Производное тензорное произведение

В алгебре для дифференциально-градуированной алгебры A над коммутативным кольцом R производный функтор тензорного произведения равен

$-\otimes _{A}^{\textbf {L}}-:D({\mathsf {M}}_{A})\times D({}_{A}{\mathsf {M}})\to D({}_{R}{\mathsf {M}})$

где ${\mathsf {M}}_{A}$ и ${}_{A}{\mathsf {M}}$ являются категориями правых A -модулей и левых A -модулей, а D относится к гомотопической категории (т. е. производной категории ). По определению, это левый производный функтор функтора тензорного произведения $-\otimes _{A}-:{\mathsf {M}}_{A}\times {}_{A}{\mathsf {M}}\to {}_{R}{\mathsf {M}}$.

Производное тензорное произведение в производной теории колец

Если R — обычное кольцо и над ним M , N правых и левых модулей, то, рассматривая их как дискретные спектры, из них можно образовать смешанное произведение:

$M\otimes _{R}^{L}N$

чья i -я гомотопия является i -м Tor:

$\pi _{i}(M\otimes _{R}^{L}N)=\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)$.

называется производным тензорным M N. и Это произведением В частности, $\pi _{0}(M\otimes _{R}^{L}N)$ обычное тензорное произведение модулей M и N над R. —

Геометрически производное тензорное произведение соответствует продукту пересечения ( производных схем ).

Пример : пусть R — симплициальное коммутативное кольцо, Q ( R ) → R — кофибрантная замена и $\Omega _{Q(R)}^{1}$ — модуль келеровых дифференциалов. Затем

$\mathbb {L} _{R}=\Omega _{Q(R)}^{1}\otimes _{Q(R)}^{L}R$

является R -модулем, называемым кокасательным комплексом R . Он функториален в R : каждое R → S порождает $\mathbb {L} _{R}\to \mathbb {L} _{S}$. Тогда для каждого R → S существует кослоистая последовательность S -модулей

$\mathbb {L} _{S/R}\to \mathbb {L} _{R}\otimes _{R}^{L}S\to \mathbb {L} _{S}.$

Коволокно $\mathbb {L} _{S/R}$ называется относительным котангенсным комплексом.

См. также

• производная схема (производное тензорное произведение дает производную версию теоретико-схемного пересечения .)

Ссылки

• Лурье Дж. Спектральная алгебраическая геометрия (в стадии разработки)
• Лекция 4 части II Мурдейка-Тоена, Симплициальные методы для операд и алгебраическая геометрия
• Ч. 2.2. или HAG II Тоена-Веццози