Свободное произведение ассоциативных алгебр

В алгебре — свободное произведение ( копроизведение ) семейства ассоциативных алгебр. $A_{i},i\in I$ над коммутативным кольцом R — это ассоциативная алгебра над R , которая грубо определяется образующими и соотношениями $A_{i}$х. Свободное произведение двух A , B обозначается A ∗ B. алгебр Это понятие представляет собой -кольцевой аналог свободного произведения групп теоретико .

В категории коммутативных R -алгебр свободное произведение двух алгебр (в этой категории ) есть их тензорное произведение .

Строительство

Сначала мы определим свободное произведение двух алгебр. Пусть A и B — алгебры над коммутативным кольцом R . Рассмотрим их тензорную алгебру , прямую сумму всех возможных конечных тензорных произведений A , B ; явно, $T=\bigoplus _{n=0}^{\infty }T_{n}$ где

$T_{0}=R,\,T_{1}=A\oplus B,\,T_{2}=(A\otimes A)\oplus (A\otimes B)\oplus (B\otimes A)\oplus (B\otimes B),\,T_{3}=\cdots ,\dots$

Затем мы установили

$A*B=T/I$

где I — двусторонний идеал, порожденный элементами вида

$a\otimes a'-aa',\,b\otimes b'-bb',\,1_{A}-1_{B}.$

Затем мы проверяем, что для этого справедливо универсальное свойство копроизведения (это просто).

Конечный свободный продукт определяется аналогично.

Ссылки

• К. И. Бейдар, В. С. Мартиндейл, А. В. Михалев, Кольца с обобщенными тождествами, раздел 1.4. Эта ссылка упоминалась в «Копроизведение в категории (некоммутативных) ассоциативных алгебр» . Обмен стеками . 9 мая 2012 г.

Внешние ссылки

• «Как построить копроизведение двух (некоммутативных) колец» . Обмен стеками . 3 января 2014 г.