Пристройка Квиллена

В теории гомотопии , разделе математики , соединение Квиллена между двумя замкнутыми модельными категориями C и D — это особый вид соединения между категориями , которое вызывает соединение между гомотопическими категориями Ho( C ) и Ho( D ) через полный производный функтор. строительство. Присоединения Квиллена названы в честь математика Дэниела Квиллена .

Формальное определение

Для двух замкнутых модельных категорий C и D присоединение Квиллена представляет собой пару

( Ф , Г ): С $\leftrightarrows$ Д

сопряженных функторов с F, сопряженным слева с G, таких, что F сохраняет корасслоения и тривиальные корасслоения, или, что то же самое, согласно аксиомам замкнутой модели, таких, что G сохраняет расслоения и тривиальные расслоения. В таком присоединении F называется левым функтором Квиллена , а G — правым функтором Квиллена .

Свойства

Следствием аксиом является то, что левый (правый) функтор Квиллена сохраняет слабые эквивалентности между кофибрантными (фибрантными) объектами. Теорема Квиллена о полном производном функторе гласит, что полный производный функтор слева

L F : Хо( C ) → Хо( D )

является левым сопряженным к полному производному справа функтору

R G : Ho( D ) → Ho( C ).

присоединение ( LF Это , RG ) называется производным присоединением .

Если ( F , G ) является добавлением Квиллена, как указано выше, такое, что

F ( c ) → d

с кофибрантом c и фибрантом d является слабой эквивалентностью в D тогда и только тогда, когда

в → г ( d )

является слабой эквивалентностью в C , то она называется эквивалентностью Квиллена замкнутых модельных категорий C и D . В этом случае производное присоединение представляет собой присоединенную эквивалентность категорий, так что

L F ( c ) → d

является изоморфизмом в Ho( D ) тогда и только тогда, когда

c → р грамм ( d )

является изоморфизмом в Ho( C ).

Ссылки

• Гёрсс, Пол Г. [на немецком языке] ; Джардин, Джон Ф. (1999). Симплициальная гомотопическая теория . Прогресс в математике. Том. 174. Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер. ISBN  978-3-7643-6064-1 .
• [1] [2]
• Филип С. Хиршхорн, Категории моделей и их локализация, Американское математическое общество, 24 августа 2009 г. — Математика — 457 страниц.