Jump to content

Бесплатная алгебра

(Перенаправлено с Бесплатного звонка )

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория колец , свободная алгебра является некоммутативным аналогом кольца полиномов, поскольку ее элементы могут быть описаны как «многочлены» с некоммутирующими переменными. Аналогично кольцо многочленов можно рассматривать как свободную коммутативную алгебру .

Определение [ править ]

Для R коммутативного кольца свободная ( ассоциативная , с единицей ) алгебра на n неопределенных { X1 , ..., Xn } — это свободный R -модуль с базой, состоящей из всех слов алфавита { X1 , ... ., X n } (включая пустое слово, являющееся единицей свободной алгебры). Этот R -модуль становится R -алгеброй , определяя умножение следующим образом: произведение двух базисных элементов представляет собой объединение соответствующих слов:

и произведение двух произвольных элементов R -модуля, таким образом, определяется однозначно (поскольку умножение в R -алгебре должно быть R -билинейным). Эту R -алгебру обозначают R X 1 ,..., X n ⟩. Эту конструкцию легко обобщить на произвольное множество X неопределенных величин.

Короче говоря, для произвольного набора свободная ( ассоциативная , унитарная ) R - алгебра на X есть

с R -билинейным умножением, которое представляет собой конкатенацию слов, где X * обозначает свободный моноид на X (т.е. слова на буквах X i ), обозначает внешнюю прямую сумму , а Rw обозначает свободный R -модуль на 1 элементе, слово w .

Например, в R X 1 , X 2 , X 3 , X 4 ⟩ для скаляров α, β, γ, δ R конкретным примером произведения двух элементов является

.

Кольцо некоммутативного многочлена можно отождествить с кольцом моноида над R свободного моноида всех конечных слов из X i .

Контраст с полиномами [ править ]

Поскольку слова в алфавите { X 1 , ..., X n } образуют базис R X 1 ,..., X n ⟩, то ясно, что любой элемент R X 1 , ..., X n ⟩ можно однозначно записать в виде:

где являются элементами R , и все эти элементы, кроме конечного числа, равны нулю. Это объясняет, почему элементы R X 1 ,..., X n ⟩ часто обозначаются как «некоммутативные многочлены» от «переменных» (или «неопределенных») X 1 ,..., X n ; элементы называются «коэффициентами» этих многочленов, а R -алгебра R X 1 ,..., X n ⟩ называется «некоммутативной полиномиальной алгеброй над R от n неопределенных». Обратите внимание, что в отличие от реального кольца полиномов , переменные не коммутируют . Например, X 1 X 2 не равно X 2 X 1 .

В более общем смысле, можно построить свободную алгебру R E ⟩ на любом E генераторов множестве . Поскольку кольца можно рассматривать как Z -алгебры, свободное кольцо на E можно определить как свободную алгебру Z E ⟩.

Над полем свободная алгебра на n неопределенных может быть построена как тензорная алгебра на n -мерном векторном пространстве . Для более общего кольца коэффициентов та же конструкция работает, если мы возьмем свободный модуль от n образующих .

Конструкция свободной алгебры на E является функториальной по своей природе и удовлетворяет подходящему универсальному свойству . Функтор свободной алгебры слева сопряжен с функтором забывчивости из категории R -алгебр в категорию множеств .

Свободные алгебры над телами — это свободные идеальные кольца .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Берстель, Жан; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 137. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-19022-0 . Збл   1250.68007 .
  • Л. А. Бокуть (2001) [1994], «Свободная ассоциативная алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 57c3dcaac445ee393fa7783bbe0c4e47__1715926740
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/57/47/57c3dcaac445ee393fa7783bbe0c4e47.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Free algebra - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)