Супервекторное пространство

В математике супервекторное пространство — это $\mathbb {Z} _{2}$— градуированное векторное пространство , то есть векторное пространство над полем $\mathbb {K}$ с заданным разложением подпространств степени $0$ и оценка $1$. Изучение супервекторных пространств и их обобщений иногда называют суперлинейной алгеброй . Эти объекты находят свое основное применение в теоретической физике , где они используются для описания различных алгебраических аспектов суперсимметрии .

Определения

Супервекторное пространство – это $\mathbb {Z} _{2}$-градуированное векторное пространство с разложением

$V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$

Векторы, являющиеся элементами либо $V_{0}$ или $V_{1}$называются однородными . Четность ненулевого однородного элемента, обозначаемого $|x|$, является $0$ или $1$ в зависимости от того, находится ли он в $V_{0}$ или $V_{1}$,

$|x|={\begin{cases}0&x\in V_{0}\\1&x\in V_{1}\end{cases}}$

Векторы паритета $0$ называются четными и четными $1$называются нечетными . В теоретической физике четные элементы иногда называют бозе-элементами или бозонными , а нечетные элементы — ферми-элементами или фермионными. Определения супервекторных пространств часто даются только в терминах однородных элементов, а затем по линейности распространяются на неоднородные элементы.

Если $V$ конечномерен , а размеры $V_{0}$ и $V_{1}$ являются $p$ и $q$ соответственно, тогда $V$ говорят, что он имеет размерность $p|q$. Стандартное суперкоординатное пространство, обозначаемое $\mathbb {K} ^{p|q}$, — обычное координатное пространство $\mathbb {K} ^{p+q}$ где четное подпространство натянуто на первое $p$ координатные базисные векторы, а нечетное пространство охватывается последними $q$.

Однородное подпространство супервекторного пространства — это линейное подпространство , натянутое на однородные элементы. Однородные подпространства сами по себе являются супервекторными пространствами (с очевидной градуировкой).

Для любого супервекторного пространства $V$, можно определить пространство с обратной четностью $\Pi V$быть супервекторным пространством с поменянными местами четными и нечетными подпространствами. То есть,

${\begin{aligned}(\Pi V)_{0}&=V_{1},\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}.\end{aligned}}$

Линейные преобразования

Гомоморфизм линейным , морфизм в категории супервекторных пространств, из одного супервекторного пространства в другое, является преобразованием, сохраняющим степень . Линейное преобразование $f:V\rightarrow W$ между супервекторными пространствами сохраняет сортность, если

$f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.$

То есть он отображает четные элементы $V$ к четным элементам $W$ и странные элементы $V$ к нечетным элементам $W$. Изоморфизм биективным супервекторных пространств является гомоморфизмом . Множество всех гомоморфизмов $V\rightarrow W$ обозначается $\mathrm {Hom} (V,W)$.

Каждое линейное преобразование, не обязательно сохраняющее степень, из одного супервекторного пространства в другое, можно однозначно записать как сумму преобразования, сохраняющего степень, и преобразования, обращающего степень, то есть преобразования $f:V\rightarrow W$ такой, что

$f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.$

Объявление преобразований, сохраняющих степень, четными , а преобразующих степень - нечетными, дает пространство всех линейных преобразований из $V$ к $W$, обозначенный $\mathbf {Hom} (V,W)$ и называется внутренним $\mathrm {Hom}$, структура супервекторного пространства. В частности,

$\left(\mathbf {Hom} (V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom} (V,W).$

Преобразование, изменяющее оценку $V$ к $W$ можно рассматривать как гомоморфизм из $V$ в перевернутое пространство четности $\Pi W$, так что

$\mathbf {Hom} (V,W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (V,\Pi W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (\Pi V,W).$

Операции над супервекторными пространствами

Обычные алгебраические конструкции для обычных векторных пространств имеют аналог в контексте супервекторного пространства.

Двойной пробел

Двойное пространство $V^{*}$ супервекторного пространства $V$ можно рассматривать как супервекторное пространство, считая четными функционалами те, которые обращаются в нуль на $V_{1}$ а нечетными функционалами будут те, которые исчезают на $V_{0}$. Эквивалентно можно определить $V^{*}$ быть пространством линейных отображений из $V$ к $\mathbb {K} ^{1|0}$ (базовое поле $\mathbb {K}$ рассматриваемое как чисто четное супервекторное пространство) с градацией, приведенной в предыдущем разделе.

Прямая сумма

Прямые суммы супервекторных пространств строятся так же, как и в неградуированном случае, с градуировкой, заданной формулой

$(V\oplus W)_{0}=V_{0}\oplus W_{0},$

$(V\oplus W)_{1}=V_{1}\oplus W_{1}.$

Тензорное произведение

Также можно построить тензорные произведения супервекторных пространств. Здесь аддитивная структура $\mathbb {Z} _{2}$вступает в игру. Базовое пространство такое же, как и в неклассифицированном случае, с градацией, заданной формулой

$(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\otimes W_{k},$

где индексы $\mathbb {Z} _{2}$. В частности, у человека есть

$(V\otimes W)_{0}=(V_{0}\otimes W_{0})\oplus (V_{1}\otimes W_{1}),$

$(V\otimes W)_{1}=(V_{0}\otimes W_{1})\oplus (V_{1}\otimes W_{0}).$

Супермодули

Точно так же, как можно обобщить векторные пространства над полем до модулей над коммутативным кольцом , можно обобщить супервекторные пространства над полем до супермодулей над суперкоммутативной алгеброй (или кольцом).

Распространенной конструкцией при работе с супервекторными пространствами является расширение поля скаляров до суперкоммутативной алгебры Грассмана . Учитывая поле $\mathbb {K}$ позволять

$R=\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]$

обозначим алгебру Грассмана порожденную , $N$ антикоммутирующие нечетные элементы $\theta _{i}$. Любой супервектор $V$ пространство над $\mathbb {K}$ может быть встроен в модуль поверх $R$ рассматривая (градуированное) тензорное произведение

$\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]\otimes V.$

Категория супервекторных пространств

Категория супервекторных пространств , обозначаемая $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$, — категория которой , объекты являются супервекторными пространствами (над фиксированным полем $\mathbb {K}$) и чьи морфизмы являются четными линейными преобразованиями (т.е. сохраняющими степень).

Категориальный подход к суперлинейной алгебре заключается в том, чтобы сначала сформулировать определения и теоремы, касающиеся обычных (неградуированных) алгебраических объектов, на языке теории категорий , а затем перенести их непосредственно в категорию супервекторных пространств. Это приводит к трактовке «суперобъектов», таких как супералгебры , супералгебры Ли , супергруппы и т. д., которая полностью аналогична их неклассифицированным аналогам.

Категория $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ - это моноидальная категория с супертензорным произведением в качестве моноидального произведения и чисто четным супервекторным пространством. $\mathbb {K} ^{1|0}$как единичный объект. Инволютивный оператор переплетения

$\tau _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V,$

данный

$\tau _{V,W}(x\otimes y)=(-1)^{|x||y|}y\otimes x$

на однородных элементах получается $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$в симметричную моноидальную категорию . Этот изоморфизм коммутативности кодирует «правило знаков», необходимое для суперлинейной алгебры. Фактически это говорит о том, что знак минус выбирается всякий раз, когда два нечетных элемента меняются местами. Не нужно беспокоиться о знаках в категориальной установке, если указанный выше оператор используется там, где это уместно.

$\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ также является замкнутой моноидальной категорией с внутренним объектом Hom , $\mathbf {Hom} (V,W)$, заданное супервекторным пространством всех линейных карт из $V$ к $W$. Обычный $\mathrm {Hom}$ набор $\mathrm {Hom} (V,W)$ — четное подпространство в нем:

$\mathrm {Hom} (V,W)=\mathbf {Hom} (V,W)_{0}.$

Дело в том, что $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$ замкнуто, означает, что функтор $-\otimes V$ остается сопряженным с функтором $\mathrm {Hom} (V,-)$, учитывая естественную биекцию

$\mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathbf {Hom} (V,W)).$

Супералгебра

Основная статья: супералгебра

Супералгебра ​ закончилась $\mathbb {K}$ можно описать как супервекторное пространство ${\mathcal {A}}$ с картой умножения

$\mu :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},$

это гомоморфизм супервекторного пространства. Это равносильно требованию

$|ab|=|a|+|b|,\quad a,b\in {\mathcal {A}}$

Ассоциативность и существование тождества можно выразить с помощью обычных коммутативных диаграмм, так что над ним образуется единая ассоциативная супералгебра. $\mathbb {K}$ является моноидом в категории $\mathbb {K} -\mathrm {SVect}$.

Ссылки

• Делинь, П .; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)» . Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество . стр. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5 – через ИАС .

• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Курант Конспект лекций по математике. Том. 11. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3574-6 .