Вывод (дифференциальная алгебра)

В математике вывод , является функцией для алгебры которая обобщает определенные особенности производного оператора. алгебры В частности, с учетом над кольцом или поле k , k -Dervation - это k - линейная карта D : A → A , которая удовлетворяет закону Лейбниза :

D(ab)=aD(b)+D(a)b.

В более общем плане, если M бимодуль k - , , которая удовлетворяет закону Лейбниза , -линейная карта D : A → M также называется деривацией. Коллекция всех K -источников A до самой обозначена Der _K ( A ). Сборник k -источников A в A -модуль M обозначена Der _K ( A , M ) .

Деривации встречаются во многих различных контекстах в различных областях математики. Частичная производная по отношению к переменной -это R -деривация на алгебре реальных дифференцируемых функций на R ^неПолем Производная Lie по отношению к векторному полю представляет собой R -Dervation на алгебре дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; В более общем смысле это вывод на тензорной алгебре многообразования. Отсюда следует, что соответствующее представление алгебры лей является выводом на эту алгебру. Производное Pincherle является примером вывода в абстрактной алгебре . Если алгебра А является некоммутативной, то коммутатор относительно элемента алгебры определяет эндоморфизм А для К. является деривацией над линейный себя, который То есть,

[FG,N]=[F,N]G+F[G,N],

где $[\cdot ,N]$ коммутатор по отношению к $N$ Полем Алгебра, оснащенная выдающимся деривацией D образует дифференциальную алгебру и сама является значительным объектом исследования в таких областях, как теория дифференциальной галуа .

Характеристики

Если a -k -алгебра , для k кольцо, а $d : a \to a$ -это k -dervation, тогда

Если A имеет единицу 1, то D (1) = D (1 ²) = 2 d (1), так что ( 1) = 0. Таким образом, с помощью k -Lelineity, d ( k ) = 0 для всех $k \in K.$ d
Если А коммутативен, D ( x ²) = xd ( x ) + d ( x ) x = 2 xd ( x ) и d ( x ^не) = nx ^{n -1}D ( x ), по правилу Лейбниза.
В целом, для любого $x 1, x 2,\dots, x n \in A$ , это следует путем индукции , что
$D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}$

который есть

{\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}

Если для всего

я

,

d (x i)

поездка с поездками с

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}

.

Для n > 1, d ^не не является выводом, вместо этого удовлетворяет правилу Лейбниза высшего порядка:

D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).

Более того, если m -а -бимодуль , напишите

\operatorname {Der} _{K}(A,M)

Для набора K -проделения A до M. от

Der _K ( a , m ) - модуль над k .
Der _K ( A ) - алгебра Lie с кронштейном Lie, определяемая коммутатором :

[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.

Поскольку легко проверяется, что коммутатор двух производных снова является выводом.

Существует a -модуль $ω a / k$ (называемый дифференциалами Kähler ) с k -dervation $d : a \to ω a / k,$ через который какой -либо вывод $D : A \to M$ -факторы. То есть для любого вывода D есть -модуля карта $φ$ с

D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M

Переписка

D\leftrightarrow \varphi

является изоморфизмом -модулами :

\operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)

Если $k \subset k$ -это подборка , то унаследование структуры K -Algebra, поэтому есть включение

\operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),

Поскольку любая k -задержка -это k -ddivation .

Градуированные производные

Учитывая градуированную алгебру A и однородную линейную карту D класса | D | На a , D является однородным деривацией если

{D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}

Для каждого однородного элемента A и каждого элемента для B = коммутаторного фактора ε ± 1 . Расчетный вывод - это сумма однородных производных с одинаковыми ε .

Если ε = 1 , это определение сводится к обычному случаю. если ε = −1 Однако,

{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}

для нечетного | D |, и D называется анти-деривацией .

Примеры анти-деривации включают внешнее производное и внутренний продукт, действующий на дифференциальные формы .

Градовые выводы супельгельз (то есть z ₂ -градусные алгебры) часто называют сверхдеров .

Связанные представления

Деривации Hasse -Schmidt -это k гомоморфизмы -алгебры

A\to A[[t]].

СООБЩЕНИЕ СОЗДАНИЕ С картой, которая посылает официальную серию мощности $\sum a_{n}t^{n}$ к коэффициенту $a_{1}$ дает вывод.

Смотрите также

В дифференциальной геометрии производные являются касательными векторами
Келлер дифференциал
Hasse Производная
P -DEDITION
Виртингер производная
Производство экспоненциальной карты

Ссылки

Бурбаки, Николас (1989), Алгебра I , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
Эйзенбуд, Дэвид (1999), коммутативная алгебра с целью алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8 .
Matsuma, Hideyuki (1970), коммутативная алгебра , серия лекций по математике, WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6 .
Кола, Иван; Словак, Ян; Michor, Peter W. (1993), Природные операции в дифференциальной геометрии , Springer-Verlag .