Симплициальное коммутативное кольцо

В алгебре симплициальное коммутативное кольцо — это коммутативный моноид в категории симплициальных абелевых групп или, что то же самое, симплициальный объект в категории коммутативных колец . Если A — симплициальное коммутативное кольцо, то можно показать, что $\pi _{0}A$ это кольцо и $\pi _{i}A$ являются модулями над этим кольцом (фактически, $\pi _{*}A$ закончено градуированное кольцо $\pi _{0}A$.)

Топологическим аналогом этого понятия является коммутативный кольцевой спектр .

Примеры

• Кольцо полиномиальных дифференциальных форм на симплексах.

Градуированная кольцевая структура

Пусть A — симплициальное коммутативное кольцо. Тогда кольцевая структура A дает $\pi _{*}A=\oplus _{i\geq 0}\pi _{i}A$ Строение градуированно-коммутативного градуированного кольца следующее.

Судя по переписке Долда-Кана , $\pi _{*}A$– гомологии цепного комплекса, соответствующего A ; в частности, это градуированная абелева группа. Далее, чтобы умножить два элемента, напишите $S^{1}$ для симплициальной окружности пусть $x:(S^{1})^{\wedge i}\to A,\,\,y:(S^{1})^{\wedge j}\to A$быть две карты. Тогда композиция

$(S^{1})^{\wedge i}\times (S^{1})^{\wedge j}\to A\times A\to A$,

вторая карта - умножение A , индуцирует $(S^{1})^{\wedge i}\wedge (S^{1})^{\wedge j}\to A$. Это, в свою очередь, дает элемент в $\pi _{i+j}A$. Таким образом, мы определили градуированное умножение $\pi _{i}A\times \pi _{j}A\to \pi _{i+j}A$. Оно ассоциативно , потому что это хитовый продукт. Он градуированно-коммутативен (т. е. $xy=(-1)^{|x||y|}yx$) с момента инволюции $S^{1}\wedge S^{1}\to S^{1}\wedge S^{1}$ вводит знак минус.

Если M — симплициальный модуль над A (т. е. M — симплициальная абелева группа с действием A ), то аналогичное рассуждение показывает, что $\pi _{*}M$ имеет структуру градуированного модуля над $\pi _{*}A$ (см. Спектр модулей ).

Спецификация

По определению категория аффинных производных схем является категорией, противоположной категории симплициальных коммутативных колец; объект, соответствующий A, будет обозначаться через $\operatorname {Spec} A$.

См. также

• E_n-кольцо

Ссылки

• Что такое симплициальное коммутативное кольцо с точки зрения теории гомотопий?
• Какие факты коммутативной алгебры совершенно неверны для симплициальных коммутативных колец, даже с точностью до гомотопии?
• Запрос ссылки — CDGA и sAlg в символах. 0
• А. Мэтью, Симплициальные коммутативные кольца, I .
• Б. Тоен, Симплициальные предпучки и производная алгебраическая геометрия
• П. Гёрсс и К. Шеммерхорн, Модельные категории и симплициальные методы