Котангенс комплекс

В математике кокасательный комплекс является общим обобщением кокасательного пучка , нормального расслоения и виртуального касательного расслоения карты геометрических пространств, таких как многообразия или схемы . Если $f:X\to Y$ является морфизмом геометрических или алгебраических объектов, соответствующий кокасательный комплекс $\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ можно рассматривать как универсальную его «линеаризацию», которая служит для управления теорией деформации $f$. Он построен как объект в некоторой производной пучков категории на $X$ используя методы гомотопической алгебры .

Ограниченные версии котангенсных комплексов были впервые определены в различных случаях рядом авторов в начале 1960-х годов. В конце 1960-х годов Мишель Андре и Дэниел Квиллен независимо друг от друга придумали правильное определение морфизма коммутативных колец , используя симплициальные методы для уточнения идеи кокасательного комплекса, заданной путем взятия (неабелева) левого производного функтора Дифференциалы Кэлера . Люк Иллюзи затем глобализировал это определение в общую ситуацию морфизма кольцевых топосов морфизмы кольцевых пространств , схем и алгебраических пространств , тем самым включив в теорию .

Мотивация

Предположим, что $X$ и $Y$ являются алгебраическими многообразиями и что $f:X\to Y$ является морфизмом между ними. Котангенсный комплекс $f$ является более универсальной версией относительных дифференциалов Кэлера $\Omega _{X/Y}$. Самой основной мотивацией для такого объекта является точная последовательность келеровых дифференциалов, связанных с двумя морфизмами. Если $Z$ это еще один сорт, и если $g:Y\to Z$ — другой морфизм, то существует точная последовательность

$f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0.$

Следовательно, в некотором смысле относительные кэлеровы дифференциалы являются точным правым функтором . (Однако буквально это не так, поскольку категория алгебраических многообразий не является абелевой категорией и, следовательно, правая точность не определена.) Фактически, до определения кокасательного комплекса существовало несколько определений функторов, которые может расширить последовательность дальше влево, например, функторы Лихтенбаума – Шлезингера $T^{i}$ и модули несовершенства . Большинство из них были мотивированы теорией деформации .

Эта последовательность точна слева, если морфизм $f$ гладкий. Если бы Ω допускал первый производный функтор , то точность слева подразумевала бы, что связующий гомоморфизм исчез, и это, конечно, было бы верно, если бы первый производный функтор f , каким бы он ни был, исчезал. Поэтому разумно предположить, что первый производный функтор гладкого морфизма обращается в нуль. Более того, когда любой из функторов, расширяющих последовательность кэлеровых дифференциалов, применялся к гладкому морфизму, они тоже исчезали, что предполагало, что кокасательный комплекс гладкого морфизма может быть эквивалентен келеровым дифференциалам.

Другая естественная точная последовательность, связанная с дифференциалами Кэлера, — это конормальная точная последовательность . Если f — замкнутое погружение с идеальным пучком I , то существует точная последовательность

$I/I^{2}\to f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to 0.$

Это расширение точной последовательности, приведенной выше: слева появился новый член, конормальный пучок функции f , а относительные дифференциалы Ω _{X / Y} исчезли, поскольку замкнутое погружение формально неразветвлено . Если f — включение гладкого подмногообразия, то эта последовательность — короткая точная последовательность. Это говорит о том, что кокасательный комплекс включения гладкого многообразия эквивалентен конормальному пучку, сдвинутому на одно слагаемое.

Ранние работы

Котангенсные комплексы появились в множественных и частично несовместимых версиях возрастающей общности в начале 1960-х годов. Первый пример соответствующих функторов гомологии в ограниченном контексте расширений полей появился у Картье (1956). Затем Александр Гротендик разработал раннюю версию кокасательных комплексов в 1961 году для своей общей теоремы Римана-Роха в алгебраической геометрии , чтобы иметь теорию виртуальных касательных расслоений . Это версия, описанная Пьером Бертло в SGA 6, Exposé VIII. Это применимо только тогда, когда f является сглаживаемым морфизмом (тот, который учитывает замкнутое погружение, за которым следует гладкий морфизм). В этом случае кокасательный комплекс f как объекта производной категории когерентных пучков на X задается следующим образом:

• $L_{0}^{X/Y}=i^{*}\Omega _{V/Y}.$
• Если J — идеал X в V , то $L_{1}^{X/Y}=J/J^{2}=i^{*}J.$
• $L_{i}^{X/Y}=0$ для всех остальных я.
• Дифференциал $L_{1}^{X/Y}\to L_{0}^{X/Y}$ – обратный ход вдоль i включения J в структурный пучок ${\mathcal {O}}_{V}$ V выводом с последующим универсальным $d:{\mathcal {O}}_{V}\to \Omega _{V/Y}.$
• Все остальные дифференциалы равны нулю.

Это определение не зависит от выбора V, и для сглаживаемого морфизма полного пересечения этот комплекс совершенен. Более того, если g : Y → Z — другой сглаживаемый морфизм полного пересечения и выполнено дополнительное техническое условие, то существует точный треугольник

$\mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}\to L_{\bullet }^{X/Z}\to L_{\bullet }^{X/Y}\to \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}[1].$

В 1963 году Гротендик разработал более общую конструкцию, которая снимает ограничение на сглаживаемые морфизмы (которая также работает в контекстах, отличных от алгебраической геометрии). Однако, как и теория 1961 года, это привело к образованию котангенсного комплекса только длины 2, что соответствует усечению $\tau _{\leq 1}\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ полного комплекса, который в то время еще не был известен. Этот подход был позже опубликован Гротендиком (1968). В то же время в начале 1960-х годов во многом аналогичные теории были независимо представлены для коммутативных колец (соответствующих «локальному» случаю аффинных схем в алгебраической геометрии) Герстенхабером . и Лихтенбаум и Шлезингер . Их теории распространялись на котангенсные комплексы длины 3, таким образом охватывая больше информации.

Определение котангенсного комплекса

Правильное определение котангенсного комплекса начинается с гомотопической ситуации . Квиллен и Андре работали с симплициальными коммутативными кольцами, в то время как Иллюзи работала в более общем плане с симплициальными кольцевыми топосами , охватывая таким образом «глобальную» теорию различных типов геометрических пространств. Для простоты мы будем рассматривать только случай симплициальных коммутативных колец. Предположим, что $A$ и $B$ являются симплициальными кольцами и что $B$ это $A$-алгебра. Выберите разрешение $r:P^{\bullet }\to B$ из $B$ по упрощенному бесплатно $A$-алгебры. Такая резолюция $B$ можно построить, используя свободную коммутативную $A$-алгебраический функтор, принимающий множество $S$ и дает бесплатный $A$-алгебра $A[S]$. Для $A$-алгебра $B$, это идет с естественной картой увеличения $\eta _{B}:A[B]\to B$ который отображает формальную сумму элементов $B$ к элементу $B$ через правило

$a_{1}[b_{1}]+\cdots +a_{n}[b_{n}]\mapsto a_{1}\cdot b_{1}+\cdots a_{n}\cdot b_{n}$

Итерация этой конструкции дает симплициальную алгебру

$\cdots \to A[A[A[B]]]\to A[A[B]]\to A[B]\to B$

где горизонтальные карты возникают в результате составления карт дополнений для различных вариантов. Например, есть две карты аугментации. $A[A[B]]\to A[B]$ через правила

${\begin{aligned}a_{i}[a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]]&\mapsto a_{i}a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i}a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]\\&\mapsto a_{i,1}[a_{i}\cdot b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[a_{i}\cdot b_{i,n_{i}}]\end{aligned}}$

который можно адаптировать к каждому из бесплатных $A$-алгебры $A[\cdots A[A[B]]$.

Применяя дифференциальный функтор Кэлера к $P^{\bullet }$ производит симплициал $B$-модуль. Полный комплекс этого симплициального объекта представляет собой котангенс-комплекс L ^{Б / А} . Морфизм r индуцирует морфизм кокасательного комплекса к Ω _{B / A,} называемый отображением увеличения . В гомотопической категории симплициальных A -алгебр (или симплициальных кольцевых топосов) эта конструкция сводится к взятию левого производного функтора дифференциального функтора Кэлера.

Дан коммутативный квадрат следующим образом:

существует морфизм кокасательных комплексов $L^{B/A}\otimes _{B}D\to L^{D/C}$ который уважает карты увеличения. Это отображение строится путем выбора свободной симплициальной C -алгебры разрешения D , скажем $s:Q^{\bullet }\to D.$ Потому что $P^{\bullet }$ — свободный объект, составной hr можно поднять до морфизма $P^{\bullet }\to Q^{\bullet }.$ Применение функториальности кэлерова дифференциала к этому морфизму дает требуемый морфизм кокасательных комплексов. В частности, учитывая гомоморфизмы $A\to B\to C,$ это создает последовательность

$L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}.$

Существует связующий гомоморфизм,

$L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1],$

что превращает эту последовательность в точный треугольник.

Котангенс-комплекс также может быть определен в любой комбинаторной модели M. модели Предположим, что $f:A\to B$ является морфизмом в M . Котангенсный комплекс $L^{f}$ (или $L^{B/A}$) — объект категории спектров в $M_{B//B}$. Пара составных морфизмов, $f:A\to B$ и $g:B\to C$ индуцирует точный треугольник в гомотопической категории,

$L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1].$

Котангенсные комплексы в теории деформаций

Настройка

Одно из первых прямых применений котангенс-комплекса - теория деформаций. Например, если у нас есть схема $f:X\to S$ и бесконечно малое утолщение с нулевым квадратом $S\to S'$, то есть морфизм схем, в которых ядро

${\mathcal {I}}={\text{ker}}\{{\mathcal {O}}_{S'}\to {\mathcal {O}}_{S}\}$

обладает свойством, что его квадрат является нулевым пучком, поэтому

${\mathcal {I}}^{2}=0$

Одним из фундаментальных вопросов теории деформаций является построение множества $X'$ вписывается в декартовы квадраты вида

$\left\{{\begin{matrix}X&\to &X'\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S'\end{matrix}}\right\}$

Несколько примеров, которые следует иметь в виду, — это расширение схем, определенных $\mathbb {Z} /p$ к $\mathbb {Z} /p^{2}$или схемы, определенные в поле $k$ характеристики $0$ на ринг $k[\varepsilon ]$ где $\varepsilon ^{2}=0$. Котангенсный комплекс $\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }$ затем контролирует информацию, связанную с этой проблемой. Мы можем переформулировать это как рассмотрение множества расширений коммутативной диаграммы.

${\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\\&&\uparrow &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {I}}&\to &{\mathcal {O}}_{S'}&\to &{\mathcal {O}}_{S}&\to &0\end{matrix}}$

что является гомологической проблемой. Тогда множество таких диаграмм, ядро ​​которых ${\mathcal {G}}$ изоморфна абелевой группе

${\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})$

показ комплекса котангенсов контролирует набор доступных деформаций. Кроме того, с другой стороны, если существует короткая точная последовательность

${\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\end{matrix}}$

существует соответствующий элемент

$\xi \in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})$

чье исчезновение означает, что это решение проблемы деформации, приведенной выше. Более того, группа

${\text{Ext}}^{0}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})$

управляет набором автоморфизмов для любого фиксированного решения задачи деформации.

важные

Одним из наиболее геометрически важных свойств котангенс-комплекса является тот факт, что для данного морфизма $S$-схемы

$f:X\to Y$

мы можем сформировать относительный котангенс комплекс $\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ как конус

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }$

вписывающийся в выделенный треугольник

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }\xrightarrow {+1}$

Это один из столпов кокасательных комплексов, поскольку из него следует деформация морфизма $f$ из $S$-схемы управляются этим комплексом. В частности, $\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }$ контролирует деформации $f$ как фиксированный морфизм в ${\text{Hom}}_{S}(X,Y)$, деформации $X$ который может продлить $f$, что означает, что существует морфизм $f':X'\to S$ какие факторы через карту проекции $X'\to X$ составленный с $f$, и деформации $Y$ определяется аналогично. Это мощный метод, лежащий в основе теории Громова-Виттена (см. ниже), которая изучает морфизмы алгебраических кривых фиксированного рода и фиксированного числа проколов в схеме. $X$.

Свойства котангенсного комплекса

Изменение плоской базы

Предположим, что B и C — A -алгебры такие, что $\operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)=0$ для всех q > 0 . Тогда существуют квазиизоморфизмы

${\begin{aligned}L^{B\otimes _{A}C/C}&\cong C\otimes _{A}L^{B/A}\\L^{B\otimes _{A}C/A}&\cong \left(L^{B/A}\otimes _{A}C\right)\oplus \left(B\otimes _{A}L^{C/A}\right)\end{aligned}}$

Если C — плоская A -алгебра, то условие $\operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)$ исчезает при q > 0 автоматически. Первая формула тогда доказывает, что конструкция кокасательного комплекса локальна на базе в плоской топологии .

Исчезающие свойства

Пусть f : A → B. ​Затем:

• Если B — локализация A то , $L_{B/A}\simeq 0$.
• Если f — этальный морфизм , то $L_{B/A}\simeq 0$.
• Если f — гладкий морфизм , то $L_{B/A}$ квазиизоморфен $\Omega _{B/A}$. В частности, он имеет проективную размерность . нулевую
• Если f — локальный морфизм полного пересечения , то $L_{B/A}$ является совершенным комплексом с амплитудой Tor в [-1,0].
• Если А нётерово, $B=A/I$, и $I$ генерируется регулярной последовательностью, то $I/I^{2}$ является проективным модулем и $L_{B/A}$ квазиизоморфен $I/I^{2}[1].$
• Если f — морфизм совершенных k -алгебр над совершенным полем k характеристики p > 0 , то $L_{B/A}\simeq 0$.

локальных

Теория кокасательного комплекса позволяет дать гомологическую характеристику морфизмов локального полного пересечения (lci), по крайней мере, в нётеровых предположениях. Пусть f : A → B — морфизм нётеровых колец такой, что B — конечно порождённая A -алгебра. В новой интерпретации Квиллена работа Лихтенбаума-Шлезингера показывает, что вторая гомологий Андре-Квиллена группа ${\textstyle D_{2}(B/A,M)}$ обращается в нуль для всех B -модулей M тогда и только тогда, когда f есть lci. Таким образом, в сочетании с приведенным выше результатом об исчезновении, мы получаем:

Морфизм f : A → B является lci тогда и только тогда, когда $L_{B/A}$ является совершенным комплексом с амплитудой Tor в [-1,0].

Квиллен далее предположил, что если котангенсный комплекс $L_{B/A}$ имеет конечную проективную размерность и B имеет конечную размерность Tor как A -модуль, то f есть lci. Это было доказано Лучезаром Аврамовым в статье «Анналы» 1999 года . Аврамов также расширил понятие морфизма lci на случай неконечного типа, предполагая только, что морфизм f локально имеет конечную плоскую размерность, и доказал, что там имеет место та же гомологическая характеристика морфизмов lci (кроме $L_{B/A}$ уже не совершенен). Результат Аврамова был недавно улучшен Бриггсом-Айенгаром, который показал, что свойство lci следует, если установить, что ${\textstyle D_{n}(B/A,-)}$ исчезает для любого единственного $n\geq 2$.

При этом необходимо предположить, что рассматриваемые кольца нётеровы. Например, пусть k — совершенное поле характеристики p > 0 . Тогда, как отмечалось выше, $L_{B/A}$ обращается в нуль для любого морфизма A → B совершенных k -алгебр. Но не всякий морфизм совершенных k -алгебр является lci.

Плоский спуск

Бхаргав Бхатт показал, что котангенсный комплекс удовлетворяет (выведенному) строго плоскому спуску . Другими словами, для любого плоского морфизма f : A → B R строго -алгебр существует эквивалентность

$L_{A/R}\simeq \mathrm {Tot} (L_{\mathrm {Cech} (A\to B)/R})$

в производной категории R , где правая часть обозначает гомотопический предел косимплициального объекта, заданного путем взятия ${\textstyle L_{-/R}}$ из Чешского заповедника ф . (Конерва Чеха - это косимплициальный объект, определяющий комплекс Амицура .) В более общем смысле, все внешние степени котангенсного комплекса удовлетворяют строго плоскому спуску.

Примеры

Плавные схемы

Позволять $X\in \operatorname {Sch} /S$ быть гладким. Тогда котангенсный комплекс $\Omega _{X/S}$. В рамках Бертло это становится очевидным, если принять $V=X$. В целом распространяется локально на $S,X$ является конечномерным аффинным пространством и морфизмом $X\to S$ является проекцией, поэтому мы можем свести к ситуации, когда $S=\operatorname {Spec} (A)$ и $X=\operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}]).$ Мы можем принять резолюцию $\operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}])$ быть тождественным отображением, и тогда ясно, что кокасательный комплекс — это то же самое, что и дифференциалы Кэлера.

Закрытые вложения в гладких схемах

Позволять $i:X\to Y$ быть замкнутым вложением гладких схем в ${\text{Sch}}/S$. Используя точный треугольник, соответствующий морфизмам $X\to Y\to S$, мы можем определить котангенс комплекс $\mathbf {L} _{X/Y}$. Для этого заметим, что по предыдущему примеру котангенсные комплексы $\mathbf {L} _{X/S}$ и $\mathbf {L} _{Y/S}$ состоят из дифференциалов Кэлера $\Omega _{X/S}$ и $\Omega _{Y/S}$ в нулевой степени соответственно и равны нулю во всех остальных степенях. Точный треугольник подразумевает, что $\mathbf {L} _{X/Y}$ отличен от нуля только в первой степени и в этой степени является ядром отображения $i^{*}\mathbf {L} _{Y/S}\to \mathbf {L} _{X/S}.$ Это ядро ​​является конормальным расслоением, а точная последовательность является конормальной точной последовательностью, поэтому в первой степени $\mathbf {L} _{X/Y}$ это конормальное расслоение $C_{X/Y}$.

Локальное полное пересечение

В более общем смысле, локальный морфизм полного пересечения $X\to Y$ с гладкой мишенью имеет совершенный по амплитуде котангенс $[-1,0].$ Это даёт комплекс

$I/I^{2}\to \Omega _{Y}|_{X}.$

Например, котангенсный комплекс скрученной кубики $X$ в $\mathbb {P} ^{3}$ дается комплексом

${\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {s}}\Omega _{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}.$

Котангенсные комплексы в теории

В теории Громова – Виттена математики изучают перечислительные геометрические инварианты n-точечных кривых в пространствах. В общем, есть алгебраические стеки

${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )$

которые являются пространствами модулей отображений

$\pi :C\to X$

из рода $g$ кривые с $n$ проколы в фиксированную цель. Поскольку перечислительная геометрия изучает общее поведение таких отображений, теория деформации, решающая задачи такого рода, требует деформации кривой $C$, карта $\pi$и целевое пространство $X$. К счастью, всю эту теоретическую информацию о деформации можно отследить с помощью котангенсного комплекса. $\mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }$. Используя выделенный треугольник

$\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }\to$

связанный с композицией морфизмов

$C\xrightarrow {\pi } X\rightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {C} )$

котангенсный комплекс можно вычислить во многих ситуациях. Действительно, для комплексного многообразия $X$, его котангенсный комплекс имеет вид $\Omega _{X}^{1}$и гладкая $n$-пунктированная кривая $C$, это определяется $\Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n})$. Из общей теории триангулированных категорий котангенсный комплекс $\mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }$ квазиизоморфен конусу

${\text{Cone}}(\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet })\simeq {\text{Cone}}(\pi ^{*}\Omega _{X}^{1}\to \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n}))$

См. также

• Когомологии Андре – Квиллена
• Теория деформации
• Эксалкомм
• Класс Кодайры-Спенсера
• Атия класс

Ссылки

Приложения

• https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

Обобщения

• Логарифмический котангенс
• Котангенс-комплекс и спектры Тома

Ссылки

• Андре, М. (1974), Гомология коммутативных алгебр , Основы математических наук, том. 206, Шпрингер Верлаг
• Бертло, Пьер (1971), Гротендик, Александр ; Иллюзи, Люк (ред.), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1966-67 - Теория пересечений и теорема Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) (на французском языке), Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , xii+700.
• Картье, Пьер (1956), Выводы в телах , Семинар Картана, том. 8
• Герстенхабер, Мюррей (1964), «О деформации колец и алгебр», Annals of Mathematics , 79 (1): 59–103, doi : 10.2307/1970484 , JSTOR   1970484
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967), «Элементы алгебраической геометрии (написанные в сотрудничестве с Жаном Дьедонне): IV. Локальное исследование диаграмм и морфизмов диаграмм, Четвертая часть» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–361, doi : 10.1007/BF02732123 , ISSN   1618-1913 , S2CID   189794756 , заархивировано из оригинала 03 марта 2016 г. , получено 10 августа 2009 г.
• Гротендик, Александр (1968), Аддитивные сорасслоенные категории и относительный котангенсный комплекс , Конспекты лекций по математике 79 (на французском языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-04248-8
• Харрисон, Д.К. (1962), «Коммутативные алгебры и когомологии», Труды Американского математического общества , 104 (2), Американское математическое общество: 191–204, doi : 10.2307/1993575 , JSTOR   1993575
• Иллюзи, Люк (1971), Complexe Cotangent et Déformations I , Конспекты лекций по математике 239 (на французском языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-05686-7
• Лихтенбаум; Шлезингер (1967), «Кокасательный комплекс морфизма», Труды Американского математического общества , 128 : 41–70, doi : 10.1090/s0002-9947-1967-0209339-1
• Куиллен, Дэниел (1970), О (ко)гомологиях коммутативных колец , Proc. Симп. Чистая Мат., т. 1, с. XVII, Американское математическое общество