Главное идеальное кольцо

В математике кольцо главных правых (левых) идеалов — это кольцо R, котором каждый правый (левый) идеал имеет вид xR ( Rx ) для некоторого элемента x из R. в (Правый и левый идеалы этой формы, порожденные одним элементом, называются главными идеалами .) Когда это выполняется как для левого, так и для правого идеала, например, в случае, когда R является коммутативным кольцом , R можно назвать главным идеалом. кольцо или просто главное кольцо .

Если только конечно порожденные правые идеалы кольца R главными являются , то R называется правым кольцом Безу . Аналогично определяются левые кольца Безу. Эти условия изучаются в областях как областях Безу .

Кольцо главных идеалов, которое также является областью целостности, называется областью главных идеалов (PID). В этой статье основное внимание уделяется более общей концепции кольца главных идеалов, которое не обязательно является областью.

Общие свойства

Если R — кольцо главных правых идеалов, то оно заведомо нётерово справа , поскольку каждый правый идеал конечно порождён. Это также правое кольцо Безу, поскольку все конечно порожденные правые идеалы являются главными. Действительно, ясно, что кольца главных правых идеалов — это в точности кольца, которые одновременно являются безу справа и нётеровыми справа.

Кольца главных правых идеалов замкнуты относительно конечных прямых произведений . Если $R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}$ , то каждый правый идеал кольца R имеет вид $A=\prod _{i=1}^{n}A_{i}$ , где каждый $A_{i}$ является правым идеалом R _i . Если все R _i являются кольцами главных правых идеалов, то A _i = x _i R _i , и тогда можно видеть, что $(x_{1},\ldots ,x_{n})R=A$ . Без особых усилий можно показать, что правые кольца Безу замкнуты и относительно конечных прямых произведений.

Кольца главных правых идеалов и кольца правых Безу также замкнуты относительно факторов, то есть, если I — собственный идеал кольца главных правых идеалов R , то факторкольцо R/I также является кольцом главных правых идеалов. Это легко следует из теорем об изоморфизме колец.

Все вышеперечисленные объекты также имеют аналоги.

Коммутативные примеры

1. Кольцо целых чисел : $\mathbb {Z}$

2. Целые числа по модулю n : $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ .

3. Пусть $R_{1},\ldots ,R_{n}$ быть кольцами и $R=\prod _{i=1}^{n}R_{i}$ . Тогда R — главное кольцо тогда и только тогда, когда R _i — главное кольцо для всех i .

4. Локализация главного кольца в любом мультипликативном подмножестве снова является главным кольцом. Аналогично, любой фактор главного кольца снова является главным кольцом.

5. Пусть R — дедекиндова область , а I — ненулевой идеал R . Тогда фактор R / I является главным кольцом. Действительно, мы можем рассматривать I как произведение простых чисел.полномочия: $I=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{a_{i}}$ и по китайской теореме об остатках $R/I\cong \prod _{i=1}^{n}R/P_{i}^{a_{i}}$ , поэтому достаточно видеть, что каждый $R/P_{i}^{a_{i}}$ является главным кольцом. Но $R/P_{i}^{a_{i}}$ изоморфно фактору $R_{P_{i}}/P_{i}^{a_{i}}R_{P_{i}}$ кольца дискретного нормирования $R_{P_{i}}$ и, будучи фактором главного кольца, само является главным кольцом.

6. Пусть k — конечное поле и положим $A=k[x,y]$ , ${\mathfrak {m}}=\langle x,y\rangle$ и $R=A/{\mathfrak {m}}^{2}$ . Тогда R — конечное локальное кольцо, не являющееся главным.

7. Пусть X — конечное множество. Затем $({\mathcal {P}}(X),\Delta ,\cap )$ образует коммутативное кольцо главных идеалов с единицей, где $\Delta$ представляет собой заданную симметричную разность и ${\mathcal {P}}(X)$ представляет мощности X . набор Если X имеет хотя бы два элемента, то кольцо также имеет делители нуля. Если Я идеал, то $I=(\bigcup I)$ . Если вместо этого X бесконечно, кольцо не идеал, порожденный конечными подмножествами X является главным: возьмем , например, .

Теория структуры коммутативных PIR

Главные кольца, построенные в приведенном выше примере 5, всегда являются артиновыми кольцами ; в частности, они изоморфны конечному прямому произведению главных артиновых локальных колец.Локальное артиново главное кольцо называется специальным главным кольцом и имеет чрезвычайно простую идеальную структуру: существует лишь конечное число идеалов, каждый из которых является степенью максимального идеала. По этой причине специальные главные кольца являются примерами однорядных колец .

Следующий результат дает полную классификацию главных колец в терминах специальных главных колец и областей главных идеалов.

Теорема Зарисского–Самуэля : пусть R — главное кольцо. Тогда R можно записать как прямое произведение $\prod _{i=1}^{n}R_{i}$ , где каждое R _i является либо областью главных идеалов, либо специальным главным кольцом.

Доказательство применяет китайскую теорему об остатках к минимальному первичному разложению нулевого идеала.

Существует также следующий результат Хангерфорда:

Теорема (Хангерфорда): Пусть R — главное кольцо. Тогда R можно записать как прямое произведение $\prod _{i=1}^{n}R_{i}$ , где каждый R _i является фактором области главных идеалов.

Доказательство теоремы Хангерфорда использует структурные теоремы Коэна для полных локальных колец.

Рассуждая так же, как в примере 3 выше, и используя теорему Зарисского-Самуэля, легко проверить, что теорема Хангерфорда эквивалентна утверждению, что любое специальное главное кольцо является фактором кольца дискретного нормирования.

Некоммутативные примеры

Каждое полупростое кольцо R, не являющееся просто произведением полей, является некоммутативной правой и левой областью главного идеала. Каждый правый и левый идеал является прямым слагаемым R поэтому имеет форму eR или Re где e — идемпотент R. , и Параллельно с этим примером можно заметить, что регулярные кольца фон Неймана являются как правыми, так и левыми кольцами Безу.

Если D — тело и $\sigma$ является кольцевым эндоморфизмом, не являющимся автоморфизмом , то кольцо косых полиномов $D[x,\sigma ]$ известно, что это область главных левых идеалов, которая не нётерова справа и, следовательно, не может быть кольцом главных правых идеалов. Это показывает, что даже для областей кольца главного левого и главного правого идеала различны. ^[1]

Ссылки

^ Лам 2001 , с. 21.

Хангерфорд, Т. (1968), «О структуре колец главных идеалов», Pacific Journal of Mathematics , 25 (3): 543–547, doi : 10.2140/pjm.1968.25.543
Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+385, ISBN. 0-387-95183-0 , МР 1838439
Страницы 86 и 146–155 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-55540-0 , Збл 0848.13001
Зариски, О. ; Сэмюэл, П. (1975), Коммутативная алгебра , Тексты для аспирантов по математике, том. 28, 29, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag

[FOOTNOTELam200121-1] Лам 2001 , с. 21.

[1]