Производный функтор

В математике некоторые функторы могут быть получены для получения других функторов, тесно связанных с исходными. Эта операция, хотя и довольно абстрактная, объединяет ряд математических конструкций.

Мотивация

В самых разных условиях было отмечено, что короткая точная последовательность часто приводит к «длинной точной последовательности». Концепция производных функторов объясняет и уточняет многие из этих наблюдений.

Предположим, нам дан ковариантный левый точный функтор F : A → B между двумя абелевыми категориями A и B . Если 0 → A → B → C → 0 — короткая точная последовательность в A , то применение F дает точную последовательность 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ), и можно задаться вопросом, как продолжить эту последовательность. вправо, образуя длинную точную последовательность. Строго говоря, этот вопрос некорректен, поскольку всегда существует множество различных способов продолжить данную точную последовательность вправо. Но оказывается, что (если A достаточно «приятен») существует один канонический способ сделать это, заданный правыми производными функторами F . Для каждого i ≥1 существует функтор R ^я F : A → B , и вышеуказанная последовательность продолжается следующим образом: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R ¹ Ф ( А ) → р ¹ Ж ( Б ) → р ¹ Ф ( С ) → р ² Ф ( А ) → р ² Ж ( Б ) → ... . Отсюда мы видим, что F является точным функтором тогда и только тогда, когда R ¹ Ф = 0; поэтому в некотором смысле правые производные функторы F измеряют, «насколько далеко» F от точности.

Если объект A в приведенной выше короткой точной последовательности инъективен , то последовательность распадается . Применение любого аддитивного функтора к расщепляемой последовательности приводит к расщеплению последовательности, поэтому, в частности, R ¹ F ( A ) = 0. Правые производные функторы (при i>0 ) равны нулю на инъективных: это мотивация для конструкции, приведенной ниже.

Строительство и первая недвижимость

Ключевое предположение, которое нам нужно сделать относительно нашей абелевой категории A, состоит в том, что в ней инъективных элементов . Это означает, что для каждого объекта A в A существует мономорфизм A → I , где I — инъективный объект в A. достаточно

Правые производные функторы ковариантного левого точного функтора F : A → B определяются следующим образом. объекта X из A. Начните с Поскольку инъективных достаточно, мы можем построить длинную точную последовательность вида

$0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots$

где я  ^я все инъективны (это известно как инъективное разрешение X ) . Применяя к этой последовательности функтор F и отсекая первый член, мы получаем цепной комплекс

$0\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots$

Примечание: в целом это уже не точная последовательность. Но мы можем вычислить его когомологии в i -й точке (ядро отображения из F ( I ^я ) по модулю изображения отображения на F ( I ^я )); мы называем результат R ^я Ф ( Х ). Конечно, приходится проверять разные вещи: результат не зависит от заданного инъективного разрешения X , и любой морфизм X → Y естественным образом дает морфизм R ^я Ф ( Икс ) → р ^я F ( Y ), так что мы действительно получаем функтор. Обратите внимание, что левая точность означает, что0 → F ( Икс ) → F ( Я ⁰ ) → Ф ( Я ¹ )является точным, поэтому R ⁰ F ( X ) = F ( X ), поэтому мы получаем что-то интересное только для i >0.

(Технически, чтобы получить четко определенные производные от F , нам пришлось бы зафиксировать инъективное разрешение для каждого объекта A. Тогда этот выбор инъективных разрешений дает функторы R ^я Ф. ​Разный выбор резольвент дает естественно изоморфные функторы, так что в конечном итоге выбор не имеет большого значения.)

Упомянутое выше свойство превращать короткие точные последовательности в длинные точные последовательности является следствием леммы о змее . Это говорит нам о том, что совокупность производных функторов является δ-функтором .

Если X сам по себе инъективен, то мы можем выбрать инъективную резольвенту 0 → X → X → 0 и получаем, что R ^я F ( X ) = 0 для всех i ≥ 1. На практике этот факт вместе со свойством длинной точной последовательности часто используется для вычисления значений производных справа функторов.

Эквивалентный способ вычисления R ^я F ( X ) заключается в следующем: возьмите инъективное разрешение X , как указано выше, и пусть K ^я быть изображением карты я ^{я -1} → I ^я (для i =0 определим I ^{я -1} =0), что совпадает с ядром I ^я → I ^{я +1} . Пусть φ _i : I ^{я -1} → K ^я — соответствующее сюръективное отображение. Тогда Р ^я F ( X ) — коядро F (φ _i ).

Вариации

Если начать с ковариантного правоточного функтора G и категория A имеет достаточно проективов (т. е. для каждого объекта A из A существует эпиморфизм P → A , где P — проективный объект ), то можно аналогично определить лево-точный функтор. производные функторы L _i G . Для объекта X из A мы сначала строим проективную резольвенту вида

$\cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0$

где P _i проективны. Мы применяем G к этой последовательности, отсекаем последний член и вычисляем гомологии, чтобы получить L _i G ( X ). Как и прежде, L ₀ грамм ( Икс ) = грамм ( Икс ).

В этом случае длинная точная последовательность будет расти «влево», а не вправо:

$0\to A\to B\to C\to 0$

превращается в

$\cdots \to L_{2}G(C)\to L_{1}G(A)\to L_{1}G(B)\to L_{1}G(C)\to G(A)\to G(B)\to G(C)\to 0$.

Левые производные функторы равны нулю на всех проективных объектах.

Можно также начать с контравариантного точного слева функтора F ; полученные правосторонние функторы тогда также контравариантны. Короткая точная последовательность

$0\to A\to B\to C\to 0$

превращается в длинную точную последовательность

$0\to F(C)\to F(B)\to F(A)\to R^{1}F(C)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(A)\to R^{2}F(C)\to \cdots$

Эти левые производные функторы равны нулю на проективах и поэтому вычисляются с помощью проективных разрешений.

Примеры

• Если $A$ является абелевой категорией, то ее категория морфизмов $A^{\{\ast \to \ast \}}$ также абелева. Функтор $\ker :A^{\{\ast \to \ast \}}\to A$ который отображает каждый морфизм в его ядро, является точным слева. Его правые производные функторы:

$R^{i}(\ker )(f)={\begin{cases}\ker(f)&i=0\\\operatorname {coker} (f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}$

Двойственно функтор $\operatorname {coker}$ является точным справа, а его левые производные функторы равны

$L_{i}(\operatorname {coker} )(f)={\begin{cases}\operatorname {coker} (f)&i=0\\\ker(f)&i=1\\0&i>1\end{cases}}$

Это проявление леммы о змее .

Гомологии и когомологии

Когомологии пучков

Если $X$ является топологическим пространством , то категория $Sh(X)$ всех пучков абелевых групп на $X$ — абелева категория с достаточным количеством инъективных. Функтор $\Gamma :Sh(X)\to Ab$ который присваивает каждому такому пучку ${\mathcal {F}}$ группа $\Gamma ({\mathcal {F}}):={\mathcal {F}}(X)$ глобальных сечений является точным слева, а производные справа функторы являются функторами пучковых когомологий , обычно записываемыми как $H^{i}(X,{\mathcal {F}})$. Немного шире: если $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ является кольцевым пространством , то категория всех пучков ${\mathcal {O}}_{X}$-модули — абелева категория с достаточным количеством инъектив, и мы снова можем построить когомологии пучков как правые производные функторы функтора глобального сечения.

Существуют различные понятия когомологий, которые являются частным случаем этого:

• Когомологии Де Рама — это когомологии пучка локально постоянных $\mathbb {R}$-значные функции на многообразии . Комплекс Де Рама представляет собой разрешение этого пучка не инъективными, а тонкими пучками .
• Этальные когомологии - еще одна теория когомологий пучков над схемой. Это правый производный функтор глобальных сечений абелевых пучков на этальном узле .

Внешние функторы

Если $R$ является кольцом , то категория всех левых $R$-модули — абелева категория с достаточным количеством инъективных. Если $A$ фиксированный левый $R$-модуль, то функтор $\operatorname {Hom} (A,-):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}$ является точным слева, а его правые производные функторы являются функторами Ext $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,-)$. Альтернативно $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(-,B)$ также может быть получен как левый производный функтор правого точного функтора $\operatorname {Hom} _{R}(-,B):R{\text{-Mod}}\to {\mathfrak {Ab}}^{op}$.

Различные понятия когомологий являются частными случаями функторов Ext и, следовательно, также производными функторами.

• Групповые когомологии - это правый производный функтор функтора инвариантов. $(-)^{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k[G]{\text{-Mod}}$ что то же самое, что $\operatorname {Hom} _{k[G]}(k,-)$ (где $k$ это тривиально $k[G]$-модуль) и поэтому $H^{i}(G,M)=\operatorname {Ext} _{k[G]}^{i}(k,M)$.
• Когомологии алгебры Ли алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ над некоторым коммутативным кольцом $k$ - правый производный функтор функтора инвариантов $(-)^{\mathfrak {g}}:{\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}$ что то же самое, что $\operatorname {Hom} _{U({\mathfrak {g}})}(k,-)$ (где $k$ это снова тривиально ${\mathfrak {g}}$-модуль и $U({\mathfrak {g}})$ — универсальная обертывающая алгебра ${\mathfrak {g}}$). Поэтому $H^{i}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U({\mathfrak {g}})}^{i}(k,M)$.
• когомологии Хохшильда некоторых $k$-алгебра $A$ — правый производный функтор инвариантов $(-)^{A}:(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}}$ отображение бимодуля $M$ к его центру , также называемому набором инвариантов $M^{A}:=Z(M):=\{m\in M\mid \forall a\in A:am=ma\}$ что то же самое, что $\operatorname {Hom} _{A^{e}}(A,M)$ (где $A^{e}:=A\otimes _{k}A^{op}$ является обертывающей алгеброй $A$ и $A$ считается $(A,A)$-бимодуль посредством обычного левого и правого умножения). Поэтому $HH^{i}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{i}(A,M)$:

Функторы Тора

Категория левых $R$-modules также имеет достаточно проективов. Если $A$ это фиксированное право $R$-модуль, то тензорное произведение с $A$ дает правый точный ковариантный функтор $A\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\to Ab$; В категории модулей достаточно проективов, поэтому левые производные функторы всегда существуют. Левые производные функторы тензорного функтора - это функторы Tor. $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,-)$. Эквивалентно $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,B)$ могут быть определены симметрично как левые производные функторы $-\otimes B$. Фактически можно объединить оба определения и определить $\operatorname {Tor} _{i}^{R}(-,-)$ как левое производное от $-\otimes -:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\to Ab$.

Это включает в себя несколько понятий гомологии как особых случаев. Это часто отражает ситуацию с функторами Ext и когомологиями.

• Групповая гомология - это левый производный функтор принятия коинвариантов. $(-)_{G}:k[G]{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}}$ что то же самое, что $k\otimes _{k[G]}-$.
• Гомологии алгебры Ли - это левый производный функтор взятия коинвариантов. ${\mathfrak {g}}{\text{-Mod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[{\mathfrak {g}},M]$ что то же самое, что $k\otimes _{U({\mathfrak {g}})}-$.
• Гомологии Хохшильда - это левый производный функтор принятия коинвариантов. $(A,A){\text{-Bimod}}\to k{\text{-Mod}},M\mapsto M/[A,M]$ что то же самое, что $A\otimes _{A^{e}}-$.

Вместо отдельных левых производных функторов можно также взять полный производный функтор тензорного функтора. Это приводит к производному тензорному произведению $-\otimes ^{L}-:D({\text{Mod-}}R)\times D(R{\text{-Mod}})\to D(Ab)$ где $D$ является производной категорией .

Естественность

Производные функторы и длинные точные последовательности «естественны» в нескольких технических смыслах.

Во-первых, учитывая коммутативную диаграмму вида

${\begin{array}{ccccccccc}0&\to &A_{1}&{\xrightarrow {f_{1}}}&B_{1}&{\xrightarrow {g_{1}}}&C_{1}&\to &0\\&&\alpha \downarrow \quad &&\beta \downarrow \quad &&\gamma \downarrow \quad &&\\0&\to &A_{2}&{\xrightarrow {f_{2}}}&B_{2}&{\xrightarrow {g_{2}}}&C_{2}&\to &0\end{array}}$

(где строки точны), две полученные длинные точные последовательности связаны коммутацией квадратов:

Во-вторых, предположим, что η : F → G — естественное преобразование левого точного функтора F в левый точный функтор G . Тогда естественные преобразования R ^я ч: Р ^я Ф → Р ^я G индуцируются, и действительно R ^я становится функтором из категории функторов всех левых точных функторов от A до B в полную категорию функторов всех функторов A до B. от Более того, этот функтор совместим с длинными точными последовательностями в следующем смысле: если

$0\to A{\xrightarrow {f}}B{\xrightarrow {g}}C\to 0$

— короткая точная последовательность, то коммутативная диаграмма

индуцируется.

Обе эти естественности следуют из естественности последовательности, обеспечиваемой леммой о змее .

Обратно, имеет место следующая характеристика производных функторов: для данного семейства функторов R ^я : A → B , удовлетворяющее вышеизложенному, т.е. отображающее короткие точные последовательности в длинные точные последовательности, такие, что для каждого инъективного объекта I из A , R ^я ( I )=0 для каждого положительного i , то эти функторы являются производными справа функторами R ⁰ .

Обобщение

Более современный (и более общий) подход к производным функторам использует язык производных категорий .

В 1968 году Квиллен разработал теорию модельных категорий , которая дает абстрактную теоретико-категорную систему расслоений, корасслоений и слабых эквивалентностей. Обычно нас интересует лежащая в основе гомотопическая категория, полученная путем локализации слабых эквивалентностей. Соединение Квиллена — это соединение между модельными категориями, которое сводится к соединению между гомотопическими категориями. Например, категория топологических пространств и категория симплициальных множеств допускают модельные структуры Квиллена, присоединение нерва и реализации которых дает присоединение Квиллена, которое фактически является эквивалентностью гомотопических категорий. Конкретные объекты в структуре модели обладают «хорошими свойствами» (относительно существования подъемов против определенных морфизмов), «фибрантными» и «кофибрантными» объектами, и каждый объект слабо эквивалентен «разрешению» фибрант-кофибрант.

Хотя изначально модели Квиллена были разработаны для работы с категорией топологических пространств, структуры моделей появляются во многих местах в математике; в частности, категория цепных комплексов из любой абелевой категории (модули, пучки модулей на топологическом пространстве или схеме и т. д.) допускает модельную структуру, слабыми эквивалентностями которой являются те морфизмы между цепными комплексами, сохраняющие гомологии. Часто у нас есть функтор между двумя такими модельными категориями (например, функтор глобальных сечений, переводящий комплекс абелевых пучков в очевидный комплекс абелевых групп), который сохраняет слабые эквивалентности *внутри подкатегории «хороших» (фибрантных или кофибрантных) объектов.* Взяв сначала фибрантную или кофибрантную резольвенту объекта, а затем применив этот функтор, мы успешно распространили его на всю категорию таким образом, что слабые эквивалентности всегда сохраняются (и, следовательно, он спускается к функтору из гомотопической категории). Это «производный функтор». Например, «производные функторы» пучковых когомологий являются гомологиями выходных данных этого производного функтора. Применяя их к пучку абелевых групп, интерпретируемых очевидным образом как комплекс, сконцентрированный в гомологиях, они измеряют неспособность функтора глобальных сечений сохранять их слабые эквивалентности, его неспособность «точности». Общая теория модельных структур показывает уникальность этой конструкции (независимость от выбора фибранта или кофибрантного разрешения и т. д.).

Ссылки

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей И. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-43583-9
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .