Рациональная серия

В математике и информатике рациональный ряд является обобщением концепции формального степенного ряда по кольцу на случай, когда основная алгебраическая структура больше не является кольцом, а полукольцом , а присоединенные к нему неопределенные числа не считаются коммутирующими . Их можно рассматривать как алгебраические выражения формального языка над конечным алфавитом .

Определение

Пусть R — и полукольцо A — конечный алфавит.

над Некоммутативный полином A — сумма слов над A. это конечная формальная Они образуют полукольцо $R\langle A\rangle$ .

Формальный ряд — это R -значная функция c на свободном моноиде A ^*, что можно записать как

\sum _{w\in A^{*}}c(w)w.

Множество формальных рядов обозначается $R\langle \langle A\rangle \rangle$ и превращается в полукольцо при выполнении операций

c+d:w\mapsto c(w)+d(w)

c\cdot d:w\mapsto \sum _{uv=w}c(u)\cdot d(v)

Таким образом, некоммутативный полином соответствует функции c на A ^* конечной поддержки .

В случае, когда R — кольцо, то это кольцо над R. Магнуса ^[1]

Если L — язык над A , рассматриваемый как подмножество A ^* мы можем сформировать ряд L характеристический как формальный ряд

\sum _{w\in L}w

соответствующий функции L . характеристической

В $R\langle \langle A\rangle \rangle$ можно определить операцию итерации, выраженную как

S^{*}=\sum _{n\geq 0}S^{n}

и формализовано как

c^{*}(w)=\sum _{u_{1}u_{2}\cdots u_{n}=w}c(u_{1})c(u_{2})\cdots c(u_{n}).

Рациональные операции — это сложение и умножение формальных рядов вместе с итерацией.Рациональный ряд – это формальный ряд, полученный рациональными операциями из $R\langle A\rangle .$

См. также

Ссылки

^ Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . п. 167. ИСБН 3-540-63003-1 . Збл 0819.11044 .

Берстель, Жан ; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 137. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-19022-0 . Збл 1250.68007 .

Дальнейшее чтение

Сакарович, Жак (2009). Элементы теории автоматов . Перевод с французского Рубена Томаса. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . Часть IV (где они называются $\mathbb {K}$ -рациональный ряд). ISBN 978-0-521-84425-3 . Збл 1188.68177 .
Дросте М. и Куич В. (2009). Полукольца и формальный степенной ряд. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. дои : 10.1007/978-3-642-01492-5_1
Сакарович, Дж. Рациональный и узнаваемый степенной ряд. Справочник по взвешенным автоматам , 105–174 (2009). дои : 10.1007/978-3-642-01492-5_4
В. Куич. Полукольца и формальные степенные ряды : их отношение к формальным языкам и теории автоматов. В редакторах Г. Розенберга и А. Саломаа, «Справочник по формальным языкам», том 1, глава 9, страницы 609–677. Шпрингер, Берлин, 1997 г.

Эта абстрактной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. наук. Том. 62 (2-е издание 1-го изд.). Спрингер-Верлаг . п. 167. ИСБН 3-540-63003-1 . Збл 0819.11044 .

[1]