Закрытая категория

В теории категорий , разделе математики , замкнутая категория представляет собой особый вид категории .

В локально малой категории внешний hom ( x , y отображает пару объектов в набор морфизмов . ) Итак, в категории множеств это объект самой категории. Точно так же в закрытой категории морфизмы (объекта) одного объекта в другой можно рассматривать как лежащие внутри категории. Это внутренний hom [ x , y ].

Каждая замкнутая категория имеет функтор забывания категории множеств, который, в частности, переводит внутреннюю hom во внешнюю hom.

Определение

можно Закрытую категорию определить как категорию ${\mathcal {C}}$ с так называемым внутренним функтором Hom

$\left[-\ -\right]:{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

с левыми стрелками Йонеда

$L:\left[B\ C\right]\to \left[\left[A\ B\right]\left[A\ C\right]\right]$

естественный в $B$ и $C$ и динатуральный в $A$и фиксированный объект $I$ из ${\mathcal {C}}$ с естественным изоморфизмом

$i_{A}:A\cong \left[I\ A\right]$

и динатуральная трансформация

$j_{A}:I\to \left[A\ A\right]$,

все они удовлетворяют определенным условиям согласованности.

Примеры

• Декартовы закрытые категории являются закрытыми категориями. В частности, любой топос закрыт. Канонический пример — категория множеств .
• Компактные закрытые категории — это закрытые категории. Каноническим примером является категория FdVect с конечномерными векторными пространствами в качестве объектов и линейными картами в качестве морфизмов.
• В более общем смысле любая моноидальная закрытая категория является закрытой категорией. В этом случае объект $I$ является моноидальной единицей.

Ссылки

• Эйленберг, С. ; Келли, GM (2012) [1966]. «Закрытые категории» . Материалы конференции по категорической алгебре. (Ла-Хойя, 1965. Springer. стр. 421–562. doi : 10.1007/978-3-642-99902-4_22 . ISBN  978-3-642-99902-4 .
• Закрытая категория в n Lab