в Березине

В математике и теоретической физике Березиниан является , или супердетерминант, обобщением определителя на случай суперматриц . Имя Феликсу Березину . Березиниан играет роль, аналогичную определителю, при рассмотрении изменений координат при интегрировании на супермногообразии .

Определение

Березиниан однозначно определяется двумя определяющими свойствами:

$\operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)$
$\operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }\,$

str( X ) обозначает суперслед X где . В отличие от классического определителя, Березиниан определен только для обратимых суперматриц.

— это березиан суперматрицы с элементами в поле K. Простейший случай, который следует рассмотреть , Такие суперматрицы представляют собой линейные преобразования супервекторного пространства над K . Конкретная четная суперматрица представляет собой блочную матрицу вида

X={\begin{bmatrix}A&0\\0&D\end{bmatrix}}

Такая матрица обратима тогда и только тогда, и когда D являются обратимыми матрицами над K. A Березиниан X задается формулой

\operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D)^{-1}

Мотивацию отрицательного показателя см. в формуле замены в нечетном случае.

В более общем смысле рассмотрим матрицы с элементами суперкоммутативной алгебры R . Тогда четная суперматрица имеет вид

X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}

где A и D имеют четные записи, а B и C имеют нечетные записи. Такая матрица обратима тогда и только тогда, когда и D обратимы в кольце R0 _{коммутативном} ( четной подалгебре R A ). В этом случае березиниан определяется выражением

\operatorname {Ber} (X)=\det(A-BD^{-1}C)\det(D)^{-1}

или, что то же самое,

\operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)^{-1}.

Эти формулы корректно определены, поскольку мы берем определители только тех матриц, элементы которых находятся в коммутативном кольце R ₀ . Матрица

D-CA^{-1}B\,

известен как дополнение Шура к A относительно ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}.$

Нечетная матрица X может быть обратимой только в том случае, если количество четных измерений равно количеству нечетных измерений. В этом случае обратимость X эквивалентна обратимости JX , где

J={\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}.

Тогда Березиниан X определяется как

\operatorname {Ber} (X)=\operatorname {Ber} (JX)=\det(C-DB^{-1}A)\det(-B)^{-1}.

Характеристики

Березинец из $X$ всегда является единицей в кольце R ₀ .
$\operatorname {Ber} (X^{-1})=\operatorname {Ber} (X)^{-1}$
$\operatorname {Ber} (X^{st})=\operatorname {Ber} (X)$ где $X^{st}$ обозначает супертранспонирование $X$ .
$\operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)$

Березинский модуль

Определитель эндоморфизма свободного модуля M можно определить как индуцированное действие на одномерную высшую внешнюю степень модуля M . В суперсимметричном случае высшей внешней степени нет, но существует аналогичное определение березиниана следующим образом.

Предположим, что — свободный модуль размерности ( p , q ) над R. M Пусть A — (супер)симметричная алгебра S *( M *) двойственной M * к M . Тогда автоморфизм M действует на ext модуле

Ext_{A}^{p}(R,A)

(который имеет размерность (1,0), если q четное, и размерность (0,1), если q нечетное)) как умножение на Березин.

См. также

Berezin integration

Ссылки

Березин Феликс Александрович (1966) [1965], Метод вторичного квантования , Чистая и прикладная физика, вып. 24, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-089450-5 , МР 0208930
Делинь, Пьер ; Морган, Джон В. (1999), «Заметки о суперсимметрии (по следам Джозефа Бернштейна)» , в Делинь, Пьер ; Этингоф, Павел; Фрид, Дэниел С.; Джеффри, Лиза С.; Каждан, Дэвид; Морган, Джон В.; Моррисон, Дэвид Р.; Виттен, Эдвард (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, Vol. 1 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 41–97, ISBN. 978-0-8218-1198-6 , МР 1701597
Манин, Юрий Иванович (1997), Калибровочная теория поля и комплексная геометрия (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Publishers , ISBN 978-3-540-61378-7