Дельта-функция

Не путать с дельта-функцией .

В гомологической алгебре δ -функтор между двумя абелевыми категориями A и B представляет собой набор функторов из A в B вместе с набором морфизмов , которые удовлетворяют свойствам, обобщающим свойства производных функторов . Универсальный δ-функтор — это δ-функтор, удовлетворяющий определенному универсальному свойству, связанному с расширением морфизмов за пределы «степени 0». Эти понятия были введены Александром Гротендиком в его « статье Тохоку », чтобы обеспечить подходящую настройку для производных функторов. В частности, производные функторы являются универсальными δ-функторами.

Термины гомологический δ-функтор и когомологический δ-функтор иногда используются, чтобы различать случай, когда морфизмы «спускаются вниз» ( гомологические ) и случай, когда они «поднимаются вверх» ( когомологические ). В частности, один из этих модификаторов всегда подразумевается, хотя часто не указывается.

Определение

Для двух абелевых категорий A и B ковариантный когомологический δ-функтор между A и B является семейством { T ^н } ковариантных аддитивных функторов T ^н : A → B , индексированный неотрицательными целыми числами , и для каждой короткой точной последовательности

$0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0$

семейство морфизмов

$\delta ^{n}:T^{n}(M^{\prime \prime })\rightarrow T^{n+1}(M^{\prime })$

индексируется неотрицательными целыми числами, удовлетворяющими следующим двум свойствам:

1. Для каждой короткой точной последовательности, как указано выше, существует длинная точная последовательность.

   

2. Для каждого морфизма коротких точных последовательностей

   

   и для каждого неотрицательного n индуцированный квадрат

   

   коммутативен (δ ^н вверху соответствует короткой точной последовательности M , тогда как внизу соответствует короткой точной последовательности N ).

Второе свойство выражает функториальность δ-фунтора. Модификатор «когомологический» указывает на то, что δ ^н поднять индекс на T . Ковариантный гомологический δ-функтор между A и B определяется аналогичным образом (и обычно использует индексы), но с δ _n морфизмом T _n ( M '') → T _n-1 ( M' ). Понятия контравариантного когомологического δ-функтора между A и B и контравариантного гомологического δ-функтора между A и B также можно определить, «перевернув стрелки» соответственно.

Морфизмы δ-функторов

Морфизм δ-функторов — это семейство естественных преобразований , которые для каждой короткой точной последовательности коммутируют с морфизмами δ. Например, в случае двух ковариантных когомологических δ-функторов, обозначаемых S и T , морфизм из S в T представляет собой семейство F _n : S ^н → Т ^н естественных преобразований таких, что для любой короткой точной последовательности

$0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0$

следующая диаграмма коммутирует:

Универсальная δ-функция

Универсальный δ-функтор характеризуется тем ( универсальным ) свойством, что задание морфизма из него в любой другой δ-функтор (между A и B ) эквивалентно заданию просто F ₀ . Если S обозначает ковариантный когомологический δ-функтор между A и B , то S универсален, если дан любой другой (ковариантный когомологический) δ-функтор T (между A и B ) и любое естественное преобразование

$F_{0}:S^{0}\rightarrow T^{0}$

существует единственная последовательность F _n, индексированная целыми положительными числами, такая, что семейство { F _n } _{n ≥ 0} является морфизмом δ-функторов.

См. также

• Стираемый функтор

Ссылки

• Гротендик, Александр (1957), «Sur quelques point d'algèbre homologique», The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 (2–3), MR   0102537

• Раздел XX.7 Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001
• Раздел 2.1 Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .