Некоммутативное кольцо

В математике — некоммутативное кольцо это кольцо , умножение которого некоммутативно ; то есть существуют a и b в кольце такие, что ab и ba различны. Эквивалентно, некоммутативное кольцо — это кольцо, которое не является коммутативным .

Некоммутативная алгебра — раздел теории колец, посвященный изучению свойств некоммутативных колец, в том числе свойств, применимых также к коммутативным кольцам.

Иногда термин «некоммутативное кольцо» используется вместо «кольцо» для обозначения неопределенного кольца, которое не обязательно является коммутативным и, следовательно, может быть коммутативным. Как правило, это делается для того, чтобы подчеркнуть, что изучаемые свойства не ограничиваются коммутативными кольцами, поскольку во многих контекстах слово «кольцо» используется как сокращение от коммутативного кольца .

Хотя некоторые авторы не предполагают, что кольца обладают мультипликативной идентичностью, в этой статье мы делаем это предположение, если не указано иное.

Примеры

Некоторые примеры некоммутативных колец:

• Матричное кольцо из n -x n матриц над действительными числами , где n > 1
• Гамильтона Кватернионы
• Любое групповое кольцо, построенное из группы, не являющейся абелевой.

Некоторые примеры колец, которые обычно не являются коммутативными (но могут быть коммутативными в простых случаях):

• Бесплатное кольцо $\mathbb {Z} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle$ порождено конечным набором, примером двух неравных элементов являются $2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{1}\neq 3x_{1}x_{2}$
• Алгебра Вейля $A_{n}(\mathbb {C} )$, являющееся кольцом полиномиальных дифференциальных операторов, определенных в аффинном пространстве; например, $A_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} \langle x,y\rangle /(xy-yx-1)$, где идеал соответствует коммутатору
• Фактор-кольцо $\mathbb {C} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle /(x_{i}x_{j}-q_{ij}x_{j}x_{i})$, называемая квантовой плоскостью , где $q_{ij}\in \mathbb {C}$
• Любую алгебру Клиффорда можно описать явно, используя представление алгебры: учитывая $\mathbb {F}$-векторное пространство $V$ размерности n квадратичной формы $q:V\otimes V\to \mathbb {F}$, ассоциированная алгебра Клиффорда имеет представление $\mathbb {F} \langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle /(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i}-q(e_{i},e_{j}))$ на любой основе $e_{1},\ldots ,e_{n}$ из $V$,
• Супералгебры — еще один пример некоммутативных колец; их можно представить как $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\langle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}\rangle /(\theta _{i}\theta _{j}+\theta _{j}\theta _{i})$
• Существуют конечные некоммутативные кольца: например, на n матрицы размером n над конечным полем для n > 1 . Наименьшее некоммутативное кольцо — это кольцо верхних треугольных матриц над полем из двух элементов; оно имеет восемь элементов, и все некоммутативные кольца с восемью элементами изоморфны ему или его противоположности .

История

Начиная с тел, возникших в геометрии, изучение некоммутативных колец превратилось в важную область современной алгебры. Теория и изложение некоммутативных колец расширялись и уточнялись в XIX и XX веках многими авторами. Неполный список таких авторов включает Э. Артина , Рихарда Брауэра , П.М. Кона , В.Р. Гамильтона , И.Н. Херштейна , Н. Якобсона , К. Мориту , Э. Нётер , О. Оре , Дж. Веддерберн и другие.

между коммутативной и

Поскольку некоммутативные кольца, представляющие научный интерес, сложнее коммутативных, их структура, свойства и поведение менее изучены. Была проделана большая работа по успешному обобщению некоторых результатов коммутативных колец на некоммутативные кольца. Основное различие между кольцами, которые являются и не являются коммутативными, заключается в необходимости отдельного рассмотрения правых и левых идеалов . Сторонники теории некоммутативных колец обычно навязывают условие одному из этих типов идеалов, не требуя, чтобы оно выполнялось для противоположной стороны. Для коммутативных колец различия между левым и правым не существует.

Важные занятия

Разделительные кольца

Основная статья: Дивизионное кольцо

Тело, называемое также телом, — это кольцо , в котором деление возможно . В частности, это ненулевое кольцо в котором каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный , т. е. элемент x с a · x = x · a = 1 . Другими словами, кольцо является телом тогда и только тогда, когда группа его единиц представляет собой набор всех ненулевых элементов.

Тела отличаются от полей только тем, что их умножение не обязательно должно быть коммутативным . Однако по малой теореме Веддерберна все конечные тела коммутативны и, следовательно, являются конечными полями . Исторически тела иногда назывались полями, а поля назывались «коммутативными полями».

Полупростые кольца

Основная статья: Полупростое кольцо

Модуль над ( не обязательно коммутативным) кольцом с единицей называется полупростым (или вполне приводимым), если он представляет собой прямую сумму простых ( неприводимых) подмодулей.

Кольцо называется (слева)-полупростым, если оно полупросто как левый модуль над собой. Удивительно, но полупростое слева кольцо также является полупростым справа, и наоборот. Поэтому различие между левым и правым не является необходимым.

Полупримитивные кольца

Основная статья: Полупримитивное кольцо

Полупримитивное кольцо, полупростое кольцо Джекобсона или J-полупростое кольцо — это кольцо, радикал Джекобсона которого равен нулю. Это тип кольца, более общий, чем полупростое кольцо , но простые модули все же предоставляют достаточно информации о кольце. Кольца, такие как кольцо целых чисел, являются полупримитивными, а артиново полупримитивное кольцо — это просто полупростое кольцо . Полупримитивные кольца можно понимать как подпрямые произведения примитивных колец , которые описываются теоремой плотности Джекобсона .

Простые кольца

Основная статья: Простое кольцо

Простое кольцо — это ненулевое кольцо , не имеющее двусторонних идеалов, кроме нулевого идеала и самого себя. Простое кольцо всегда можно рассматривать как простую алгебру . Кольца, простые как кольца, но не как модули, существуют: полное матричное кольцо над полем не имеет нетривиальных идеалов (поскольку любой идеал M( n , R ) имеет вид M( n , I ) с I an идеал R ), но имеет нетривиальные левые идеалы (а именно, множества матриц, имеющие некоторые фиксированные нулевые столбцы).

Согласно теореме Артина-Уэддерберна , каждое простое кольцо, которое является левым или правым артиновым, является матричным кольцом над телом . В частности, единственные простые кольца, которые представляют собой конечномерное векторное пространство над действительными числами, — это кольца матриц над действительными числами, комплексными числами или кватернионами .

Любой фактор кольца по максимальному идеалу является простым кольцом. В частности, поле представляет собой простое кольцо. Кольцо R является простым тогда и только тогда, когда противоположное ему кольцо R ^тот это просто.

Примером простого кольца, не являющегося матричным кольцом над телом, является алгебра Вейля .

Важные

Маленькая теорема Веддерберна

Основная статья: Маленькая теорема Веддерберна

Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что каждая конечная область является полем . Другими словами, для конечных колец не существует различия между доменами, телами и полями.

Теорема Артина-Цорна обобщает теорему на альтернативные кольца : каждое конечное простое альтернативное кольцо является полем.

-

Основная статья: теорема Артина – Веддерберна

Теорема Артина-Веддерберна — это классификационная теорема для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает, что (артиново) полупростое кольцо R изоморфно произведению конечного числа n _i размером на n _i матричных колец над телами Di _i для некоторых целых чисел n _, оба из которых определяются однозначно с точностью до перестановки индекса i . В частности, любое простое левое или правое артиново кольцо изоморфно n на n размера над матричному кольцу телом D , где и n, и D определены однозначно.

Как прямое следствие, из теоремы Артина-Веддерберна следует, что каждое простое кольцо, конечномерное над телом (простой алгеброй), является матричным кольцом . Это Джозефа Веддерберна первоначальный результат . Позже Эмиль Артин обобщил это на случай артиновых колец.

плотности

Основная статья: Теорема плотности Джейкобсона

Теорема о плотности Джекобсона это теорема о простых модулях над кольцом R. —

Теорему можно применить, чтобы показать, что любое примитивное кольцо можно рассматривать как «плотное» подкольцо кольца линейных преобразований векторного пространства. Впервые эта теорема появилась в литературе в 1945 году, в знаменитой статье Натана Джейкобсона «Теория структуры простых колец без предположений конечности» . Это можно рассматривать как своего рода обобщение вывода теоремы Артина-Веддерберна о строении простых артиновых колец .

Более формально теорему можно сформулировать следующим образом:

Теорема о плотности Джекобсона. Пусть U — простой правый R -модуль, D = End( UR _— ) и X ⊂ U конечное и D -линейно независимое множество. Если A — D -линейное преобразование на U то существует r ∈ R такой, что A ( x ) = x · r для всех x в X. ,

Лемма Накаямы

Основная статья: лемма Накаямы

( R ) радикал Джекобсона R Пусть J . Если U — правый модуль над кольцом, R и I — правый идеал в R , то определим U · I как множество всех (конечных) сумм элементов формы u · i , где · — это просто действие R на U. ​Обязательно U · I является подмодулем U .

Если V — подмодуль U . , U / V простой то максимальный Таким образом, U ·J( R ) обязательно является подмножеством V в силу определения J( R ) и того факта, что U / V является простым. Таким образом, если U содержит хотя бы один (собственный) максимальный подмодуль, U ·J( R ) является собственным подмодулем U . Однако это не обязательно справедливо для произвольных модулей U над R , поскольку U не обязательно содержит максимальные подмодули. Естественно, если U — нётеров модуль, это справедливо. Если R нетерово, а U , конечно порождено то U — нётеров модуль над R , и заключение выполнено. Несколько примечательно то, что более слабое предположение, а именно, что U конечно порождено как R -модуль (и нет предположения конечности на R ), достаточно, чтобы гарантировать заключение. По сути, это утверждение леммы Накаямы.

А именно, имеет место следующее.

Лемма Накаямы : Пусть — конечно порожденный правый модуль над кольцом R. U Если U — ненулевой модуль, то U ·J( R ) — собственный U. подмодуль

Вариант леммы справедлив для правых модулей над некоммутативными унитарными кольцами R . Полученную теорему иногда называют теоремой Джейкобсона-Адзумайи .

Некоммутативная локализация

Основная статья: Локализация кольца

Локализация — это систематический метод добавления мультипликативных обратных чисел к кольцу , который обычно применяется к коммутативным кольцам. Учитывая кольцо R и подмножество S , нужно построить некоторое кольцо R * и гомоморфизм колец из R в R *, такие, что образ S состоит из единиц (обратимых элементов) в R *. Кроме того, хочется, чтобы R * был «наилучшим» или «наиболее общим» способом сделать это – обычным способом это должно быть выражено универсальным свойством . Локализацию R по S обычно обозначают S  ⁻¹ Р ; однако в некоторых важных особых случаях используются другие обозначения. Если S — набор ненулевых элементов области целостности , то локализация — это поле частных и поэтому обычно обозначается Frac( R ).

Локализация некоммутативных колец сложнее; локализация не существует для каждого набора S перспективных единиц. Одним из условий, гарантирующих существование локализации, является условие Оре .

Одним из случаев некоммутативных колец, где локализация представляет явный интерес, являются кольца дифференциальных операторов. Он имеет интерпретацию, например, присоединения к формальному обратному D ⁻¹ для оператора дифференцирования D . Это делается во многих контекстах в методах дифференциальных уравнений . Сейчас существует большая математическая теория по этому поводу, называемая микролокализация , связанная со многими другими ветвями. Микротег теорией касается, в частности, связей с Фурье .

Эквивалент Морита

Основная статья: эквивалентность Мориты

Эквивалентность Морита — это отношение, определенное между кольцами , которое сохраняет многие теоретико-кольцевые свойства. Он назван в честь японского математика Киити Мориты , который в 1958 году определил эквивалентность и аналогичное понятие двойственности.

Два кольца R и S (ассоциативные, с 1) называются ( Морита ) эквивалентными , если существует эквивалентность категории (левых) модулей над R , R-Mod , и категории (левых) модулей над S , S-Мод . Можно показать, что левые категории модулей R-Mod и S-Mod эквивалентны тогда и только тогда, когда правые категории модулей Mod-R и Mod-S эквивалентны. Далее можно показать, что любой функтор из R-Mod в S-Mod , который дает эквивалентность, автоматически является аддитивным .

Группа Брауэра

Основная статья: Группа Брауэра

Группа Брауэра поля K — это абелева группа , элементы которой являются эквивалентности Мориты классами центральных простых алгебр конечного ранга над K , а сложение индуцируется тензорным произведением алгебр. Оно возникло в результате попыток классифицировать алгебры с делением над полем и названо в честь алгебраиста Рихарда Брауэра . Группа также может быть определена в терминах когомологий Галуа . В более общем смысле группа Брауэра схемы определяется в терминах алгебр Азумая .

Рудные условия

Основная статья: Состояние руды

Условие Оре — условие, введенное Эйстейном Оре в связи с вопросом о расширении за пределы коммутативных колец построения поля частных или, в более общем смысле, локализации кольца . Правое условие Оре для мультипликативного подмножества S кольца состоит в том , R что для a ∈ R и s ∈ S пересечение aS ∩ sR ≠ ∅ . Область, удовлетворяющая правому условию Оре, называется правой областью Оре . Левый регистр определяется аналогично.

Теорема Голди

Основная статья: теорема Голди

В математике в 1950 - теорема Голди является основным структурным результатом теории колец , доказанным Альфредом Голди х годах. То, что сейчас называется правым кольцом Голди, представляет собой кольцо R , которое имеет конечную равномерную размерность (также называемую «конечным рангом») как правый модуль над собой и удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых аннуляторах подмножеств R .

Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди — это в точности те кольца, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Структура этого кольца частных тогда полностью определяется теоремой Артина-Веддерберна .

В частности, теорема Голди применима к полупервичным нётеровым справа кольцам , поскольку по определению нётеровы справа кольца имеют условие возрастающей цепи на всех правых идеалах. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что нётерово справа кольцо является правым Голди. Обратное неверно: каждая правая область Ора является правой областью Голди, а значит, и каждая коммутативная область целостности .

Следствием теоремы Голди, опять же принадлежащей Голди, является то, что каждое полупервичное кольцо главных правых идеалов изоморфно конечной прямой сумме колец простых главных правых идеалов. Каждое простое кольцо главных правых идеалов изоморфно кольцу матриц над правой областью Оре.

См. также

• Производная алгебраическая геометрия
• Некоммутативная геометрия
• Некоммутативная алгебраическая геометрия
• Некоммутативный гармонический анализ
• Теория представлений (теория групп)

Ссылки

• Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, аспирантура (1-е изд.), Брукс/Коул , ISBN  0-534-19002-2
• Джейкобсон, Н. (1945), «Теория структуры простых колец без предположений конечности», Труды Американского математического общества , 57 : 228–245, doi : 10.2307/1990204 , JSTOR   1990204
• Нагата, М. (1962), Локальные кольца , Wiley-Interscience

Дальнейшее чтение

• Херштейн, Индиана (1968), Некоммутативные кольца , Математическая ассоциация Америки , ISBN  0-88385-015-Х
• Лам, Тайвань (2001), Первый курс некоммутативных колец , Springer-Verlag