Кронштейн Фрелихера – Ниенхейса

В математике скобка Фрелихера -Нийенхейса является расширением скобки Ли векторных полей до векторнозначных дифференциальных форм на дифференцируемом многообразии .

Это полезно при изучении связностей , особенно связности Эресмана , а также при более общем изучении проекций в касательном расслоении . Он был введен Альфредом Фрелихером и Альбертом Ниенхейсом (1956) и связан с работой Схоутена (1940).

Это связано со скобками Нейенхейса-Ричардсона и скобками Схоутена-Нийенхейса, но не совпадает с ними .

Определение

Пусть Ω*( ) — пучок внешних алгебр дифференциальных форм на гладком многообразии M. M Это градуированная алгебра , в которой формы градуированы по степени:

$\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M).$

Градуированное дифференцирование степени ℓ — это отображение

$D:\Omega ^{*}(M)\to \Omega ^{*+l}(M)$

которое линейно по константам и удовлетворяет условию

$D(\alpha \wedge \beta )=D(\alpha )\wedge \beta +(-1)^{\ell \deg(\alpha )}\alpha \wedge D(\beta ).$

Таким образом, в частности, внутреннее произведение с вектором определяет градуированное дифференцирование степени ℓ = −1, тогда как внешняя производная является градуированным дифференцированием степени ℓ = 1.

Векторное пространство всех дифференцирований степени ℓ обозначается Der _ℓ Ω*( M ). Прямая сумма этих пространств представляет собой градуированное векторное пространство , однородные компоненты которого состоят из всех градуированных дифференцирований заданной степени; это обозначается

$\mathrm {Der} \,\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=-\infty }^{\infty }\mathrm {Der} _{k}\,\Omega ^{*}(M).$

Это образует градуированную супералгебру Ли относительно антикоммутатора дифференцирований, определенного на однородных дифференцированиях D ₁ и D ₂ степеней d ₁ и d ₂ соответственно формулами

$[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-(-1)^{d_{1}d_{2}}D_{2}\circ D_{1}.$

Любая векторнозначная дифференциальная форма K в Ω ^к ( M , TM ) со значениями в касательном расслоении к M определяет градуированное дифференцирование степени k − 1, обозначаемое i _K и называемое оператором вставки. Для ω ∈ Ω ^ℓ ( М ),

$i_{K}\,\omega (X_{1},\dots ,X_{k+\ell -1})={\frac {1}{k!(\ell -1)!}}\sum _{\sigma \in {S}_{k+\ell -1}}{\textrm {sign}}\,\sigma \cdot \omega (K(X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (k)}),X_{\sigma (k+1)},\dots ,X_{\sigma (k+\ell -1)})$

Производная Нийенхейса –Ли вдоль K ∈ Ω ^к ( M , TM ) определяется формулой

${\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]=i_{K}\,{\circ }\,d-(-1)^{k-1}d\,{\circ }\,i_{K}$

где d — внешняя производная, а i _K — оператор вставки.

Скобка Фрелихера – Нийенхейса определяется как уникальная векторнозначная дифференциальная форма.

$[\cdot ,\cdot ]_{FN}:\Omega ^{k}(M,\mathrm {T} M)\times \Omega ^{\ell }(M,\mathrm {T} M)\to \Omega ^{k+\ell }(M,\mathrm {T} M):(K,L)\mapsto [K,L]_{FN}$

такой, что

${\mathcal {L}}_{[K,L]_{FN}}=[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{L}].$

Следовательно,

$[K,L]_{FN}=-(-1)^{kl}[L,K]_{FN}.$

Если k = 0, то K ∈ Ω ⁰ ( М , Т М ) — векторное поле, восстанавливается обычная гомотопическая формула для производной Ли

${\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]=i_{K}\,{\circ }\,d+d\,{\circ }\,i_{K}.$

Если k = ℓ =1, то K,L ∈ Ω ¹ ( М , Т М ), для любых векторных полей X и Y

$[K,L]_{FN}(X,Y)=[KX,LY]+[LX,KY]+(KL+LK)[X,Y]-K([LX,Y]+[X,LY])-L([KX,Y]+[X,KY]).$

Если k =0 и ℓ =1, так что K=Z ∈ Ω ⁰ ( M , T M ) — векторное поле и L ∈ Ω ¹ ( M , T M ) для любого векторного поля X

$[Z,L]_{FN}(X)=[Z,LX]-L[Z,X].$

Явная формула для скобки Фрелихера–Нийенхейса $\phi \otimes X$ и $\psi \otimes Y$ (для форм φ и ψ и векторных полей X и Y ) определяется выражением

$\left.\right.[\phi \otimes X,\psi \otimes Y]_{FN}=\phi \wedge \psi \otimes [X,Y]+\phi \wedge {\mathcal {L}}_{X}\psi \otimes Y-{\mathcal {L}}_{Y}\phi \wedge \psi \otimes X+(-1)^{\deg(\phi )}(d\phi \wedge i_{X}(\psi )\otimes Y+i_{Y}(\phi )\wedge d\psi \otimes X).$

Выводы кольца форм

Каждое дифференцирование Ω ^* ( M ) можно записать как

$i_{L}+{\mathcal {L}}_{K}$

для уникальных элементов K и L из Ω ^* ( М , Т М ). Скобка Ли этих выводов имеет следующий вид.

• Выводы формы ${\mathcal {L}}_{K}$ образуют супералгебру Ли всех дифференцирований, коммутирующих с d . Скобка задается

$[{\mathcal {L}}_{K_{1}},{\mathcal {L}}_{K_{2}}]={\mathcal {L}}_{[K_{1},K_{2}]}$

где скобка справа — это скобка Фрелихера–Ниенхейса. В частности, скобка Фрелихера – Нийенхейса определяет структуру градуированной алгебры Ли на $\Omega (M,\mathrm {T} M)$, расширяющая скобку Ли векторных полей .

• Выводы формы $i_{L}$ образуют супералгебру Ли всех дифференцирований, исчезающих на функциях Ω ⁰ ( М ). Скобка задается

$[i_{L_{1}},i_{L_{2}}]=i_{[L_{1},L_{2}]^{\land }}$

где скобка справа — это скобка Нейенхейса–Ричардсона .

• Скобка дифференцирований разных типов имеет вид

$[{\mathcal {L}}_{K},i_{L}]=i_{[K,L]}-(-1)^{kl}{\mathcal {L}}_{i_{L}K}$

для K в Ω ^к ( M , T M ), L в Ω ^л+1 ( М , Т М ).

Приложения

Тензор Нийенхейса J почти комплексной структуры представляет собой скобку Фрелихера – Нийенхейса J с самим собой. Почти комплексная структура является комплексной тогда и только тогда, когда тензор Нийенхейса равен нулю.

С помощью скобки Фрелихера – Нийенхейса можно определить кривизну и кокривизну векторнозначной 1-формы, которая является проекцией . Это обобщает понятие кривизны соединения .

Существует общее обобщение скобки Схоутена – Нейенхейса и скобки Фрелихера – Нейенхейса; подробнее см. статью о скобке Схоутена – Нийенхейса .

Ссылки

• Фрелихер, А.; Нидженхейс, А. (1956), «Теория векторнозначных дифференциальных форм. Часть I.», Indagationes Mathematicae , 18 : 338–360, doi : 10.1016/S1385-7258(56)50046-7 .
• Фрёлихер, А.; Нидженхейс, А. (1960), «Инвариантность операций векторной формы при отображениях», Commentarii Mathematici Helvetici , 34 : 227–248, doi : 10.1007/bf02565938 , S2CID   122349574 .
• П.В. Михор (2001) [1994], «Скоба Фрелихера – Нийенхейса» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Схоутен, Дж. А. (1940), «О дифференциальном сочетании двух контравариантных величин», Indagationes Mathematicae , 2 : 449–452 .