обобщенным тождествам Якоби
- (Обобщенные тождества Якоби)
Первые несколько скобок:
- (нулевая скобка)
- (Одна скобка)
- (Две скобки)
- (Три скобки)
В частности, одна скобка — нечетный лапласиан, а двускобочный - это антискобка до знака. Первые несколько обобщенных тождеств Якоби:
- ( является -закрыто)
- ( — гамильтониан модулярного векторного поля )
- ( оператор дифференцирует (,) обобщенно)
- (Обобщенное тождество Якоби)
где якобиатор для двухскобок определяется как
BV n -алгебры
[ редактировать ]Оператор ∆ по определению имеет n-й порядок тогда и только тогда, когда ( n + 1)-скобка исчезает. В этом случае говорят о BV n-алгебре . Таким образом, BV 2-алгебра по определению является просто BV-алгеброй. Якобиатор исчезает внутри алгебры BV, а это означает, что антискобка здесь удовлетворяет тождеству Якоби. BV 1-алгебра, удовлетворяющая нормировке ∆(1) = 0, аналогична дифференциальной градуированной алгебре (ДГА) с дифференциалом ∆. BV 1-алгебра имеет исчезающую антискобку.
Нечетное многообразие Пуассона с объемной плотностью
[ редактировать ]Пусть дано (n|n) супермногообразие с нечетным бивектором Пуассона and a Berezin volume density , также известный как P-структура и S-структура соответственно. Пусть локальные координаты называются . Пусть производные и
обозначают левую и правую производную функции f относительно. , соответственно. Нечетный бивектор Пуассона точнее удовлетворяет
- (Нечетная структура Пуассона имеет степень –1)
- (кососимметрия)
- (Тождество Якоби)
При смене координат нечетный бивектор Пуассона and Berezin volume density трансформировать как
где sdet обозначает супердетерминант , также известный как Березиниан.Тогда нечетная скобка Пуассона определяется как
Гамильтоново векторное поле с гамильтонианом f можно определить как
(Супер-) дивергенция векторного поля определяется как
Напомним, что гамильтоновы векторные поля бездивергентны в четной геометрии Пуассона в силу теоремы Лиувилля. В нечетной пуассоновской геометрии соответствующее утверждение не выполняется. Странный лапласиан измеряет несостоятельность теоремы Лиувилля. С точностью до знакового множителя он определяется как половина дивергенции соответствующего гамильтонова векторного поля:
Странная структура Пуассона and Berezin volume density называются совместными, если модульное векторное поле исчезает. В этом случае нечетный лапласиан является оператором BV ∆ с нормировкой ∆(1)=0. Соответствующая алгебра БВ является алгеброй функций.
Нечетное симплектическое многообразие
[ редактировать ]Если нечетный бивектор Пуассона обратимо, существует нечетное симплектическое многообразие. В этом случае существует нечетная теорема Дарбу . То есть существуют локальные координаты Дарбу , т. е. координаты и импульс , степени
такая, что нечетная скобка Пуассона имеет форму Дарбу
В теоретической физике координаты и импульс называются полями и антиполями и обычно обозначаются и , соответственно.
действует в векторном пространстве полуплотностей и является глобально корректным оператором на атласе окрестностей Дарбу. Худавердяна оператор зависит только от P-структуры. Он явно нильпотентен , и степени −1. Тем не менее, технически это не оператор BV Δ, поскольку векторное пространство полуплотностей не имеет умножения. (Произведение двух полуплотностей является плотностью, а не полуплотностью.) При фиксированной плотности , можно построить нильпотентный оператор BV ∆ как
чья соответствующая алгебра BV является алгеброй функций или, что то же самое, скаляров . Странная симплектическая структура и плотность совместимы тогда и только тогда, когда ∆(1) — нечетная константа.
Примеры
[ редактировать ]- Скобка Схоутена – Нейенхейса для многовекторных полей является примером антискобки.
- Если L — супералгебра Ли , а Π — оператор, меняющий местами четную и нечетную части суперпространства, то симметрическая алгебра Π( L ) (« внешняя алгебра » L ) является алгеброй Баталина–Вилковиского с заданным ∆. обычным дифференциалом, используемым для вычисления когомологий алгебры Ли .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]Педагогический
[ редактировать ]- Костелло, К. (2011). « Перенормировка и эффективная теория поля ». ISBN 978-0-8218-5288-0 (объясняет пертурбативную квантовую теорию поля и строгие аспекты, такие как квантование теории Черна-Саймонса и теории Янга-Миллса с использованием BV-формализма)
Ссылки
[ редактировать ]- Баталин И.А. и Вилковиский Г.А. (1981). «Калибровочная алгебра и квантование». Физ. Летт. Б. 102 (1): 27–31. Бибкод : 1981PhLB..102...27B . дои : 10.1016/0370-2693(81)90205-7 .
- Баталин, ИА; Вилковиский, Г.А. (1983). «Квантование калибровочных теорий с помощью линейно зависимых генераторов». Физический обзор D . 28 (10): 2567–2582. Бибкод : 1983PhRvD..28.2567B . дои : 10.1103/PhysRevD.28.2567 . Erratum-там же. 30 (1984) 508 дои : 10.1103/PhysRevD.30.508 .
- Гетцлер, Э. (1994). «Алгебры Баталина-Вилковиского и двумерные топологические теории поля». Связь в математической физике . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Бибкод : 1994CMaPh.159..265G . дои : 10.1007/BF02102639 . S2CID 14823949 .
- Брандт, Фридеманн; Барнич, Гленн; Хенно, Марк (2000), «Локальные BRST-когомологии в калибровочных теориях», Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode : 2000PhR...338..439B , doi : 10.1016 /S0370-1573(00)00049-1 , ISSN 0370-1573 , MR 1792979 , S2CID 119420167
- Вайнберг, Стивен (2005). Квантовая теория полей Том. II . Нью-Йорк: Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-67054-3 .