Когомологии алгебры Ли

В математике когомологии алгебры Ли — это когомологий теория алгебр Ли . Впервые он был введен в 1929 году Эли Картаном для изучения топологии групп Ли и однородных пространств. ^[1] связав когомологические методы Жоржа де Рама со свойствами алгебры Ли. Позднее оно было расширено Клодом Шевалле и Сэмюэлем Эйленбергом ( 1948 ) на коэффициенты в произвольном модуле Ли . ^[2]

Мотивация

Если $G$ является компактной односвязной группой Ли, то она определяется своей алгеброй Ли, поэтому должна быть возможность вычислить ее когомологии из алгебры Ли. Это можно сделать следующим образом. Его когомологии — это когомологии де Рама комплекса дифференциальных форм на $G$ . Используя процесс усреднения, этот комплекс можно заменить комплексом левоинвариантных дифференциальных форм . Между тем левоинвариантные формы определяются своими значениями в единице, так что пространство левоинвариантных дифференциальных форм можно отождествить с внешней алгеброй алгебры Ли с подходящим дифференциалом.

Конструкция этого дифференциала на внешней алгебре имеет смысл для любой алгебры Ли, поэтому она используется для определения когомологий алгебры Ли для всех алгебр Ли. В более общем смысле аналогичная конструкция используется для определения когомологий алгебры Ли с коэффициентами в модуле.

Если $G$ — односвязная некомпактная группа Ли, когомологии алгебры Ли ассоциированной алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ не обязательно воспроизводит когомологии де Рама $G$ . Причина этого в том, что переход от комплекса всех дифференциальных форм к комплексу левоинвариантных дифференциальных форм использует процесс усреднения, который имеет смысл только для компактных групп.

Определение

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли над коммутативным кольцом R с универсальной обертывающей алгеброй. $U{\mathfrak {g}}$ , и M представление — пусть ${\mathfrak {g}}$ (эквивалентно, $U{\mathfrak {g}}$ -модуль). Рассматривая R как тривиальное представление ${\mathfrak {g}}$ , определяются группы когомологий

\mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)

(определение Ext см. в функторе Ext). Эквивалентно, это правые производные функторы левого точного инвариантного функтора подмодуля.

M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.

Аналогично можно определить гомологии алгебры Ли как

\mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)

( определение Tor см. в функторе Tor), что эквивалентно левым производным функторам правого точных коинвариантов функтора .

M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.

Некоторые важные основные результаты о когомологиях алгебр Ли включают леммы Уайтхеда , теорему Вейля и теорему о разложении Леви .

Комплекс Шевалле-Эйленберга

Позволять ${\mathfrak {g}}$ быть алгеброй Ли над полем $k$ , с левым действием на ${\mathfrak {g}}$ -модуль $M$ . Элементы комплекса Шевалле–Эйленберга.

\mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)

называются коцепями из ${\mathfrak {g}}$ к $M$ . Однородный $n$ -коцепь из ${\mathfrak {g}}$ к $M$ таким образом, является чередующимся $k$ -мультилинейная функция $f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M$ . Когда ${\mathfrak {g}}$ конечно порождено как векторное пространство, комплекс Шевалле–Эйленберга канонически изоморфен тензорному произведению $M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}$ , где ${\mathfrak {g}}^{*}$ обозначает двойственное векторное пространство ${\mathfrak {g}}$ .

Скобка Лжи $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ на ${\mathfrak {g}}$ вызывает транспонирования приложение $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ по двойственности. Последнего достаточно, чтобы определить вывод $d_{\mathfrak {g}}$ комплекса коцепей из ${\mathfrak {g}}$ к $k$ расширяя $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}$ по градуированному правилу Лейбница. Из тождества Якоби следует, что $d_{\mathfrak {g}}$ удовлетворяет $d_{\mathfrak {g}}^{2}=0$ и фактически является дифференциалом. В этой обстановке $k$ рассматривается как тривиальная вещь ${\mathfrak {g}}$ -модуль в то время как $k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})$ можно рассматривать как константы.

В общем, пусть $\gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))$ обозначим левое действие ${\mathfrak {g}}$ на $M$ и рассматривать это как приложение $d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}$ . Дифференциал Шевалле – Эйленберга $d$ тогда единственный вывод, продолжающий $d_{\gamma }^{(0)}$ и $d_{\mathfrak {g}}^{(1)}$ согласно градуированному правилу Лейбница , условие нильпотентности $d^{2}=0$ следующий из гомоморфизма алгебры Ли из ${\mathfrak {g}}$ к $\mathrm {End} (M)$ и тождество Якоби в ${\mathfrak {g}}$ .

Явно дифференциал $n$ -коцепь $f$ это $(n+1)$ -коцепь $df$ предоставлено: ^[3]

${\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}$

где каретка означает пропуск этого аргумента.

Когда $G$ является вещественной группой Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ , комплекс Шевалле–Эйленберга также можно канонически отождествить с пространством левоинвариантных форм со значениями в $M$ , обозначенный $\Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}$ . Тогда дифференциал Шевалле–Эйленберга можно рассматривать как ограничение ковариантной производной на тривиальном расслоении. $G\times M\rightarrow G$ , оснащенный эквивариантной связью ${\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\mathrm {End} (M))$ связанный с левым действием $\gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))$ из ${\mathfrak {g}}$ на $M$ . В частном случае, когда $M=k=\mathbb {R}$ оснащен тривиальным действием ${\mathfrak {g}}$ дифференциал Шевалле–Эйленберга совпадает с ограничением дифференциала де Рама на $\Omega ^{\bullet }(G)$ к подпространству левоинвариантных дифференциальных форм.

Когомологии в малых размерностях

Нулевая группа когомологий — это (по определению) инварианты алгебры Ли, действующие на модуль:

H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.

Первая группа когомологий — это пространство $Der$ дифференцирований по модулю пространства $Ider$ внутренних дифференцирований.

H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,

,

где вывод - это карта $d$ от алгебры Ли к $M$ такой, что

d[x,y]=xdy-ydx~

и называется внутренним, если оно задано формулой

dx=xa~

для некоторых $a$ в $M$ .

Вторая группа когомологий

H^{2}({\mathfrak {g}};M)

— пространство классов эквивалентности расширений алгебры Ли

0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0

алгебры Ли модулем $M$ .

Аналогично любой элемент группы когомологий $H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)$ дает класс эквивалентности способов расширения алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ на «Ложь $n$ -алгебра» с ${\mathfrak {g}}$ в нулевом классе и $M$ в классе $n$ . ^[4] Ложь $n$ -алгебра — гомотопическая алгебра Ли с ненулевыми членами только в степенях от 0 до $n$ .

Примеры

Когомологии на тривиальном модуле

Когда $M=\mathbb {R}$ , как упоминалось ранее, комплекс Шевалле–Эйленберга совпадает с комплексом де-Рама для соответствующей компактной группы Ли. В этом случае $M$ осуществляет тривиальное действие ${\mathfrak {g}}$ , так $xa=0$ для каждого $x\in {\mathfrak {g}},a\in M$ .

Нулевая группа когомологий — это $M$ .
Первые когомологии: учитывая вывод $D$ $D$ , $xDy=0$ $xDy=0$ для всех $x$ $х$ и $y$ $y$ , поэтому выводы удовлетворяют $D([x,y])=0$ $D([x,y])=0$ для всех коммутаторов, поэтому идеальный $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $[{\mathfrak {g}}, {\mathfrak {g}}]$ содержится в ядре $D$ $D$ .
- Если $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}$ , как и в случае простых алгебр Ли , то $D\equiv 0$ , поэтому пространство дифференцирований тривиально, поэтому первые когомологии тривиальны.
- Если ${\mathfrak {g}}$ абелева, то есть $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=0$ , то любой линейный функционал $D:{\mathfrak {g}}\rightarrow M$ на самом деле является выводом, а набор внутренних выводов тривиален, поскольку они удовлетворяют $Dx=xa=0$ для любого $a\in M$ . Тогда первая группа когомологий в этом случае есть $M^{{\text{dim}}{\mathfrak {g}}}$ . В свете соответствия де-Рама это показывает важность компактного предположения, поскольку это первая группа когомологий $n$ -тор рассматривается как абелева группа, и $\mathbb {R} ^{n}$ также можно рассматривать как абелеву группу размерности $n$ , но $\mathbb {R} ^{n}$ имеет тривиальные когомологии.
Вторые когомологии: Вторая группа когомологий - это пространство классов эквивалентности центральных расширений.

$0\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0.$ Конечномерные простые алгебры Ли имеют только тривиальные центральные расширения: доказательство приведено здесь .

Когомологии на присоединенном модуле

Когда $M={\mathfrak {g}}$ , действие является присоединенным действием , $x\cdot y=[x,y]={\text{ad}}(x)y$ .

Нулевая группа когомологий является центром ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$
Первые когомологии: внутренние выводы даются формулами $Dx=xy=[x,y]=-{\text{ad}}(y)x$ , так что они являются именно образом ${\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}({\mathfrak {g}}).$ Первая группа когомологий — это пространство внешних дифференцирований .

См. также

БРСТ-формализм в теоретической физике.
Gelfand–Fuks cohomology

Ссылки

^ Картан, Эли (1929). «Об интегральных инвариантах некоторых замкнутых однородных пространств». Летопись Польского математического общества . 8 : 181–225.
^ Кошул, Жан-Луи (1950). «Гомологии и когомологии алгебр Ли» . Бюллетень Математического общества Франции . 78 :65–127. дои : 10.24033/bsmf.1410 . Архивировано из оригинала 21 апреля 2019 г. Проверено 3 мая 2019 г.
^ Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Издательство Кембриджского университета . п. 240.
^ Баэз, Джон С .; Кран, Алисса С. (2004). «Многомерная алгебра VI: 2-алгебры Ли». Теория и приложения категорий . 12 : 492–528. arXiv : math/0307263 . Бибкод : 2003math......7263B . CiteSeerX 10.1.1.435.9259 .

Шевалле, Клод ; Эйленберг, Сэмюэл (1948), «Теория когомологий групп Ли и алгебр Ли», Труды Американского математического общества , 63 (1), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 85–124, doi : 10.2307/1990637 , ISSN 0002 -9947 , JSTOR 1990637 , MR 0024908
Хилтон, Питер Дж .; Штаммбах, Урс (1997), Курс гомологической алгебры , Тексты для аспирантов по математике, том. 4 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94823-2 , МР 1438546
Кнапп, Энтони В. (1988), Группы Ли, алгебры Ли и когомологии , Математические заметки, том. 34, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-08498-5 , МР 0938524

[1] Картан, Эли (1929). «Об интегральных инвариантах некоторых замкнутых однородных пространств». Летопись Польского математического общества . 8 : 181–225.

[2] Кошул, Жан-Луи (1950). «Гомологии и когомологии алгебр Ли» . Бюллетень Математического общества Франции . 78 :65–127. дои : 10.24033/bsmf.1410 . Архивировано из оригинала 21 апреля 2019 г. Проверено 3 мая 2019 г.

[3] Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Издательство Кембриджского университета . п. 240.

[4] Баэз, Джон С .; Кран, Алисса С. (2004). «Многомерная алгебра VI: 2-алгебры Ли». Теория и приложения категорий . 12 : 492–528. arXiv : math/0307263 . Бибкод : 2003math......7263B . CiteSeerX 10.1.1.435.9259 .

[1]

[2]

[3]

[4]