Супервекторное пространство
В математике супервекторное пространство — это — градуированное векторное пространство , то есть векторное пространство над полем с заданным разложением подпространств степени и оценка . Изучение супервекторных пространств и их обобщений иногда называют суперлинейной алгеброй . Эти объекты находят свое основное применение в теоретической физике , где они используются для описания различных алгебраических аспектов суперсимметрии .
Определения [ править ]
Супервекторное пространство – это -градуированное векторное пространство с разложением [1]
Векторы, являющиеся элементами либо или называются однородными . Четность ненулевого однородного элемента , обозначаемого , является или в зависимости от того, находится ли он в или ,
Векторы паритета называются четными и четными называются нечетными . В теоретической физике четные элементы иногда называют бозе-элементами или бозонными , а нечетные элементы — ферми-элементами или фермионными. Определения супервекторных пространств часто даются только в терминах однородных элементов, а затем по линейности распространяются на неоднородные элементы.
Если конечномерен , а размеры и являются и соответственно, тогда говорят, что он имеет размерность . Стандартное суперкоординатное пространство, обозначаемое , — обычное координатное пространство где четное подпространство натянуто на первое координатные базисные векторы, а нечетное пространство охватывается последними .
Однородное подпространство супервекторного пространства — это линейное подпространство , натянутое на однородные элементы. Однородные подпространства сами по себе являются супервекторными пространствами (с очевидной градуировкой).
Для любого супервекторного пространства , можно определить пространство с обратной четностью быть супервекторным пространством с поменянными местами четными и нечетными подпространствами. То есть,
Линейные преобразования [ править ]
Гомоморфизм сохраняющим , морфизм в категории степень супервекторных пространств, из одного супервекторного пространства в другое, является линейным преобразованием, . Линейное преобразование между супервекторными пространствами сохраняет сортность, если
То есть он отображает четные элементы к четным элементам и странные элементы к нечетным элементам . Изоморфизм биективным супервекторных пространств является гомоморфизмом . Множество всех гомоморфизмов обозначается . [2]
Каждое линейное преобразование, не обязательно сохраняющее степень, из одного супервекторного пространства в другое, можно однозначно записать как сумму преобразования, сохраняющего степень, и преобразования, обращающего степень, то есть преобразования такой, что
Объявление преобразований, сохраняющих степень, четными , а преобразований, изменяющих степень, нечетными, дает пространство всех линейных преобразований из к , обозначенный и называется внутренним , структура супервекторного пространства. В частности, [3]
Преобразование, изменяющее оценку, из к можно рассматривать как гомоморфизм из в перевернутое пространство четности , так что
Операции над супервекторными пространствами [ править ]
Обычные алгебраические конструкции для обычных векторных пространств имеют аналог в контексте супервекторного пространства.
Двойной пробел [ править ]
Двойное пространство супервекторного пространства можно рассматривать как супервекторное пространство, считая четными функционалами те, которые обращаются в нуль на а нечетными функционалами будут те, которые исчезают на . [4] Эквивалентно можно определить быть пространством линейных отображений из к (базовое поле рассматриваемое как чисто четное супервекторное пространство) с градацией, приведенной в предыдущем разделе.
Прямая сумма [ править ]
Прямые суммы супервекторных пространств строятся так же, как и в неградуированном случае, с градуировкой, заданной формулой
Тензорное произведение [ править ]
Также можно построить тензорные произведения супервекторных пространств. Здесь аддитивная структура вступает в игру. Базовое пространство такое же, как и в неклассифицированном случае, с градацией, заданной формулой
где индексы . В частности, у человека есть
Супермодули [ править ]
Точно так же, как можно обобщить векторные пространства над полем до модулей над коммутативным кольцом , можно обобщить супервекторные пространства над полем до супермодулей над суперкоммутативной алгеброй (или кольцом).
Распространенной конструкцией при работе с супервекторными пространствами является расширение поля скаляров до суперкоммутативной алгебры Грассмана . Учитывая поле позволять
обозначим алгебру Грассмана порожденную , антикоммутирующие нечетные элементы . Любой супервектор пространство над может быть встроен в модуль поверх рассматривая (градуированное) тензорное произведение
Категория супервекторных пространств [ править ]
Категория супервекторных пространств , обозначаемая , — категория которой , объекты являются супервекторными пространствами (над фиксированным полем ) и чьи морфизмы являются четными линейными преобразованиями (т.е. сохраняющими степень).
Категориальный подход к суперлинейной алгебре заключается в том, чтобы сначала сформулировать определения и теоремы, касающиеся обычных (неградуированных) алгебраических объектов, на языке теории категорий , а затем перенести их непосредственно в категорию супервекторных пространств. Это приводит к трактовке «суперобъектов», таких как супералгебры , супералгебры Ли , супергруппы и т. д., которая полностью аналогична их неклассифицированным аналогам.
Категория - это моноидальная категория с супертензорным произведением в качестве моноидального произведения и чисто четным супервекторным пространством. как единичный объект. Инволютивный оператор переплетения
данный
на однородных элементах получается в симметричную моноидальную категорию . Этот изоморфизм коммутативности кодирует «правило знаков», необходимое для суперлинейной алгебры. Фактически это говорит о том, что знак минус выбирается всякий раз, когда два нечетных элемента меняются местами. Не нужно беспокоиться о знаках в категориальной установке, если указанный выше оператор используется там, где это уместно.
также является замкнутой моноидальной категорией с внутренним объектом Hom , , заданное супервекторным пространством всех линейных карт из к . Обычный набор — четное подпространство в нем:
Тот факт, что замкнуто, означает, что функтор остается сопряженным с функтором , учитывая естественную биекцию
Супералгебра [ править ]
Супералгебра закончилась можно описать как супервекторное пространство с картой умножения
это гомоморфизм супервекторного пространства. Это равносильно требованию [5]
Ассоциативность и существование тождества можно выразить с помощью обычных коммутативных диаграмм, так что над ним образуется единая ассоциативная супералгебра. является моноидом в категории .
Примечания [ править ]
- ^ Варадараджан 2004 , с. 83
- ^ Варадараджан 2004 , с. 83
- ^ Варадараджан 2004 , с. 83
- ^ Варадараджан 2004 , с. 84
- ^ Варадараджан 2004 , с. 87
Ссылки [ править ]
- Делинь, П .; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)» . Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество . стр. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5 – через ИАС .
- Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Курант Конспект лекций по математике. Том. 11. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3574-6 .