Градуированное векторное пространство

В математике градуированное векторное пространство — это векторное пространство , которое имеет дополнительную структуру градуировки или градации , которая представляет собой разложение векторного пространства в прямую сумму векторных подпространств , обычно индексируемых целыми числами .

Для «чистых» векторных пространств это понятие было введено в гомологическую алгебру и широко используется для градуированных алгебр , которые представляют собой градуированные векторные пространства с дополнительными структурами.

Целочисленная градация

Позволять $\mathbb {N}$ быть набором неотрицательных целых чисел . Ан ${\textstyle \mathbb {N} }$ -градуированное векторное пространство , часто называемое просто градуированным векторным пространством без префикса $\mathbb {N}$ , представляет собой векторное пространство $V$ вместе с разложением в прямую сумму вида

V=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }V_{n}

где каждый $V_{n}$ является векторным пространством. Для данного n элементы $V_{n}$ тогда называются однородными элементами степени n .

Градуированные векторные пространства являются обычным явлением. совокупность всех полиномов от одной или нескольких переменных образует градуированное векторное пространство, где однородные элементы степени n представляют собой в точности линейные комбинации мономов степени Например , n .

Общая градация

Подпространства градуированного векторного пространства не обязательно должны индексироваться набором натуральных чисел и могут индексироваться элементами любого набора I . I -градуированное векторное пространство V — это векторное пространство вместе с разложением в прямую сумму подпространств, индексированных элементами i множества I :

V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}.

Таким образом, $\mathbb {N}$ -градуированное векторное пространство, как определено выше, представляет собой просто I в котором множество I -градуированное векторное пространство , $\mathbb {N}$ (набор натуральных чисел ).

Случай, когда я - кольцо $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (элементы 0 и 1) особенно важны в физике . А $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ -градуированное векторное пространство также известно как супервекторное пространство .

Гомоморфизмы

Для общих наборов индексов I линейное отображение между двумя I -градуированными векторными пространствами f : V → W называется градуированным линейным отображением, если оно сохраняет градуировку однородных элементов. Градуированное линейное отображение также называется гомоморфизмом (или морфизмом ) градуированных векторных пространств или однородным линейным отображением :

f(V_{i})\subseteq W_{i}

для всех я в я .

Для фиксированного поля и фиксированного набора индексов градуированные векторные пространства образуют категорию которой , морфизмы являются градуированными линейными картами.

Когда I — коммутативный моноид (например, натуральные числа), то в более общем смысле можно определить линейные отображения, однородные любой степени i в I , по свойству

f(V_{j})\subseteq W_{i+j}

для всех j в I ,

где «+» обозначает операцию моноида. Если, кроме того, I удовлетворяет свойству отмены , так что его можно вложить в порождаемую им абелеву группу A (например, целые числа, если I — натуральные числа), то можно также определить линейные отображения, однородные степени i в A , с помощью то же свойство (но теперь «+» обозначает групповую операцию в A ). В частности, для i в I линейное отображение будет однородным степени − i, если

f(V_{i+j})\subseteq W_{j}

для всех j в I , в то время как

f(V_{j})=0\,

если j - i не находится I. в

Подобно тому, как набор линейных отображений векторного пространства в себя образует ассоциативную алгебру ( алгебру эндоморфизмов векторного пространства), наборы однородных линейных отображений пространства в себя - либо ограничивающие степени до I , либо допускающие любые степени в группа A – образует ассоциативные градуированные алгебры над этими наборами индексов.

Операции над градуированными векторными пространствами

Некоторые операции над векторными пространствами можно определить и для градуированных векторных пространств.

Для двух I -градуированных векторных пространств V и W их прямая сумма имеет базовое векторное пространство V ⊕ W с градуировкой

( V ⊕ W ) _я знак равно V _я ⊕ W _я .

Если I — полугруппа , то тензорное произведение двух I -градуированных векторных пространств V и W является другим I -градуированным векторным пространством, $V\otimes W$ , с градацией

(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\left\{\left(j,k\right)\,:\;j+k=i\right\}}V_{j}\otimes W_{k}.

Ряд Гильберта – Пуанкаре

Учитывая $\mathbb {N}$ -градуированное векторное пространство, конечномерное для каждого $n\in \mathbb {N} ,$ его ряд Гильберта – Пуанкаре является формальным степенным рядом.

\sum _{n\in \mathbb {N} }\dim _{K}(V_{n})\,t^{n}.

Из приведенных выше формул следует ряд Гильберта – Пуанкаре прямой суммы и тензорного произведения градуированных векторных пространств (конечномерных в каждой степени) представляют собой соответственно сумму и произведение соответствующего ряда Гильберта – Пуанкаре.

См. также

Ссылки

Бурбаки, Н. (1974) Алгебра I (главы 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5 , Глава 2, Раздел 11; Глава 3.