Jump to content

Супервекторное пространство

(Перенаправлено из Суперлинейной алгебры )

В математике супервекторное пространство — это градуированное векторное пространство , то есть векторное пространство над полем с заданным разложением подпространств степени и оценка . Изучение супервекторных пространств и их обобщений иногда называют суперлинейной алгеброй . Эти объекты находят свое основное применение в теоретической физике , где они используются для описания различных алгебраических аспектов суперсимметрии .

Определения [ править ]

Супервекторное пространство – это -градуированное векторное пространство с разложением [1]

Векторы, являющиеся элементами либо или называются однородными . Четность ненулевого однородного элемента , обозначаемого , является или в зависимости от того, находится ли он в или ,

Векторы паритета называются четными и четными называются нечетными . В теоретической физике четные элементы иногда называют бозе-элементами или бозонными , а нечетные элементы — ферми-элементами или фермионными. Определения супервекторных пространств часто даются только в терминах однородных элементов, а затем по линейности распространяются на неоднородные элементы.

Если конечномерен , а размеры и являются и соответственно, тогда говорят, что он имеет размерность . Стандартное суперкоординатное пространство, обозначаемое , — обычное координатное пространство где четное подпространство натянуто на первое координатные базисные векторы, а нечетное пространство охватывается последними .

Однородное подпространство супервекторного пространства — это линейное подпространство , натянутое на однородные элементы. Однородные подпространства сами по себе являются супервекторными пространствами (с очевидной градуировкой).

Для любого супервекторного пространства , можно определить пространство с обратной четностью быть супервекторным пространством с поменянными местами четными и нечетными подпространствами. То есть,

Линейные преобразования [ править ]

Гомоморфизм сохраняющим , морфизм в категории степень супервекторных пространств, из одного супервекторного пространства в другое, является линейным преобразованием, . Линейное преобразование между супервекторными пространствами сохраняет сортность, если

То есть он отображает четные элементы к четным элементам и странные элементы к нечетным элементам . Изоморфизм биективным супервекторных пространств является гомоморфизмом . Множество всех гомоморфизмов обозначается . [2]

Каждое линейное преобразование, не обязательно сохраняющее степень, из одного супервекторного пространства в другое, можно однозначно записать как сумму преобразования, сохраняющего степень, и преобразования, обращающего степень, то есть преобразования такой, что

Объявление преобразований, сохраняющих степень, четными , а преобразований, изменяющих степень, нечетными, дает пространство всех линейных преобразований из к , обозначенный и называется внутренним , структура супервекторного пространства. В частности, [3]

Преобразование, изменяющее оценку, из к можно рассматривать как гомоморфизм из в перевернутое пространство четности , так что

Операции над супервекторными пространствами [ править ]

Обычные алгебраические конструкции для обычных векторных пространств имеют аналог в контексте супервекторного пространства.

Двойной пробел [ править ]

Двойное пространство супервекторного пространства можно рассматривать как супервекторное пространство, считая четными функционалами те, которые обращаются в нуль на а нечетными функционалами будут те, которые исчезают на . [4] Эквивалентно можно определить быть пространством линейных отображений из к (базовое поле рассматриваемое как чисто четное супервекторное пространство) с градацией, приведенной в предыдущем разделе.

Прямая сумма [ править ]

Прямые суммы супервекторных пространств строятся так же, как и в неградуированном случае, с градуировкой, заданной формулой

Тензорное произведение [ править ]

Также можно построить тензорные произведения супервекторных пространств. Здесь аддитивная структура вступает в игру. Базовое пространство такое же, как и в неклассифицированном случае, с градацией, заданной формулой

где индексы . В частности, у человека есть

Супермодули [ править ]

Точно так же, как можно обобщить векторные пространства над полем до модулей над коммутативным кольцом , можно обобщить супервекторные пространства над полем до супермодулей над суперкоммутативной алгеброй (или кольцом).

Распространенной конструкцией при работе с супервекторными пространствами является расширение поля скаляров до суперкоммутативной алгебры Грассмана . Учитывая поле позволять

обозначим алгебру Грассмана порожденную , антикоммутирующие нечетные элементы . Любой супервектор пространство над может быть встроен в модуль поверх рассматривая (градуированное) тензорное произведение

Категория супервекторных пространств [ править ]

Категория супервекторных пространств , обозначаемая , — категория которой , объекты являются супервекторными пространствами (над фиксированным полем ) и чьи морфизмы являются четными линейными преобразованиями (т.е. сохраняющими степень).

Категориальный подход к суперлинейной алгебре заключается в том, чтобы сначала сформулировать определения и теоремы, касающиеся обычных (неградуированных) алгебраических объектов, на языке теории категорий , а затем перенести их непосредственно в категорию супервекторных пространств. Это приводит к трактовке «суперобъектов», таких как супералгебры , супералгебры Ли , супергруппы и т. д., которая полностью аналогична их неклассифицированным аналогам.

Категория - это моноидальная категория с супертензорным произведением в качестве моноидального произведения и чисто четным супервекторным пространством. как единичный объект. Инволютивный оператор переплетения

данный

на однородных элементах получается в симметричную моноидальную категорию . Этот изоморфизм коммутативности кодирует «правило знаков», необходимое для суперлинейной алгебры. Фактически это говорит о том, что знак минус выбирается всякий раз, когда два нечетных элемента меняются местами. Не нужно беспокоиться о знаках в категориальной установке, если указанный выше оператор используется там, где это уместно.

также является замкнутой моноидальной категорией с внутренним объектом Hom , , заданное супервекторным пространством всех линейных карт из к . Обычный набор — четное подпространство в нем:

Тот факт, что замкнуто, означает, что функтор остается сопряженным с функтором , учитывая естественную биекцию

Супералгебра [ править ]

Супералгебра закончилась можно описать как супервекторное пространство с картой умножения

это гомоморфизм супервекторного пространства. Это равносильно требованию [5]

Ассоциативность и существование тождества можно выразить с помощью обычных коммутативных диаграмм, так что над ним образуется единая ассоциативная супералгебра. является моноидом в категории .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Делинь, П .; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)» . Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество . стр. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5 – через ИАС .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 21fed9eb9877459d76b57bf7fbf7d960__1661539740
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/21/60/21fed9eb9877459d76b57bf7fbf7d960.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Super vector space - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)