Вывод (дифференциальная алгебра)
В математике вывод , является функцией для алгебры которая обобщает определенные особенности производного оператора. алгебры В частности, с учетом над кольцом или поле k , k -Dervation - это k - линейная карта D : A → A , которая удовлетворяет закону Лейбниза :
В более общем плане, если M бимодуль k - , , которая удовлетворяет закону Лейбниза , -линейная карта D : A → M также называется деривацией. Коллекция всех K -источников A до самой обозначена Der K ( A ). Сборник k -источников A в A -модуль M обозначена Der K ( A , M ) .
Деривации встречаются во многих различных контекстах в различных областях математики. Частичная производная по отношению к переменной -это R -деривация на алгебре реальных дифференцируемых функций на R не Полем Производная Lie по отношению к векторному полю представляет собой R -Dervation на алгебре дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; В более общем смысле это вывод на тензорной алгебре многообразования. Отсюда следует, что соответствующее представление алгебры лей является выводом на эту алгебру. Производное Pincherle является примером вывода в абстрактной алгебре . Если алгебра А является некоммутативной, то коммутатор относительно элемента алгебры определяет эндоморфизм А для К. является деривацией над линейный себя, который То есть,
где коммутатор по отношению к Полем Алгебра, оснащенная выдающимся деривацией D образует дифференциальную алгебру и сама является значительным объектом исследования в таких областях, как теория дифференциальной галуа .
Характеристики
[ редактировать ]Если a -k -алгебра , для k кольцо, а d : a → a -это k -dervation, тогда
- Если A имеет единицу 1, то D (1) = D (1 2 ) = 2 d (1), так что ( 1) = 0. Таким образом, с помощью k -Lelineity, d ( k ) = 0 для всех k ∈ K. d
- Если А коммутативен, D ( x 2 ) = xd ( x ) + d ( x ) x = 2 xd ( x ) и d ( x не ) = nx n -1 D ( x ), по правилу Лейбниза.
- В целом, для любого x 1 , x 2 ,…, x n ∈ A , это следует путем индукции , что
- который есть Если для всего я , d ( x i ) поездка с поездками с .
- Для n > 1, d не не является выводом, вместо этого удовлетворяет правилу Лейбниза высшего порядка:
- Более того, если m -а -бимодуль , напишите
- Для набора K -проделения A до M. от
- Der K ( a , m ) - модуль над k .
- Der K ( A ) - алгебра Lie с кронштейном Lie, определяемая коммутатором :
- Поскольку легко проверяется, что коммутатор двух производных снова является выводом.
- Существует a -модуль ω a / k (называемый дифференциалами Kähler ) с k -dervation d : a → ω a / k, через который какой -либо вывод D : A → M -факторы. То есть для любого вывода D есть -модуля карта φ с
- Переписка является изоморфизмом -модулами :
- Если k ⊂ k -это подборка , то унаследование структуры K -Algebra, поэтому есть включение
- Поскольку любая k -задержка -это k -ddivation .
Градуированные производные
[ редактировать ]
Учитывая градуированную алгебру A и однородную линейную карту D класса | D | На a , D является однородным деривацией если
Для каждого однородного элемента A и каждого элемента для B = коммутаторного фактора ε ± 1 . Расчетный вывод - это сумма однородных производных с одинаковыми ε .
Если ε = 1 , это определение сводится к обычному случаю. если ε = −1 Однако,
для нечетного | D |, и D называется анти-деривацией .
Примеры анти-деривации включают внешнее производное и внутренний продукт, действующий на дифференциальные формы .
Градовые выводы супельгельз (то есть z 2 -градусные алгебры) часто называют сверхдеров .
Связанные представления
[ редактировать ]Деривации Hasse -Schmidt -это k гомоморфизмы -алгебры
СООБЩЕНИЕ СОЗДАНИЕ С картой, которая посылает официальную серию мощности к коэффициенту дает вывод.
Смотрите также
[ редактировать ]- В дифференциальной геометрии производные являются касательными векторами
- Келлер дифференциал
- Hasse Производная
- P -DEDITION
- Виртингер производная
- Производство экспоненциальной карты
Ссылки
[ редактировать ]- Бурбаки, Николас (1989), Алгебра I , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
- Эйзенбуд, Дэвид (1999), коммутативная алгебра с целью алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8 .
- Matsuma, Hideyuki (1970), коммутативная алгебра , серия лекций по математике, WA Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6 .
- Кола, Иван; Словак, Ян; Michor, Peter W. (1993), Природные операции в дифференциальной геометрии , Springer-Verlag .