Суперматрица

Эта статья о суперматрицах в суперлинейной алгебре . В других контекстах «суперматрица» иногда используется как синоним блочной матрицы .

В математике и теоретической физике суперматрица — это Z ₂ -градуированный аналог обычной матрицы . В частности, суперматрица — это блочная матрица 2×2 с элементами супералгебры (или суперкольца ). Наиболее важными примерами являются те, которые содержат элементы коммутативной супералгебры (например, алгебры Грассмана ) или обычного поля (считающегося чисто четной коммутативной супералгеброй).

Суперматрицы возникают при изучении суперлинейной алгебры , где они появляются как координатные представления линейных преобразований между конечномерными супервекторными пространствами или свободными супермодулями . Они имеют важные приложения в области суперсимметрии .

Определения и обозначения

Пусть R — фиксированная супералгебра (предполагаемая унитарной и ассоциативной ). Часто требуется, чтобы R было суперкоммутативным также (по существу, по тем же причинам, что и в неградуированном случае).

Пусть p , q , r и s — неотрицательные целые числа. Суперматрица , размерности ( r | s ) × ( p | q ) — это матрица с элементами в R которая разбита на блочную структуру 2 × 2.

$X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}$

с общим числом строк r + s и общим числом столбцов p + q (так что подматрица X ₀₀ имеет размеры r × p , а X ₁₁ имеет размеры s × q ). Обычную (неградуированную) матрицу можно рассматривать как суперматрицу, для которой q и s равны нулю.

Квадратная суперматрица — это такая , для которой ( r | s ) = ( p | q ). является не только неразделенная матрица X Это означает, что квадратной диагональные блоки X ₀₀ и X ₁₁ , но и .

Четная суперматрица — это такая суперматрица, для которой диагональные блоки ( X ₀₀ и X ₁₁ ) состоят исключительно из четных элементов R (т.е. однородные элементы четности 0), а недиагональные блоки ( X ₀₁ и X ₁₀ ) состоят исключительно из нечетных элементов. Р. ​ ​

${\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}$

Нечетная суперматрица — это такая суперматрица, для которой справедливо обратное: диагональные блоки нечетны, а недиагональные блоки четны.

${\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}$

Если скаляры R чисто четные, то ненулевых нечетных элементов нет, поэтому четные суперматрицы являются блочно-диагональными , а нечетные суперматрицы - недиагональными.

Суперматрица является однородной , если она четная или нечетная. Паритет | , X | ненулевой однородной суперматрицы X равна 0 или 1 в зависимости от того, четная она или нечетная. Каждую суперматрицу можно однозначно записать как сумму четной и нечетной суперматрицы.

Алгебраическая структура

Суперматрицы совместимых размерностей можно складывать или умножать так же, как и обычные матрицы. Эти операции точно такие же, как и обычные, с тем ограничением, что они определяются только тогда, когда блоки имеют совместимые размеры. Можно также умножать суперматрицы на элементы R (слева или справа), однако эта операция отличается от неградуированного случая наличием нечетных элементов в R .

Пусть М _{р ​​| с × р | q} ( ​​R ) обозначают множество всех суперматриц над R размерностью ( r | s ) × ( p | q ). Этот набор образует супермодуль над R при сложении суперматриц и скалярном умножении. В частности, если R — супералгебра над полем K, то M _{r | с × р | q} ( R образует супервекторное пространство над K. )

Пусть М _{р ​​| q} ( ​​R ) обозначает множество всех квадратных суперматик над R размерности ( p | q )×( p | q ). Этот набор образует суперкольцо при сложении и умножении суперматриц. Более того, если R — коммутативная супералгебра , то умножение суперматрицы — билинейная операция, так что M _{p | q} ( R супералгебру над R. ) образует

Добавление

Две суперматрицы размерности ( r | s ) × ( p | q ) можно сложить так же, как и в неградуированном случае , чтобы получить суперматрицу той же размерности. Сложение может выполняться поблочно, поскольку блоки имеют совместимые размеры. Легко видеть, что сумма двух четных суперматриц четна, а сумма двух нечетных суперматриц нечетна.

Умножение

Можно умножить суперматрицу с размерами ( r | s ) × ( p | q ) на суперматрицу с размерами ( p | q ) × ( k | l ), ​​как и в неградуированном случае, чтобы получить матрицу размерности ( r | s ) ×( к | л ). Умножение может выполняться на уровне блоков очевидным образом:

${\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.$

Обратите внимание, что блоки суперматрицы произведения Z = XY имеют вид

$Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,$

Если X и Y однородны с четностями | Х | и | Ю | тогда XY однороден с четностью | Х | + | Ю |. То есть произведение двух четных или двух нечетных суперматриц четно, а произведение четной и нечетной суперматрицы нечетно.

Скалярное умножение

Скалярное умножение для суперматриц отличается от неградуированного случая из-за присутствия нечетных элементов в R . Пусть X — суперматрица. Левое скалярное умножение на α ∈ R определяется формулой

$\alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}$

где внутренние скалярные умножения являются обычными неградуированными и ${\hat {\alpha }}$ обозначает инволюцию степени в R . Это дается на однородных элементах формулой

${\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .$

Умножение правого скаляра на α определяется аналогично:

$X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.$

Если α четное, то ${\hat {\alpha }}=\alpha$ и обе эти операции такие же, как и в неоцененных версиях. Если α и X однородны, то α⋅ X и X ⋅α однородны с четностью |α| + | Х |. Более того, если R суперкоммутативен, то имеет место

$\alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .$

Как линейные преобразования

Обычные матрицы можно рассматривать как координатные представления линейных отображений между векторными пространствами (или свободными модулями ). Аналогично, суперматрицы можно рассматривать как координатные представления линейных отображений между супервекторными пространствами (или свободными супермодулями ). Однако в градуированном случае есть важное отличие. Гомоморфизм одного супервекторного пространства в другое по определению сохраняет градуировку (т. е. отображает четные элементы в четные элементы и нечетные элементы в нечетные элементы). Координатным представлением такого преобразования всегда является четная суперматрица. Нечетные суперматрицы соответствуют линейным преобразованиям, обращающим градуировку. Общие суперматрицы представляют собой произвольное неградуированное линейное преобразование. Такие преобразования по-прежнему важны в градуированном случае, хотя и в меньшей степени, чем градуированные (четные) преобразования.

Супермодуль супералгеброй M над , R свободен если он имеет свободный однородный базис. Если такой базис состоит из p четных элементов и q нечетных элементов, то M говорят, что имеет ранг p | q . Если R суперкоммутативен, ранг не зависит от выбора базиса, как и в неградуированном случае.

Пусть Р ^{р | д} — пространство супервекторов-столбцов — суперматриц размерности ( p | q )×(1|0). Это, естественно, правый R -супермодуль, называемый правым координатным пространством . Тогда суперматрицу T размерности ( r | s ) × ( p | q ) можно рассматривать как правое R -линейное отображение .

$T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,$

где действие T на R ^{р | д} - это просто умножение суперматрицы (это действие обычно не является R -линейным слева, поэтому мы думаем о R ^{р | д} как правый супермодуль).

Пусть M — свободный правый R -супермодуль ранга p | q и пусть N — свободный правый R -супермодуль ранга r | с . Пусть ( ei _и ) — свободный базис для M пусть ( fk ₎ — свободный базис для N. , Такой выбор базисов эквивалентен выбору изоморфизмов из M в R. ^{р | д} и с севера на правый ^{р | с} . Любая (неклассифицированная) линейная карта

$T:M\to N\,$

может быть записана как суперматрица ( r | s ) × ( p | q ) относительно выбранных базисов. Компоненты ассоциированной суперматрицы определяются по формуле

$T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.$

Блочное разложение суперматрицы T соответствует разложению M и N на четные и нечетные подмодули:

$M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.$

Операции

Многие операции с обычными матрицами можно обобщить на суперматрицы, хотя эти обобщения не всегда очевидны и прямолинейны.

Супертранспонирование

Супертранспонирование Z суперматрицы является 2 _{-градуированным} аналогом транспонирования . Позволять

$X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

— однородная ( r | s ) × ( p | q ) суперматрица. Супертранспонирование X — это суперматрица ( p | q )×( r | s ).

$X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}$

где А ^т обозначает обычное транспонирование A . По линейности это можно распространить на произвольные суперматрицы. В отличие от обычного транспонирования, супертранспонирование обычно не является инволюцией , а имеет порядок 4. Дважды применение супертранспонирования к суперматрице X дает

$(X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.$

Если R суперкоммутативен, супертранспонирование удовлетворяет тождеству

$(XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,$

Транспонирование четности

Транспонирование по четности суперматрицы — это новая операция, не имеющая неклассифицированного аналога. Позволять

$X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

быть суперматрицей ( r | s ) × ( p | q ). Транспонирование X ( s | r ) × ( q | p по четности - это суперматрица ).

$X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.$

То есть блок ( i , j ) транспонированной матрицы является блоком (1− i ,1− j ) исходной матрицы.

Операция транспонирования четности подчиняется тождествам

• $(X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,$
• $(XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,$
• $(\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }$
• $(X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}$

а также

• $\pi ^{2}=id\,$
• $\pi \circ st\circ \pi =(st)^{3}$

где st обозначает операцию супертранспонирования.

Супертрассировка

Суперслед Z квадратной суперматрицы является 2 _{-градуированным} аналогом следа . На однородных суперматрицах он определяется формулой

$\mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,$

где tr обозначает обычный след.

Если R суперкоммутативен, суперслед удовлетворяет тождеству

$\mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,$

для однородных суперматриц X и Y .

в Березине

Березиниан 2 (или суперопределитель ) квадратной суперматрицы является Z _{-градуированным} аналогом определителя . Березиниан корректно определен только на четных обратимых суперматрицах над коммутативной супералгеброй R . В этом случае оно определяется формулой

$\mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.$

где det обозначает обычный определитель (квадратных матриц с элементами коммутативной алгебры R ₀ ).

Березиниан обладает теми же свойствами, что и обычный определитель. В частности, он мультипликативен и инвариантен относительно супертранспонирования. Он связан с суперследом формулой

$\mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,$

Ссылки

• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Курант Конспект лекций по математике 11 . Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3574-2 .
• Делинь, Пьер; Морган, Джон В. (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)». Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество. стр. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5 .