Бесплатное идеальное кольцо

В математике , особенно в области теории колец , (справа) свободное идеальное кольцо , или ель , — это кольцо, в котором все правые идеалы являются свободными модулями уникального ранга . Кольцо такое, что все правые идеалы с не более чем n образующими свободны и имеют единственный ранг, называется n-кольцом . Полудерево — это кольцо, в котором все конечно порожденные правые идеалы являются свободными модулями единственного ранга. (Таким образом, кольцо является полуплоским, если оно является n -еловым для всех n ≥ 0.) Свойство полуплохого является лево-правосимметричным, а свойство елового - нет.

Свойства и примеры

Получается, что левая и правая ель — это домен . Более того, коммутативная ель является в точности областью главного идеала , а коммутативная полуёлка — это в точности область Безу . Однако эти последние факты в целом неверны для некоммутативных колец ( Кон 1971 ).

Всякая область главных правых идеалов R является правой елью, поскольку каждый ненулевой главный правый идеал области изоморфен R . Точно так же правая область Безу является полуелью.

Поскольку все правые идеалы правой пихты свободны, они проективны. Итак, всякая правая ель является наследственным справа кольцом , равно как и правая полуель является полунаследственным справа кольцом . Поскольку проективные модули над локальными кольцами свободны и поскольку локальные кольца имеют инвариантный базисный номер , отсюда следует, что локальное наследственное справа кольцо является правой елью, а локальное полунаследственное справа кольцо является правой полуелкой.

В отличие от главной правой идеальной области, правая ель не обязательно нётерова справа , однако в коммутативном случае R является дедекиндовой областью , поскольку она является наследственной областью и поэтому обязательно нётерова.

Другим важным и мотивирующим примером свободного идеального кольца являются свободные ассоциативные (единичные) k -алгебры для тел k , также называемые некоммутативными полиномиальными кольцами ( Кон 2000 , §5.4).

Полупихты имеют неизменное базисное число , и каждая полуель является областью Сильвестра .

Ссылки

• Кон, П.М. (1971), «Свободные идеальные кольца и свободные произведения колец» , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , vol. 1, Готье-Вилларс, стр. 273–278, MR   0506389 , заархивировано из оригинала 25 ноября 2017 г. , получено 26 ноября 2010 г.
• Кон, П.М. (2006), Свободные идеальные кольца и локализация в общих кольцах , Новые математические монографии, том. 3, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-85337-8 , МР   2246388
• Кон, П.М. (1985), Свободные кольца и их отношения , Монографии Лондонского математического общества, том. 19 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-179152-0 , МР   0800091
• Кон, ПМ (2000), Введение в теорию колец , Серия студентов-математик Springer, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-1-85233-206-8 , МР   1732101
• «Свободное идеальное кольцо» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Дальнейшее чтение

• Кон, П.М. (1995), Асимметричные поля. Теория общих тел , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 57, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-43217-0 , Збл   0840.16001