Некоммутативный гармонический анализ

В математике некоммутативный гармонический анализ — это область, в которой результаты анализа Фурье распространяются на топологические группы , которые не являются коммутативными . Поскольку локально компактные абелевы группы имеют хорошо понятную теорию, двойственность Понтрягина , которая включает основные структуры рядов Фурье и преобразований Фурье , основной задачей некоммутативного гармонического анализа обычно считается распространение теории на все группы G. которые локально компактны . Случай компактных групп 1920-х годов понимается качественно и после теоремы Питера-Вейля как в целом аналогичный случаю конечных групп и их теории характеров .

Поэтому основной задачей является случай группы G , которая является локально компактной, некомпактной и некоммутативной. Интересные примеры включают множество групп Ли , а также алгебраические группы над p-адическими полями . Эти примеры представляют интерес и часто применяются в математической физике и современной теории чисел , особенно в автоморфных представлениях .

Чего ожидать, известно в результате фундаментальной работы Джона фон Неймана . Он показал, что если групповая алгебра фон Неймана группы G имеет тип I, то L ² ( G как унитарное представление G ) является прямым интегралом неприводимых представлений. Следовательно, оно параметризуется унитарным двойственным набором классов изоморфизма таких представлений, которому задается топология оболочки-ядра . Аналог теоремы Планшереля абстрактно дается путем определения меры на унитарном двойственном, меры Планшереля , по которой берется прямой интеграл. (Для двойственности Понтрягина мера Планшереля — это некоторая мера Хаара на группе, двойственной к G , поэтому единственной проблемой является ее нормализация.) Для общих локально компактных групп или даже счетных дискретных групп групповая алгебра фон Неймана не обязательно должна быть типа I. и регулярное представление группы G не может быть записано в терминах неприводимых представлений, хотя оно и унитарно и вполне приводимо. Примером того, как это происходит, является бесконечная симметрическая группа, где групповая алгебра фон Неймана является гиперконечным фактором типа II ₁ . Дальнейшая теория делит меру Планшереля на дискретную и непрерывную части. Для полупростых групп и классов разрешимых групп Ли доступна очень подробная теория.

См. также

• Формула следа Сельберга
• Программа Ленглендса
• Kirillov orbit theory
• Представление дискретного ряда
• Зональная сферическая функция

Ссылки

• «Некоммутативный гармонический анализ: в честь Жака Кармоны», Жак Кармона, Патрик Делорм, Мишель Вернь; Издательство Спрингер, 2004 г. ISBN   0-8176-3207-7
• Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод русскоязычного издания 1985 года (Харьков, Украина). Биркхойзер Верлаг. 1988.