Карта Кодайры-Спенсера

В математике карта Кодайры-Спенсера , введенная Кунихико Кодайрой и Дональдом К. Спенсером , представляет собой карту, с деформацией схемы связанную или комплексного многообразия X , переводящую касательное пространство точки пространства деформации в первую группу когомологий. пучка векторных полей на X .

Определение

Историческая мотивация

Отображение Кодаиры–Спенсера изначально было построено для комплексных многообразий. Учитывая комплексное аналитическое многообразие $M$ с графиками $U_{i}$ и биголоморфные отображения $f_{jk}$ отправка $z_{k}\to z_{j}=(z_{j}^{1},\ldots ,z_{j}^{n})$ склеив диаграммы, идея теории деформации состоит в том, чтобы заменить эти карты перехода $f_{jk}(z_{k})$ по параметризованным картам переходов $f_{jk}(z_{k},t_{1},\ldots ,t_{k})$ по какой-то базе $B$ (которое может быть реальным многообразием) с координатами $t_{1},\ldots ,t_{k}$ , такой, что $f_{jk}(z_{k},0,\ldots ,0)=f_{jk}(z_{k})$ . Это означает, что параметры $t_{i}$ деформировать сложную структуру исходного комплексного многообразия $M$ . Тогда эти функции также должны удовлетворять условию коцикла, которое дает 1-коцикл на $M$ со значениями в его касательном расслоении. Поскольку можно предположить, что база представляет собой полидиск, этот процесс дает отображение между касательным пространством базы и $H^{1}(M,T_{M})$ называется картой Кодаиры-Спенсера. ^[1]

Исходное определение

Более формально, карта Кодайры – Спенсера имеет вид ^[2]

KS:T_{0}B\to H^{1}(M,T_{M})

где

${\mathcal {M}}\to B$ является гладким собственным отображением комплексных пространств ^[3] (т.е. деформация специального волокна $M={\mathcal {M}}_{0}$ .)
$KS$ — это связующий гомоморфизм, полученный взятием длинной точной последовательности когомологий сюръекции $T{\mathcal {M}}|_{M}\to T_{0}B\otimes {\mathcal {O}}_{M}$ ядром которого является касательное расслоение $T_{M}$ .

Если $v$ находится в $T_{0}B$ , то его изображение $KS(v)$ называется Кодаиры–Спенсера классом $v$ .

Примечания

Поскольку теория деформации была распространена на множество других контекстов, таких как деформации в теории схем или кольцевые топосы, для этих контекстов существуют конструкции карты Кодаиры – Спенсера.

В теории схем над базовым полем $k$ характеристики $0$ , существует естественная биекция между классами изоморфизмов ${\mathcal {X}}\to S=\operatorname {Spec} (k[t]/t^{2})$ и $H^{1}(X,TX)$ .

Конструкции

Использование бесконечно малых

Условие коцикла для деформаций

За характеристику $0$ построение карты Кодайры – Спенсера ^[4] можно сделать, используя бесконечно малую интерпретацию условия коцикла. Если у нас есть сложное многообразие $X$ покрыто конечным числом диаграмм ${\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ с координатами $z_{\alpha }=(z_{\alpha }^{1},\ldots ,z_{\alpha }^{n})$ и функции перехода

$f_{\beta \alpha }:U_{\beta }|_{U_{\alpha \beta }}\to U_{\alpha }|_{U_{\alpha \beta }}$ где $f_{\alpha \beta }(z_{\beta })=z_{\alpha }$

Напомним, что деформация задается коммутативной диаграммой

${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} )&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])\end{matrix}}$

где $\mathbb {C} [\varepsilon ]$ является кольцом двойственных чисел , а вертикальные отображения плоские, деформация имеет когомологическую интерпретацию как коциклы ${\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )$ на $U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])$ где

$z_{\alpha }={\tilde {f}}_{\alpha \beta }(z_{\beta },\varepsilon )=f_{\alpha \beta }(z_{\beta })+\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })$

Если ${\tilde {f}}_{\alpha \beta }$ удовлетворяют условию коцикла, то они склеиваются до деформации ${\mathfrak {X}}$ . Это можно прочитать как

${\begin{aligned}{\tilde {f}}_{\alpha \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon )=&{\tilde {f}}_{\alpha \beta }({\tilde {f}}_{\beta \gamma }(z_{\gamma },\varepsilon ),\varepsilon )\\=&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\&+\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\end{aligned}}$

Используя свойства двойственных чисел, а именно $g(a+b\varepsilon )=g(a)+\varepsilon g'(a)b$ , у нас есть

${\begin{aligned}f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))=&f_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon {\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\alpha }}}(z_{\alpha })b_{\beta _{\gamma }}(z_{\gamma })\\\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma })+\varepsilon b_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))=&\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))+\varepsilon ^{2}{\frac {\partial b_{\alpha \beta }}{\partial z_{\alpha }}}(z_{\alpha })b_{\beta _{\gamma }}(z_{\gamma })\\=&\varepsilon b_{\alpha \beta }(f_{\beta \gamma }(z_{\gamma }))\\=&\varepsilon b_{\alpha \beta }(z_{\beta })\end{aligned}}$

отсюда условие коцикла на $U_{\alpha }\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])$ это следующие два правила

$b_{\alpha \gamma }={\frac {\partial f_{\alpha \beta }}{\partial z_{\beta }}}b_{\beta \gamma }+b_{\alpha \beta }$
$f_{\alpha \gamma }=f_{\alpha \beta }\circ f_{\beta \gamma }$

Преобразование в коциклы векторных полей

Коцикл деформации легко преобразуется в коцикл векторных полей. $\theta =\{\theta _{\alpha \beta }\}\in C^{1}({\mathcal {U}},T_{X})$ следующим образом: учитывая коцикл ${\tilde {f}}_{\alpha \beta }=f_{\alpha \beta }+\varepsilon b_{\alpha \beta }$ мы можем сформировать векторное поле

$\theta _{\alpha \beta }=\sum _{i=1}^{n}b_{\alpha \beta }^{i}{\frac {\partial }{\partial z_{\alpha }^{i}}}$

что представляет собой 1-коцепь. Тогда правило для карт перехода $b_{\alpha \gamma }$ дает эту 1-коцепь как 1-коцикл, следовательно, класс $[\theta ]\in H^{1}(X,T_{X})$ .

Использование векторных полей

Одна из оригинальных конструкций этой карты использовала векторные поля в условиях дифференциальной геометрии и комплексного анализа. ^[1] Учитывая приведенные выше обозначения, переход от деформации к состоянию коцикла прозрачен на малой базе размерности один, поэтому существует только один параметр $t$ . Тогда условие коцикла можно прочитать как

$f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)=f_{ij}^{\alpha }(f_{kj}^{1}(z_{k},t),\ldots ,f_{kj}^{n}(z_{k},t),t)$

Тогда производная от $f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)$ относительно $t$ можно рассчитать из предыдущего уравнения как

${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Обратите внимание, потому что $z_{j}^{\beta }=f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)$ и $z_{i}^{\alpha }=f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)$ , то производная имеет вид

${\begin{aligned}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}&={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

С изменением координат части предыдущего голоморфного векторного поля, имеющей в качестве коэффициентов эти частные производные, можно записать

${\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}=\sum _{\alpha =1}^{n}{\frac {\partial z_{i}^{\alpha }}{\partial z_{j}^{\beta }}}\cdot {\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}$

Следовательно, мы можем записать приведенное выше уравнение в виде следующего уравнения векторных полей

${\begin{aligned}\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ik}^{\alpha }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}=&\sum _{\alpha =0}^{n}{\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}\\&+\sum _{\beta =0}^{n}{\frac {\partial f_{jk}^{\beta }(z_{k},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{j}^{\beta }}}\\\end{aligned}}$

Переписав это как векторные поля

$\theta _{ik}(t)=\theta _{ij}(t)+\theta _{jk}(t)$

где

$\theta _{ij}(t)={\frac {\partial f_{ij}^{\alpha }(z_{j},t)}{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}^{\alpha }}}$

дает условие коцикла. Следовательно $\theta _{ij}$ имеет связанный класс в $[\theta _{ij}]\in H^{1}(M,T_{M})$ от первоначальной деформации ${\tilde {f}}_{ij}$ из $f_{ij}$ .

В теории схем

Деформации гладкой разновидности ^[5]

${\begin{matrix}X&\to &{\mathfrak {X}}\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(k)&\to &{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])\end{matrix}}$

иметь класс Кодайры-Спенсера, построенный когомологически. С этой деформацией связана короткая точная последовательность

$0\to \pi ^{*}\Omega _{{\text{Spec}}(k[\varepsilon ])}^{1}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\to \Omega _{{\mathfrak {X}}/S}^{1}\to 0$

(где $\pi :{\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}(k[\varepsilon ])$ ), который при тензорировании ${\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ -модуль ${\mathcal {O}}_{X}$ дает короткую точную последовательность

$0\to {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{\mathfrak {X}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X}^{1}\to 0$

Используя производные категории , это определяет элемент в

${\begin{aligned}\mathbf {R} {\text{Hom}}(\Omega _{X}^{1},{\mathcal {O}}_{X}[+1])&\cong \mathbf {R} {\text{Hom}}({\mathcal {O}}_{X},T_{X}[+1])\\&\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}_{X},T_{X})\\&\cong H^{1}(X,T_{X})\end{aligned}}$

обобщающее отображение Кодаиры – Спенсера. Обратите внимание, что это можно обобщить на любую гладкую карту. $f:X\to Y$ в ${\text{Sch}}/S$ используя последовательность котангенсов, давая элемент в $H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))$ .

Окольцованных топоев

Одна из наиболее абстрактных конструкций карт Кодайры – Спенсера происходит из котангенсных комплексов, связанных с композицией карт кольцевых топосов.

$X\xrightarrow {f} Y\to Z$

Тогда с этой композицией связан выделенный треугольник

$f^{*}\mathbf {L} _{Y/Z}\to \mathbf {L} _{X/Z}\to \mathbf {L} _{X/Y}\xrightarrow {[+1]}$

и эта карта границ образует карту Кодаиры – Спенсера. ^[6] (или класс когомологий, обозначаемый $K(X/Y/Z)$ ). Если две карты в композиции являются гладкими отображениями схем, то этот класс совпадает с классом в $H^{1}(X,T_{X/Y}\otimes f^{*}(\Omega _{Y/Z}^{1}))$ .

Примеры

С аналитическими микробами

Отображение Кодаиры–Спенсера при рассмотрении аналитических ростков легко вычислимо с использованием касательных когомологий в теории деформаций и ее версальных деформаций. ^[7] Например, учитывая росток многочлена $f(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} \{z_{1},\ldots ,z_{n}\}=H$ , его пространство деформаций можно задать модулем

$T^{1}={\frac {H}{df\cdot H^{n}}}$

Например, если $f=y^{2}-x^{3}$ то его версальные деформации определяются выражением

$T^{1}={\frac {\mathbb {C} \{x,y\}}{(y,x^{2})}}$

следовательно, произвольная деформация определяется выражением $F(x,y,a_{1},a_{2})=y^{2}-x^{3}+a_{1}+a_{2}x$ . Тогда для вектора $v\in T_{0}(\mathbb {C} ^{2})$ , который имеет основу

${\frac {\partial }{\partial a_{1}}},{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}$

вот карта $KS:v\mapsto v(F)$ отправка

${\begin{aligned}\phi _{1}{\frac {\partial }{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial }{\partial a_{2}}}\mapsto &\phi _{1}{\frac {\partial F}{\partial a_{1}}}+\phi _{2}{\frac {\partial F}{\partial a_{2}}}\\&=\phi _{1}+\phi _{2}\cdot x\end{aligned}}$

Об аффинных гиперповерхностях с котангенсным комплексом

Для аффинной гиперповерхности $i:X_{0}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{n}\to {\text{Spec}}(k)$ над полем $k$ определяется полиномом $f$ , существует соответствующий фундаментальный треугольник

$i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}\to \mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\xrightarrow {[+1]}$

Затем, применяя $\mathbf {RHom} (-,{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ дает длинную точную последовательность

${\begin{aligned}&{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\leftarrow &{\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\leftarrow {\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\end{aligned}}$

Напомним, что существует изоморфизм

${\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$

из общей теории производных категорий, а группа ext классифицирует деформации первого порядка. Затем, посредством ряда сокращений, эту группу можно вычислить. Во-первых, поскольку $\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}\cong \Omega _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{1}$ это бесплатный модуль, ${\textbf {RHom}}(i^{*}\mathbf {L} _{\mathbb {A} ^{n}/{\text{Spec}}(k)},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])=0$ . Кроме того, потому что $\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}}\cong {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}[+1]$ , существуют изоморфизмы

${\begin{aligned}{\textbf {RHom}}(\mathbf {L} _{X_{0}/\mathbb {A} ^{n}},{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}[+1],{\mathcal {O}}_{X_{0}}[+1])\\\cong &{\textbf {RHom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Ext}}^{0}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\text{Hom}}({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\\\cong &{\mathcal {O}}_{X_{0}}\end{aligned}}$

Последний изоморфизм происходит от изоморфизма ${\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\cong {\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}}$ и морфизм в

${\text{Hom}}_{{\mathcal {O}}_{X_{0}}}({\mathcal {I}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}}{\mathcal {O}}_{X_{0}},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ отправлять $[gf]\mapsto g'g+(f)$

дающий искомый изоморфизм. Из котангенсной последовательности

${\frac {(f)}{(f)^{2}}}\xrightarrow {[g]\mapsto dg\otimes 1} \Omega _{\mathbb {A} ^{n}}^{1}\otimes {\mathcal {O}}_{X_{0}}\to \Omega _{X_{0}/{\text{Spec}}(k)}^{1}\to 0$

(который является усеченной версией фундаментального треугольника) соединительная карта длинной точной последовательности является двойственной $[g]\mapsto dg\otimes 1$ , давая изоморфизм

${\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})\cong {\frac {k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{\left(f,{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}}$

Обратите внимание, что это вычисление можно выполнить, используя последовательность котангенсов и вычисляя ${\text{Ext}}^{1}(\Omega _{X_{0}}^{1},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ . ^[8] Затем карта Кодайры – Спенсера отправляет деформацию

${\frac {k[\varepsilon ][x_{1},\ldots ,x_{n}]}{f+\varepsilon g}}$

к элементу $g\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X_{0}/k},{\mathcal {O}}_{X_{0}})$ .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Кодайра (2005). Сложные многообразия и деформация сложных структур . Классика по математике. стр. 182–184 , 188–189. дои : 10.1007/b138372 . ISBN 978-3-540-22614-7 .
^ Хайбрехтс 2005 , 6.2.6.
^ Основное различие между комплексным многообразием и комплексным пространством состоит в том, что последнее может иметь нильпотент.
^ Арбарелло; Корнальба; Гриффитс (2011). Геометрия алгебраических кривых II . Основные принципы математических наук, Арбарелло, Э. И др.: Алгебраические кривые I, II. стр. 172–174. ISBN 9783540426882 .
^ Сернеси. «Обзор классической теории деформации» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 27 апреля 2020 г.
^ Illusie, L. Котангенс L. Complexe; Приложение в духе теории деформаций (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 ноября 2020 г. Проверено 27 апреля 2020 г.
^ Паламодов (1990). «Деформации сложных пространств». Несколько комплексных переменных IV . Энциклопедия математических наук. Том. 10. С. 138, 130. doi : 10.1007/978-3-642-61263-3_3 . ISBN 978-3-642-64766-6 .
^ Тальпо, Маттиа; Вистоли, Анджело (30 января 2011 г.). «Теория деформаций с точки зрения расслоенных категорий». стр. 25, упражнение 3.25. arXiv : 1006.0497 [ math.AG ].

Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: Введение . Спрингер. ISBN 3-540-21290-6 .
Кодайра, Кунихико (1986), Комплексные многообразия и деформация сложных структур , Фундаментальные принципы математических наук, том. 283, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-96188-0 , МР 0815922
Пост Mathoverflow, связывающий деформации с якобиевым кольцом .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Кодайра (2005). Сложные многообразия и деформация сложных структур . Классика по математике. стр. 182–184 , 188–189. дои : 10.1007/b138372 . ISBN 978-3-540-22614-7 .

[2] Хайбрехтс 2005 , 6.2.6.

[3] Основное различие между комплексным многообразием и комплексным пространством состоит в том, что последнее может иметь нильпотент.

[4] Арбарелло; Корнальба; Гриффитс (2011). Геометрия алгебраических кривых II . Основные принципы математических наук, Арбарелло, Э. И др.: Алгебраические кривые I, II. стр. 172–174. ISBN 9783540426882 .

[5] Сернеси. «Обзор классической теории деформации» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 27 апреля 2020 г.

[6] Illusie, L. Котангенс L. Complexe; Приложение в духе теории деформаций (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 ноября 2020 г. Проверено 27 апреля 2020 г.

[7] Паламодов (1990). «Деформации сложных пространств». Несколько комплексных переменных IV . Энциклопедия математических наук. Том. 10. С. 138, 130. doi : 10.1007/978-3-642-61263-3_3 . ISBN 978-3-642-64766-6 .

[8] Тальпо, Маттиа; Вистоли, Анджело (30 января 2011 г.). «Теория деформаций с точки зрения расслоенных категорий». стр. 25, упражнение 3.25. arXiv : 1006.0497 [ math.AG ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]