Производная алгебраическая геометрия

Производная алгебраическая геометрия — это раздел математики, который обобщает алгебраическую геометрию на ситуацию, когда коммутативные кольца , обеспечивающие локальные карты, заменяются либо дифференциальными градуированными алгебрами (над $\mathbb {Q}$ ), симплициальные коммутативные кольца или $E_{\infty }$ -кольцевые спектры из алгебраической топологии , высшие гомотопические группы которых объясняют недискретность (например, Tor) структурного пучка. Гротендика Теория схем позволяет структурному пучку нести нильпотентные элементы . Производную алгебраическую геометрию можно рассматривать как расширение этой идеи, и она обеспечивает естественные условия для теории пересечений (или мотивной теории гомотопий). ^[1]) сингулярных алгебраических многообразий и кокасательных комплексов в теории деформаций (ср. Дж. Фрэнсис), среди других приложений.

Введение [ править ]

Основными объектами исследования в этой области являются производные схемы и производные стеки . Часто упоминаемой мотивацией является формула пересечения Серра . ^[2] В обычной формулировке формула включает в себя функтор Tor , и, таким образом, если высшие значения Tor не обращаются в нуль, теоретико-схемное пересечение (т. е. послойное произведение погружений) не дает правильного числа пересечений . В производном контексте берется производное тензорное произведение $A\otimes ^{L}B$ , чья высшая гомотопия выше Tor, чья Spec не схема, а производная схема . Следовательно, «производное» волокно дает правильное число пересечений. (В настоящее время это гипотетически; производная теория пересечения еще не разработана.)

Термин «производный» используется так же, как производный функтор или производная категория , в том смысле, что категория коммутативных колец заменяется ∞-категорией «производных колец». В классической алгебраической геометрии производная категория квазикогерентных пучков рассматривается как триангулированная категория , но она имеет естественное расширение до стабильной ∞-категории , которую можно рассматривать как ∞-категорический аналог абелевой категории .

Определения [ править ]

Производная алгебраическая геометрия — это, по сути, изучение геометрических объектов с использованием гомологической алгебры и гомотопии. Поскольку объекты в этой области должны кодировать гомологическую и гомотопическую информацию, существуют различные представления о том, что инкапсулируют производные пространства. Основными объектами изучения производной алгебраической геометрии являются производные схемы и, в более общем плане, производные стеки. С эвристической точки зрения производные схемы должны быть функторами из некоторой категории производных колец в категорию множеств.

F:{\text{DerRings}}\to {\text{Sets}}

которые можно далее обобщить, чтобы иметь цели более высоких группоидов (которые, как ожидается, будут моделироваться гомотопическими типами). Эти производные стеки являются подходящими функторами вида

F:{\text{DerRings}}\to {\text{HoT}}

Многие авторы моделируют такие функторы как функторы со значениями в симплициальных множествах, поскольку они моделируют гомотопические типы и хорошо изучены. Различные определения этих производных пространств зависят от выбора того, какими будут производные кольца и как должны выглядеть гомотопические типы. Некоторые примеры производных колец включают коммутативные дифференциальные градуированные алгебры, симплициальные кольца и $E_{\infty }$ -кольца.

Производная геометрия по характеристике 0 [ править ]

По характеристике 0 многие производные геометрии совпадают, поскольку производные кольца одинаковы. $E_{\infty }$ алгебры — это просто коммутативные дифференциально-градуированные алгебры над нулевой характеристикой. Затем мы можем определить производные схемы аналогично схемам в алгебраической геометрии. Подобно алгебраической геометрии, мы также можем рассматривать эти объекты как пару. $(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })$ которое является топологическим пространством $X$ с пучком коммутативных дифференциальных градуированных алгебр. Иногда авторы исходят из того, что они оцениваются отрицательно, поэтому ${\mathcal {O}}_{X}^{n}=0$ для $n>0$ . Условие связки можно было бы также ослабить, чтобы для покрытия $U_{i}$ из $X$ , шкивы ${\mathcal {O}}_{U_{i}}^{\bullet }$ буду клеить внахлест $U_{ij}$ только квазиизоморфизмом.

К сожалению, над характеристикой p дифференциально-градуированные алгебры плохо работают в теории гомотопий из-за того, что $d[x^{p}]=pd[x^{p-1}]$ [1] . Эту проблему можно преодолеть, используя симплициальные алгебры.

Производная геометрия по произвольной характеристике [ править ]

Производные кольца по произвольной характеристике считаются симплициальными коммутативными кольцами из-за их хороших категориальных свойств. В частности, категория симплициальных колец симплициально обогащена, то есть hom-множества сами по себе являются симплициальными множествами. Кроме того, существует каноническая структура модели на симплициальных коммутативных кольцах, происходящих из симплициальных множеств. ^[3] Фактически, это теорема Квиллена о том, что структуру модели на симплициальных множествах можно перенести на симплициальные коммутативные кольца.

Более высокие стеки [ править ]

Предполагается, что существует окончательная теория высших стеков, моделирующая гомотопические типы . Гротендик предположил, что они будут моделироваться шаровидными группоидами или слабой формой их определения. Симпсон ^[4] дает полезное определение в духе идей Гротендика. Напомним, что алгебраический стек (здесь 1-стек) называется представимым, если послойное произведение любых двух схем изоморфно схеме. ^[5] Если мы возьмем анзац, согласно которому 0-стек — это просто алгебраическое пространство, а 1-стек — это просто стек, мы можем рекурсивно определить n-стек как объект, такой, что произведение слоев по любым двум схемам представляет собой (n- 1)-стек. Если мы вернемся к определению алгебраического стека, это новое определение согласится.

Спектральные схемы [ править ]

Другая теория производной алгебраической геометрии заключена в теории спектральных схем. Их определение требует изрядной техники, чтобы точно изложить. ^[6] Но, короче говоря, спектральные схемы $X=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ задаются спектрально кольцевой $\infty$ -топос ${\mathfrak {X}}$ вместе со снопом $\mathbb {E} _{\infty }$ -кольца ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ на нем при соблюдении некоторых условий локальности, аналогичных определению аффинных схем. В частности

${\mathfrak {X}}\cong {\text{Shv}}(X_{top})$ должно быть эквивалентно $\infty$ -топос некоторого топологического пространства
Должно быть прикрытие $U_{i}$ из $X_{top}$ такие, что индуцированный топос $({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})$ эквивалентен спектрально окольцованному топосу ${\text{Spec}}(A_{i})$ для некоторых $\mathbb {E} _{\infty }$ -кольцо $A_{i}$

Более того, спектральная схема $X$ называется соединительным, если $\pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0$ для $i<0$ .

Примеры [ править ]

Напомним, что топос точки ${\text{Sh}}(*)$ эквивалентно категории множеств. Затем в $\infty$ -топос, вместо этого мы рассматриваем $\infty$ - снопы $\infty$ -группоиды (которые $\infty$ -категории со всеми обратимыми морфизмами), обозначаемые ${\text{Shv}}(*)$ , дающий аналог точечного топоса в $\infty$ -постановка топоса. Тогда структуру спектрально-кольцевого пространства можно задать, присоединив $\mathbb {E} _{\infty }$ -кольцо $A$ . Обратите внимание, что из этого следует, что пространства со спектральным кольцом обобщают $\mathbb {E} _{\infty }$ -звонит каждый раз $\mathbb {E} _{\infty }$ -кольцо может быть связано со спектрально кольцевым участком.

Этот спектрально окольцованный топос может быть спектральной схемой, если спектр этого кольца дает эквивалент $\infty$ -топос, поэтому лежащее в его основе пространство является точкой. Например, это может быть задано кольцевым спектром $H\mathbb {Q}$ , называемый спектром Эйленберга – Маклейна, построенный из пространств Эйленберга – Маклейна $K(\mathbb {Q} ,n)$ .

Приложения [ править ]

Производная алгебраическая геометрия использовалась Керцем, Штранком и Тамме (2018) для доказательства гипотезы Вейбеля об исчезновении отрицательной K-теории .
Формулировка геометрической гипотезы Ленглендса Аринкиным и Гайтсгори использует производную алгебраическую геометрию. ^[7]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Хан, Адил А. (2019). «Смелая новая мотивационная гомотопическая теория I». Геом. Тополь . 23 : 3647–3685. arXiv : 1610.06871 . дои : 10.2140/gt.2019.23.3647 . S2CID 119661301 .
^ Формула пересечения Серра и производная алгебраическая геометрия?
^ Мэтью, Ахил. «Симплициальные коммутативные кольца, I» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2019 года.
^ Симпсон, Карлос (17 сентября 1996 г.). «Алгебраические (геометрические) $n$-стеки». arXiv : alg-geom/9609014 .
^ Что можно проверить, посмотрев на диагональный морфизм и проверив, представим ли он сам. Посетите https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/moduli-red-harvard.pdf для получения дополнительной информации.
^ Резк, Чарльз. «Спектральная алгебраическая геометрия» (PDF) . п. 23 (раздел 10.6). Архивировано (PDF) из оригинала 25 апреля 2020 г.
^ Аринкин, Дима; Гайцгори, Деннис (2015). «Сингулярная поддержка когерентных пучков и геометрическая гипотеза Ленглендса». Выбор математики . 21 (1): 1–199. CiteSeerX 10.1.1.763.8289 . дои : 10.1007/s00029-014-0167-5 . S2CID 119136874 .

Ссылки [ править ]

Симплициальный DAG [ править ]

Тоен, Бертран (6 января 2014 г.). «Производная алгебраическая геометрия». arXiv : 1401.1044 [ math.AG ].
Тоен, Бертран ; Веццози, Габриэле (2004). «От HAG к DAG: стеки производных модулей». В Гринлисе, JPC (ред.). Аксиоматическая, обогащенная и мотивная теория гомотопий. Труды Института перспективных исследований НАТО, Кембридж, Великобритания, 9–20 сентября 2002 г. Серия НАТО по науке II: Математика, физика и химия. Том. 131. Дордрехт: Академическое издательство Kluwer. стр. 173–216. ISBN 1-4020-1833-9 . Збл 1076.14002 .
Веццози, Габриэле (2011). «Что такое… производный стек?» (PDF) . Уведомления Ам. Математика. Соц . 58 (7): 955–958. Збл 1228.14004 .

Дифференциальный DAG [ править ]

Югстер, Дж.; Придхэм, Япония (25 октября 2021 г.). «Введение в производную (алгебраическую) геометрию». arXiv : 2109.14594 [ math.AG ].

En _] и _∞ -кольца [ править E

Спектральная алгебраическая геометрия - Резк
Операды и когомологии пучков - Дж. П. Мэй - $E_{\infty }$ -звонки по характеристике 0 и $E_{\infty }$ -структура пучковых когомологий
Касательный комплекс и когомологии Хохшильда _En -колец https://arxiv.org/abs/1104.0181
Фрэнсис, Джон; Производная алгебраическая геометрия окончена ${\mathcal {E}}_{n}$ -Кольца

Приложения [ править ]

Лоури, Паркер; Шург, Тимо. (2018). Гротендик-Риман-Рох для производных схем
Чокан-Фонтанин И., Капранов М. (2007). Виртуальные фундаментальные классы через dg-многообразия
Манн Э., Робало М. (2018). Теория Громова-Виттена с производной алгебраической геометрией
Бен-Цви Д. , Фрэнсис Дж. и Д. Надлер. Интегральные преобразования и центры Дринфельда в производной алгебраической геометрии .
Керц, Мориц; Странк, Флориан; Тамме, Георг (2018), «Алгебраическая K -теория и спуск для раздутий», Invent. Математика. , 211 (2): 523–577, arXiv : 1611.08466 , Bibcode : 2018InMat.211..523K , doi : 10.1007/s00222-017-0752-2 , MR 3748313 , S2CID 119165673

поля Квантовые теории

Заметки о суперсимметричных и голоморфных теориях поля в размерностях 2 и 4.

Внешние ссылки [ править ]

Домашняя страница Джейкоба Лурье
Обзор спектральной алгебраической геометрии
Группа чтения DAG (осень 2011 г.) в Гарварде
http://ncatlab.org/nlab/show/derived+algebraic+geometry
Семинар по обучению РТГ по производной алгебраической геометрии в Мичигане , 2012 г.
Производная алгебраическая геометрия: как выйти на исследовательский уровень математики?
Производная алгебраическая геометрия и кольца Чоу/мотивы Чоу
Габриэле Веццози, Обзор производной алгебраической геометрии , октябрь 2013 г.

[1] Хан, Адил А. (2019). «Смелая новая мотивационная гомотопическая теория I». Геом. Тополь . 23 : 3647–3685. arXiv : 1610.06871 . дои : 10.2140/gt.2019.23.3647 . S2CID 119661301 .

[2] Формула пересечения Серра и производная алгебраическая геометрия?

[3] Мэтью, Ахил. «Симплициальные коммутативные кольца, I» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 16 июня 2019 года.

[4] Симпсон, Карлос (17 сентября 1996 г.). «Алгебраические (геометрические) $n$-стеки». arXiv : alg-geom/9609014 .

[5] Что можно проверить, посмотрев на диагональный морфизм и проверив, представим ли он сам. Посетите https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/moduli-red-harvard.pdf для получения дополнительной информации.

[6] Резк, Чарльз. «Спектральная алгебраическая геометрия» (PDF) . п. 23 (раздел 10.6). Архивировано (PDF) из оригинала 25 апреля 2020 г.

[7] Аринкин, Дима; Гайцгори, Деннис (2015). «Сингулярная поддержка когерентных пучков и геометрическая гипотеза Ленглендса». Выбор математики . 21 (1): 1–199. CiteSeerX 10.1.1.763.8289 . дои : 10.1007/s00029-014-0167-5 . S2CID 119136874 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Введение [ править ]

Определения [ править ]

Производная геометрия по характеристике 0 [ править ]

Производная геометрия по произвольной характеристике [ править ]

Более высокие стеки [ править ]

Спектральные схемы [ править ]

Примеры [ править ]

Приложения [ править ]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Симплициальный DAG [ править ]

Дифференциальный DAG [ править ]

En ] и ∞ -кольца [ править E

Приложения [ править ]

поля Квантовые теории ​

Внешние ссылки [ править ]

En _] и _∞ -кольца [ править E

поля Квантовые теории