Кольцо Пуассона
В математике — кольцо Пуассона коммутативное кольцо , на котором выполняются антикоммутативная и дистрибутивная бинарная операция. удовлетворяющее тождеству Якоби , и правило произведения определено . Такая операция тогда известна как скобка Пуассона кольца Пуассона.
![{\displaystyle [\cdot,\cdot]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
Многие важные операции и результаты симплектической геометрии и гамильтоновой механики могут быть сформулированы в терминах скобки Пуассона и, следовательно, применимы к алгебрам Пуассона и . Это наблюдение важно при изучении классического предела квантовой механики — некоммутативная алгебра операторов в гильбертовом пространстве имеет сингулярным пределом алгебру Пуассона функций на симплектическом многообразии , а свойства некоммутативной алгебры переходят к соответствующие свойства алгебры Пуассона.
Определение [ править ]
Скобка Пуассона должна удовлетворять тождествам
- (косая симметрия)
- (дистрибутивность)
- ( вывод )
- ( личность Якоби )
![{\displaystyle [е,г]=-[г,ф]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fca41d790d01ae352035e6a15680c369ffe695a)
![{\displaystyle [е+г,ч]=[е,ч]+[г,ч]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14d383916d3fa58ff33908769b1a7e19faa9cc4)
![{\displaystyle [fg,h]=f[g,h]+[f,h]g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5d39004590742d3349958710d6329226221541)
![{\displaystyle [е,[г,ч]]+[г,[ч,ф]]+[ч,[е,г]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16d4100f7df5af9370ab0ef4c0301145b2d9a60)
для всех на ринге.
Алгебра Пуассона — это кольцо Пуассона, которое также является алгеброй над полем . В этом случае добавьте дополнительное требование
![{\displaystyle [sf,g]=s[f,g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd1e119ea92e2d680c793fc60ea636c6d4a2daf)
для всех скаляров s .
Для каждого g в пуассоновском кольце A операция определяется как является производным . Если набор порождает множество дифференцирований A , то A называется невырожденным .
![{\displaystyle ad_{g}(f)=[f,g]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0742abfb792d57431a194a671b1861e7843dc45)
Если невырожденное пуассоновское кольцо изоморфно как коммутативное кольцо алгебре гладких функций на многообразии M , то M должно быть симплектическим многообразием и — скобка Пуассона, определяемая симплектической формой .
Ссылки [ править ]
- «Если алгебра функций на многообразии является кольцом Пуассона, то это многообразие симплектично» . ПланетаМатематика .
Эта статья включает в себя материал из Poisson Ring на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .