Jump to content

Изделие из колец

В математике произведение колец или прямое произведение колец — это кольцо , образованное декартовым произведением базовых множеств нескольких колец (возможно, бесконечности), снабженных покомпонентными операциями . Это прямой продукт в категории колец .

Поскольку прямые произведения определены до изоморфизма с точностью , в разговорной речи говорят, что кольцо является произведением некоторых колец, если оно изоморфно прямому произведению этих колец. Например, китайская теорема об остатках может быть сформулирована так: если m и n взаимно простые целые числа , факторкольцо является продуктом и

Примеры [ править ]

Важным примером является Z / n Z , кольцо целых чисел по модулю n . Если n записано в виде произведения степеней простых чисел (см. Основную теорему арифметики ),

где pi различные простые числа , то Z / n Z естественным образом изоморфно произведению

Это следует из китайской теоремы об остатках .

Свойства [ править ]

Если R = Π i I R i — произведение колец, то для каждого i из I мы имеем сюръективный гомоморфизм колец p i : R R i , который проецирует произведение на i -ю координату. Произведение R с проекциями pi вместе обладает следующим универсальным свойством :

если S — любое кольцо и f i : S R i гомоморфизм колец для каждого i в I существует ровно один гомоморфизм колец f : S R такой, что p i f = fi , то для каждого i в I.

Это показывает, что произведение колец является примером произведения в смысле теории категорий .

Когда I конечно, основная аддитивная группа Π i I R i совпадает с прямой суммой аддитивных групп R i . При этом некоторые авторы называют R «прямой суммой колец R i » и пишут i I R i , но это неверно с точки зрения теории категорий , так как оно обычно не является копроизведением в категории колец (с единицей): например, когда два или более из R i нетривиальны , отображение включения R i R не может отобразить 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец.

(Конечное копроизведение в категории коммутативных . Копроизведение алгебр над коммутативным кольцом — это тензорное произведение алгебр в категории алгебр — свободное произведение алгебр .)

Прямые произведения коммутативны и ассоциативны с точностью до естественного изоморфизма, а это означает, что не имеет значения, в каком порядке формировать прямой продукт.

Если A i идеал R i i для каждого A из I , то A = Π i I i идеал R . Если I конечно, то верно обратное , т. е. каждый идеал в R имеет такой вид. Однако если I бесконечно, а кольца R i нетривиальны, то обратное неверно: набор элементов со всеми, кроме конечного числа, ненулевыми координатами образует идеал, который не является прямым произведением идеалов кольца R i . Идеал A является простым идеалом в R, все Ai, кроме одного, равны Ri а оставшийся Ai является простым , идеалом в Ri . если Однако обратное неверно, когда I бесконечно. Например, прямая сумма R i дает , образует идеал, не содержащийся ни в одном таком A , но аксиома выбора что он содержится в некотором максимальном идеале, который тем более является простым числом.

Элемент x в R является единицей тогда и только тогда, когда все его компоненты являются единицами, т. е. тогда и только тогда, когда x pi ) является единицей в R i для каждого i в I. ( Группа единиц R i является произведением групп R . единиц

Произведение двух или более нетривиальных колец всегда имеет ненулевые делители нуля : если x — элемент произведения, все координаты которого равны нулю, кроме p i ( x ), а y — элемент произведения со всеми нулевыми координатами, кроме p j ( y ), где i j , тогда xy = 0 в кольце произведений.

Ссылки [ править ]

  • Херштейн, И.Н. (2005) [1968], Некоммутативные кольца (5-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-88385-039-8
  • Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211 (пересмотренное третье издание). 91, ISBN  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b70579eca407c3aa33383bcd1a2bf48a__1677349260
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b7/8a/b70579eca407c3aa33383bcd1a2bf48a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Product of rings - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)