скобка Схоутена – Нийенхейса

В дифференциальной геометрии скобка Схоутена-Нийенхейса , также известная как скобка Схоутена , представляет собой тип градуированной скобки Ли, определенной на мультивекторных полях на гладком многообразии, расширяющем скобку Ли векторных полей .

Существуют две разные версии, обе довольно запутанно названы одним и тем же именем. Наиболее распространенная версия определена на знакопеременных мультивекторных полях и превращает их в алгебру Герстенхабера , но существует также другая версия, определенная на симметричных мультивекторных полях, которая более или менее совпадает со скобкой Пуассона на кокасательном расслоении . Его изобрел Ян Арнольдус Схоутен (1940, 1953), а его свойства исследовал его ученик Альберт Ниенхейс (1955). Она связана со скобками Нейенхейса-Ричардсона и скобками Фрелихера-Нийенхейса, но не совпадает с ними .

Определение и свойства

Переменное многовекторное поле — это раздел внешней алгебры. $\wedge ^{\bullet }TM$ над касательным расслоением многообразия $M$. Переменные мультивекторные поля образуют градуированное суперкоммутативное кольцо с произведением $a$ и $b$ написано как $ab$ (некоторые авторы используют $a\wedge b$). Это двойственно обычной алгебре дифференциальных форм. $\Omega ^{\bullet }(M)$ путем спаривания однородных элементов:

$\omega (a_{1}a_{2}\dots a_{p})=\left\{{\begin{matrix}\omega (a_{1},\dots ,a_{p})&(\omega \in \Omega ^{p}M)\\0&(\omega \not \in \Omega ^{p}M)\end{matrix}}\right.$

Степень ​ многовекторности $A$ в $\Lambda ^{p}TM$ определяется как $|A|=p$.

Кососимметричная скобка Схоутена – Нийенхейса — это уникальное расширение скобки Ли векторных полей до градуированной скобки в пространстве знакопеременных мультивекторных полей, которое превращает знакопеременные мультивекторные поля в алгебру Герстенхабера . Он задается через скобку Ли векторных полей формулой

$[a_{1}\cdots a_{m},b_{1}\cdots b_{n}]=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[a_{i},b_{j}]a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{m}b_{1}\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_{n}$

для векторных полей $a_{i}$, $b_{j}$ и

$[f,a_{1}\cdots a_{m}]=-\iota _{df}(a_{1}\cdots a_{m})$

для векторных полей $a_{i}$ и плавная функция $f$, где $\iota _{df}$ является общим оператором внутренней продукции . Он имеет следующие свойства.

• $(ab)c=a(bc)$ (произведение ассоциативное);
• $ab=(-1)^{|a||b|}ba$ (произведение (супер)коммутативно);
• $|ab|=|a|+|b|$ (продукт имеет степень 0);
• $|[a,b]|=|a|+|b|-1$ (скобка Схоутена–Нийенхейса имеет степень −1);
• $[a,bc]=[a,b]c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b[a,c]$ (тождество Пуассона);
• $[a,b]=-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,a]$ (антисимметрия или скобка Схоутена – Нийенхейса);
• $[[a,b],c]=[a,[b,c]]-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,[a,c]]$ (тождество Якоби для скобки Схоутена – Нейенхейса);
• Если $f$ и $g$ являются функциями (мультивекторами, однородными степени 0), то $[f,g]=0$;
• Если $a$ является векторным полем, то $[a,b]=L_{a}b$ — обычная производная Ли многовекторного поля $b$ вдоль $a$, и в частности, если $a$ и $b$ являются векторными полями, то скобка Схоутена–Нийенхейса является обычной скобкой Ли векторных полей.

Скобка Схоутена – Нийенхейса превращает мультивекторные поля в супералгебру Ли, если градуировка меняется на градуировку противоположной четности (так что четное и нечетное подпространства меняются местами), хотя с этой новой градуировкой оно больше не является суперкоммутативным кольцом. Соответственно тождество Якоби может быть выражено и в симметричной форме

$(-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,$

Обобщения

Существует общее обобщение скобки Схоутена–Нийенхейса для знакопеременных многовекторных полей и скобки Фрелихера–Нийенхейса, предложенное Виноградовым (1990).

Аналогично можно определить версию скобки Схоутена–Нейенхейса и для симметричных многовекторных полей. Симметричные многовекторные поля можно отождествить с функциями в кокасательном пространстве. $T^{*}M$ из $M$ полиномиальны в слое, и при этом отождествлении симметричная скобка Схоутена–Нийенхейса соответствует скобке Пуассона функций на симплектическом многообразии $T^{*}M$. Существует общее обобщение скобки Схоутена – Нийенхейса для симметричных многовекторных полей и скобки Фрелихера – Нийенхейса, предложенное Дюбуа-Виолеттом и Питером В. Микором (1995).

Ссылки

• Дюбуа-Виолетт, Мишель; Михор, Питер В. (1995). «Общее обобщение скобки Фрелихера – Ниенхейса и скобки Схоутена для симметричных многовекторных полей». Индаг. Математика . 6 (1): 51–66. arXiv : alg-geom/9401006 . дои : 10.1016/0019-3577(95)98200-у .
• Марль, Шарль-Мишель (1997). «Кронштейн Schouten-Nijenhuis и изделия для интерьера» (PDF) . Журнал геометрии и физики . 23 (3–4): 350–359. Бибкод : 1997JGP....23..350M . CiteSeerX   10.1.1.27.5358 . дои : 10.1016/s0393-0440(97)80009-5 .
• Нийенхейс, А. (1955). «Тождества типа Якоби для билинейных дифференциальных сопутствующих некоторых тензорных полей I». Математические исследования . 17 : 390–403. дои : 10.1016/S1385-7258(55)50054-0 . hdl : 10338.dmlcz/102420 .
• Схаутен, Дж. А. (1940). «О дифференциальном сопутствующем двух контравариантных величинах». Индаг. Математика . 2 : 449-452.
• Схоутен, Дж. А. (1953). «О дифференциальных операторах первого порядка в тензорном исчислении». На кремонском языке (ред.). Конвеньо Междунар. Геом. Диф. Италия . стр. 1–7.
• Виноградов, А.М. (1990). «Объединение скобок Схоутена – Нейенхейса и Фрелихера – Нейенхейса, когомологий и супердифференциальных операторов». Сов. Математика. Заметки . 47 .

Внешние ссылки

• Никола Чикколи Скобка Схоутена – Нийенхейса в примечаниях к книге «От Пуассона к квантовой геометрии»