Кольцевые топосы

В математике кольцевой топос — это обобщение кольцевого пространства ; то есть понятие получается путем замены « топологического пространства » на « топос ». Понятие кольцевого топоса имеет приложения к теории деформаций в алгебраической геометрии (ср. котангенс-комплекс ) и к математическим основам квантовой механики . В последнем случае топос Бора представляет собой кольцевой топос, играющий роль квантового фазового пространства .

Определение топос-версии «локально окольцованного пространства» не является простым, поскольку значение слова «локальный» в этом контексте неочевидно. Можно ввести понятие топоса с локальным кольцом , введя своего рода геометрические условия локальных колец (см. SGA4, Разоблачение IV, Упражнение 13.9), что эквивалентно утверждению, что все стебли объекта структурного кольца являются локальными кольцами, когда существуют достаточно очков .

Морфизмы

Морфизм $(T,{\mathcal {O}}_{T})\to (T',{\mathcal {O}}_{T'})$ кольцевых топосов представляет собой пару, состоящую из морфизма топосов $f:T\to T'$ и кольцевой гомоморфизм ${\mathcal {O}}_{T'}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{T}$.

Если заменить «топос» на ∞-топос , то получится понятие кольцевого ∞-топоса .

Примеры

Кольцевые топосы топологического пространства

Один из ключевых мотивирующих примеров кольцевого топоса связан с топологией. Рассмотрите сайт ${\text{Open}}(X)$ топологического пространства $X$, и пучок непрерывных функций

$C_{X}^{0}:{\text{Open}}(X)^{op}\to {\text{CRing}}$

отправка объекта $U\in {\text{Open}}(X)$, открытое подмножество $X$, к кольцу непрерывных функций $C_{X}^{0}(U)$ на $U$. Затем пара $({\text{Sh}}({\text{Open}}(X)),C_{X}^{0})$ образует кольцевой топос. Обратите внимание, что это можно обобщить на любое кольцевое пространство. $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ где

${\mathcal {O}}_{X}:{\text{Open}}(X)^{op}\to {\text{Rings}}$

так что пара $({\text{Sh}}({\text{Open}}(X)),{\mathcal {O}}_{X})$ представляет собой кольцевой топос.

Кольцевой топос схемы

Другим ключевым примером является кольцевой топос, связанный со схемой. $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, который снова представляет собой кольцевой топос, связанный с лежащим в основе локально окольцованным пространством.

Связь с функтором точек

Напомним, что функтор точек зрения теории схем определяет схему $X$ как функтор $X:{\text{CAlg}}\to {\text{Sets}}$ который удовлетворяет условию связки и условию склейки. То есть для любой открытой крышки ${\text{Spec}}(R_{f_{i}})\to {\text{Spec}}(R)$ аффинных схем существует следующая точная последовательность

$X(R)\to \prod X(R_{f_{i}})\rightrightarrows \prod X(R_{f_{i}f_{j}})$

Также должны существовать открытые аффинные подфункторы

$U_{i}={\text{Spec}}(A_{i})={\text{Hom}}_{\text{CAlg}}(A_{i},-)$

покрытие $X$, то есть для любого $\xi \in X(R)$, есть $\xi |_{U_{i}}\in U_{i}(R)$. Затем существует топос, связанный с $X$ базовым сайтом которого является сайт открытых подфункторов. Этот узел изоморфен узлу, ассоциированному с основным топологическим пространством кольцевого пространства, соответствующего схеме. Затем теория топосов дает возможность построить теорию схем без необходимости использования локально окольцованных пространств с использованием соответствующих локально окольцованных топосов.

Кольцевые топосы множеств

Категория множеств эквивалентна категории пучков в категории с одним объектом и только тождественным морфизмом, поэтому ${\text{Sh}}(*)\cong {\text{Sets}}$. Тогда для любого кольца $A$, существует связанный пучок ${\text{Hom}}_{Sets}(-,A):{\text{Sets}}^{op}\to {\text{Rings}}$. Это можно использовать для поиска игрушечных примеров морфизмов кольцевых топосов.

Ссылки

• Стандартным справочником является четвертый том Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie .
• Фрэнсис Дж. Вывел алгебраическую геометрию ${\mathcal {E}}_{n}$-Кольца
• Двойственность Гротендика для производных стеков
• Кольцевые топосы в n Lab
• Локально окольцованные топосы в n Lab