Комодуль

В математике комодуль , это понятие двойственное модулю . или корпредставление — Определение комодуля над коалгеброй образуется путем дуализации определения модуля над ассоциативной алгеброй .

Формальное определение [ править ]

Пусть K — поле , C — коалгебра над K. а (Правый) комодуль над C — это K - векторное пространство M вместе с линейным отображением

\rho \colon M\to M\otimes C

такой, что

$(\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \rho =(\rho \otimes \mathrm {id} )\circ \rho$
$(\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \rho =\mathrm {id}$ ,

где Δ — коумножение для C , а ε — счетная единица.

Заметим, что во втором правиле мы определили $M\otimes K$ с $M\,$ .

Примеры [ править ]

Коалгебра — это комодуль над самой собой.
Если M — конечномерный модуль над конечномерной K -алгеброй A , то набор линейных функций от A до K образует коалгебру, а набор линейных функций от M до K образует комодуль над этой коалгеброй.
Градуированное векторное пространство V можно превратить в комодуль. Пусть I — набор индексов градуированного векторного пространства, и пусть $C_{I}$ быть векторным пространством с базисом $e_{i}$ для $i\in I$ . Мы поворачиваем $C_{I}$ в коалгебру, а V в $C_{I}$ -комодуль, а именно:

Пусть умножение включено $C_{I}$ быть предоставлено $\Delta (e_{i})=e_{i}\otimes e_{i}$ .
Пусть счетчик включен $C_{I}$ быть предоставлено $\varepsilon (e_{i})=1\$ .
Пусть карта $\rho$ на V будет задано выражением $\rho (v)=\sum v_{i}\otimes e_{i}$ , где $v_{i}$ является i -м однородным куском $v$ .

В алгебраической топологии [ править ]

Одним из важных результатов алгебраической топологии является тот факт, что гомологии $H_{*}(X)$ над дуальной алгеброй Стинрода ${\mathcal {A}}^{*}$ образует комодуль. ^[1] Это происходит из-за того, что алгебра Стинрода ${\mathcal {A}}$ имеет каноническое действие на когомологии

$\mu :{\mathcal {A}}\otimes H^{*}(X)\to H^{*}(X)$

Когда мы дуализируем двойственную алгебру Стинрода, это дает структуру комодуля

$\mu ^{*}:H_{*}(X)\to {\mathcal {A}}^{*}\otimes H_{*}(X)$

Этот результат распространяется и на другие теории когомологий, такие как комплексный кобордизм , и играет важную роль в вычислении его кольца когомологий. $\Omega _{U}^{*}(\{pt\})$ . ^[2] Основная причина рассмотрения структуры комодуля на гомологиях вместо структуры модуля на когомологиях заключается в том, что двойственная алгебра Стинрода ${\mathcal {A}}^{*}$ является коммутативным кольцом, и методы коммутативной алгебры предоставляют больше инструментов для изучения его структуры.

Рациональный комодуль [ править ]

Если M — (правый) комодуль над коалгеброй C , то M — (левый) модуль над дуальной алгеброй C ^∗, но обратное, вообще говоря, неверно: модуль над C ^∗ не обязательно является комодулем над C . — Рациональный комодуль это модуль над C ^∗ становится комодулем над C. который естественным образом

Морфизмы комодулей

Пусть R — кольцо , M , N , C — R -модули и

\rho _{M}:M\rightarrow M\otimes C,\ \rho _{N}:N\rightarrow N\otimes C

правые C -комодули. Тогда R -линейное отображение

f:M\rightarrow N

называется (правым) комодульным морфизмом или (правым) C-коллинеарным , если

\rho _{N}\circ f=(f\otimes 1)\circ \rho _{M}.

Это понятие двойственно понятию линейного отображения или векторных пространств , в более общем плане, гомоморфизма между R -модулями . ^[3]

См. также [ править ]

Разделенная структура власти

Ссылки [ править ]

^ Люлявичюс, Арунас (1968). «Гомологические комодулы» (PDF) . Труды Американского математического общества . 134 (2): 375–382. дои : 10.2307/1994750 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1994750 .
^ Мюллер, Майкл. «Расчет колец кобордизмов» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2 января 2021 года.
^ Халед Аль-Тахман, Эквивалентности категорий комодулей для коалгебр над кольцами , J. Pure Appl. Алгебра,.В. 173, выпуск: 3, 7 сентября 2002 г., стр. 245–271.

Гомес-Торресильяс, Хосе (1998), «Коалгебры и коммутативы над коммутативным кольцом», Румынский обзор чистой и прикладной математики , 43 : 591–603
Монтгомери, Сьюзен (1993). Алгебры Хопфа и их действия на кольцах . Серия региональных конференций по математике. Том. 82. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0738-2 . Збл 0793.16029 .
Свидлер, Мосс (1969), Алгебра Хопфа , Нью-Йорк: WABenjamin

[1] Люлявичюс, Арунас (1968). «Гомологические комодулы» (PDF) . Труды Американского математического общества . 134 (2): 375–382. дои : 10.2307/1994750 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1994750 .

[2] Мюллер, Майкл. «Расчет колец кобордизмов» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2 января 2021 года.

[3] Халед Аль-Тахман, Эквивалентности категорий комодулей для коалгебр над кольцами , J. Pure Appl. Алгебра,.В. 173, выпуск: 3, 7 сентября 2002 г., стр. 245–271.

[1]

[2]

[3]