Супералгебра

В математике и теоретической физике супералгебра — это Z ₂ - градуированная алгебра . То есть это алгебра над коммутативным кольцом или полем с разложением на «четные» и «нечетные» части и оператором умножения, сохраняющим градуировку.

Приставка супер- происходит из теории суперсимметрии в теоретической физике. Супералгебры и их представления, супермодули , обеспечивают алгебраическую основу для формулировки суперсимметрии. Изучение таких объектов иногда называют суперлинейной алгеброй . Супералгебры также играют важную роль в смежной области супергеометрии , где они входят в определения градуированных многообразий , супермногообразий и суперсхем .

Формальное определение

Пусть K — коммутативное кольцо . В большинстве приложений K представляет собой поле характеристики 0 такое как R или C. ,

Супералгебра — над K это K -модуль A с в прямую сумму разложением

$A=A_{0}\oplus A_{1}$

вместе с билинейным умножением A × A → A таким, что

$A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}$

где индексы читаются по модулю 2, т.е. они считаются элементами Z ₂ .

Суперкольцо , — , или 2 _- градуированное кольцо это супералгебра над кольцом целых чисел Z. Z

Элементы каждого из A _i называются однородными . Четность | однородного элемента x , обозначаемого x |, равно 0 или 1 в зависимости от того, находится ли он в A ₀ или A ₁ . Элементы четности 0 называются четными , а элементы четности 1 - нечетными . Если x и y оба однородны, то однородными являются и произведения xy и $|xy|=|x|+|y|$.

Ассоциативная супералгебра — это та, умножение которой ассоциативно , а унитальная супералгебра — это супералгебра с мультипликативным единичным элементом . Единичный элемент в единичной супералгебре обязательно четен. Если не указано иное, все супералгебры в этой статье считаются ассоциативными и унитальными.

Коммутативная супералгебра (или суперкоммутативная алгебра) — это та, которая удовлетворяет градуированной версии коммутативности . В частности, A коммутативен, если

$yx=(-1)^{|x||y|}xy\,$

для всех однородных элементов x и y из A . Существуют супералгебры, которые коммутативны в обычном смысле, но не в смысле супералгебры. часто называют суперкоммутативными . По этой причине коммутативные супералгебры во избежание путаницы

Соглашения о подписании

Когда градуировка Z ₂ возникает как «свертывание» Z- или N - градуированной алгебры на четные и нечетные компоненты, тогда в литературе можно найти два различных (но по существу эквивалентных) соглашения о знаках. Их можно назвать «соглашением о когомологических знаках» и «соглашением о суперзнаках». Они отличаются тем, как ведет себя антипод (обмен двух элементов). В первом случае имеется карта обмена

$xy\mapsto (-1)^{mn+pq}yx$

где $m=\deg x$ - это степень ( Z- или N -градация) $x$ и $p$ паритет. Так же, $n=\deg y$ это степень $y$ и с паритетом $q.$ Это соглашение обычно наблюдается в традиционных математических системах, таких как дифференциальная геометрия и дифференциальная топология. Другая конвенция состоит в том, чтобы принять

$xy\mapsto (-1)^{pq}yx$

с паритетами, заданными как $p=m\!\!\!\!\mod 2$ и $q=n\!\!\!\!\mod 2$ паритет. Это чаще встречается в текстах по физике и требует разумного использования функтора четности для отслеживания изоморфизмов. Подробные аргументы предоставлены Пьером Делинем.

Примеры

• Любую алгебру над коммутативным кольцом K можно рассматривать как чисто четную супералгебру над K ; то есть, считая A ₁ тривиальным.
• Любую Z- или N - градуированную алгебру можно рассматривать как супералгебру, читая градуировку по модулю 2. Сюда входят такие примеры, как тензорные алгебры и кольца полиномов над K .
• В частности, любая внешняя алгебра над K является супералгеброй. Внешняя алгебра является стандартным примером суперкоммутативной алгебры .
• Симметричные многочлены и знакопеременные многочлены вместе образуют супералгебру, являясь четной и нечетной частями соответственно. Обратите внимание, что это другая оценка, чем оценка по степени.
• Алгебры Клиффорда являются супералгебрами. Они, как правило, некоммутативны.
• Множество всех эндоморфизмов (обозначаемых $\mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)$, где жирный шрифт $\mathrm {Hom}$ называется внутренним $\mathrm {Hom}$, составленное из всех линейных отображений) супервекторного пространства образует супералгебру при композиции.
• Множество всех квадратных суперматриц с элементами из K образует супералгебру, обозначаемую M _{p | q} ( К ). Эту алгебру можно отождествить с алгеброй эндоморфизмов свободного супермодуля над K ранга p | q и является внутренним Hom для этого пространства.
• Супералгебры Ли — градуированный аналог алгебр Ли . Супералгебры Ли неединичны и неассоциативны; однако можно построить аналог универсальной обертывающей алгебры супералгебры Ли, которая является унитарной ассоциативной супералгеброй.

Дальнейшие определения и конструкции

Даже подалгебра

Пусть A супералгебра над коммутативным кольцом K. — Подмодуль А А0 _и , состоящий из всех четных элементов, замкнут относительно умножения и содержит единицу поэтому , естественно называемую образует подалгебру А четной подалгеброй . образует обычную алгебру над K. Она

Множество всех нечетных элементов A ₁ представляет собой A ₀ - бимодуль , скалярное умножение которого есть просто умножение в A . Произведение в А придает А ₁ билинейную форму.

$\mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}$

такой, что

$\mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)$

для всех x , y и z в A ₁ . Это следует из ассоциативности произведения в A .

Инволюция степени

На любой супералгебре существует канонический инволютивный автоморфизм , называемый градуированной инволюцией . На однородных элементах он дается формулой

${\hat {x}}=(-1)^{|x|}x$

и на произвольных элементах по

${\hat {x}}=x_{0}-x_{1}$

где x _i — однородные части x . Если A не имеет 2-кручения (в частности, если 2 обратимо), то инволюцию степени можно использовать для различения четных и нечетных частей A :

$A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.$

Суперкоммутативность

Суперкоммутатор формулой на A — это бинарный оператор, заданный

$[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx$

на однородных элементах, распространенный на все А по линейности. элементы x и y из A Говорят, что суперкоммутируют, если [ x , y ] = 0 .

Суперцентр всеми A элементами — это набор всех элементов A , которые суперкоммутируют со A :

$\mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.$

Суперцентр A , как правило, отличается от центра A как неградуированной алгебры. суперцентр которой целиком принадлежит A. Коммутативная супералгебра — это та ,

Супертензорное произведение

Градуированное тензорное произведение двух супералгебр A и B можно рассматривать как супералгебру A ⊗ B с правилом умножения, определяемым следующим образом:

$(a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).$

Если A или B чисто четные, это эквивалентно обычному неградуированному тензорному произведению (за исключением того, что результат градуирован). Однако в целом супертензорное произведение отличается от тензорного произведения A и B, рассматриваемых как обычные неградуированные алгебры.

Обобщения и категориальное определение

Определение супералгебры можно легко обобщить, включив в него супералгебры над коммутативным суперкольцом. Определение, данное выше, является специализацией случая, когда базовое кольцо чисто четное.

Пусть R — коммутативное суперкольцо. Супералгебра R над R — это - супермодуль A с R -билинейным умножением A × A → A , сохраняющим градуировку. Билинейность здесь означает, что

$r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)$

для всех однородных r ∈ R и x , y ∈ A. элементов

Эквивалентно, можно определить супералгебру над R как суперкольцо A вместе с гомоморфизмом суперколец R → A , образ которого лежит в суперцентре A .

Можно также дать категорическое определение супералгебры . Категория R всех R -супермодулей образует моноидальную категорию относительно супертензорного произведения, где служит единичным объектом. Тогда ассоциативная супералгебра с единицей над R может быть определена как моноид в категории R -супермодулей. То есть супералгебра — это R -супермодуль A с двумя (четными) морфизмами

${\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}$

для которого коммутируют обычные диаграммы.

Ссылки

• Делинь, П .; Морган, JW (1999). «Заметки о суперсимметрии (по Джозефу Бернштейну)». Квантовые поля и струны: курс для математиков . Том. 1. Американское математическое общество. стр. 41–97. ISBN  0-8218-2012-5 .

• Кац, В.Г .; Мартинес, К.; Зельманов, Э. (2001). Градуированные простые йордановы супералгебры роста один . Мемуары из серии АМС. Том. 711. Книжный магазин АМС. ISBN  978-0-8218-2645-4 .

• Манин, Ю.И. (1997). Теория калибровочного поля и сложная геометрия ((2-е изд.) Изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-61378-1 .

• Варадараджан, В.С. (2004). Суперсимметрия для математиков: Введение . Курант Конспект лекций по математике. Том. 11. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3574-6 .