Функтор, представленный схемой

В алгебраической геометрии функтор , представленный схемой X, — это многозначный контравариантный функтор в категории схем такой, что значение функтора в каждой схеме S является (с точностью до естественных биекций) множеством всех морфизмов. $S\to X$. функтор F Тогда говорят, что естественно эквивалентен функтору точек из X ; схема X и говорят, что представляет функтор F и классифицирует геометрические объекты над S, заданные F .

Функтор, создающий определенные геометрические объекты над S, быть представлен схемой X. может Например, функтор, переводящий S во множество всех линейных расслоений над S (или, точнее, n -мерных линейных систем ), представляется проективным пространством $X=\mathbb {P} ^{n-1}$. Другим примером является схема Гильберта X схемы Y , которая представляет собой функтор, отправляющий схему S в множество замкнутых подсхем схемы Y. $Y\times S$ которые являются плоскими семействами над S .

В некоторых приложениях может оказаться невозможным найти схему, представляющую данный функтор. Это привело к понятию стека , который не совсем функтор , но его все же можно рассматривать как геометрическое пространство. (Схема Гильберта — это скорее схема, чем стек, потому что, грубо говоря, теория деформации проще для замкнутых схем.)

Некоторые проблемы модулей решаются путем предоставления формальных решений (в отличие от полиномиальных алгебраических решений), и в этом случае результирующий функтор представляется формальной схемой . Такая формальная схема называется алгебраизуемой, если существует схема, которая может представлять тот же функтор с точностью до некоторых изоморфизмов.

Мотивация

См. Также: рациональная точка § Определение

Это понятие является аналогом классифицирующего пространства в алгебраической топологии , где каждое главное G -расслоение над пространством S является (с точностью до естественных изоморфизмов ) обратным образом универсального расслоения. $EG\to BG$ по какой-то карте $S\to BG$. Задать главное G -расслоение над S — это то же самое, что дать отображение (называемое классифицирующим отображением) из S в классифицирующее пространство. $BG$.

Аналогичное явление в алгебраической геометрии задается линейной системой : задать морфизм базового многообразия S в проективное пространство. $X=\mathbb {P} ^{n}$ эквивалентно созданию линейной системы без базовых точек (или, что то же самое, линейного расслоения) на S . То есть проективное пространство X представляет собой функтор, который дает все линейные расслоения над S .

Лемма Йонеды гласит, что схема X определяет и определяется своим функтором точек.

Функтор точек

Пусть X — схема . Его функтором точек является функтор

Hom(−, X ): (Аффинные схемы) ^на ⟶ Наборы

отправка аффинной схемы Y в набор карт схем $Y\to X$.

Схема определяется с точностью до изоморфизма своим функтором точек. Это более сильная версия леммы Йонеды , которая гласит, что X определяется отображением Hom(−, X ): Схемы ^на → Наборы.

И наоборот, функтор F : (Аффинные схемы) ^на → Sets является функтором точек некоторой схемы тогда и только тогда, когда F является пучком относительно топологии Зарисского на (аффинных схемах) и F допускает открытое накрытие аффинными схемами.

Примеры

Очки как символы

Пусть X схема над базовым кольцом B. — Если x является теоретико-множественной точкой X , то поле вычетов $k(x)$ — поле вычетов локального кольца ${\mathcal {O}}_{X,x}$ (т. е. фактор по максимальному идеалу). Например, если X — аффинная схема Spec( A ), а x — простой идеал ${\mathfrak {p}}$, то поле вычетов x является функциональным полем замкнутой подсхемы $\operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})$.

Для простоты предположим, что $X=\operatorname {Spec} (A)$. Тогда включение теоретико-множественной точки x в X соответствует кольцевому гомоморфизму:

$A\to k(x)$

(что $A\to A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})$ если $x={\mathfrak {p}}$.)

Сказанное выше следует сравнить со спектром коммутативной банаховой алгебры .

Точки как разделы

По универсальному свойству расслоенного произведения каждая R -точка схемы X определяет морфизм R -схем

$\operatorname {Spec} (R)\to X_{R}{\overset {\mathrm {def} }{=}}X\times _{\operatorname {Spec} (B)}\operatorname {Spec} (R)$;

т. е. часть проекции $X_{R}\to \operatorname {Spec} (R)$. Если S является подмножеством X ( R ), то пишут $|S|\subset X_{R}$ для множества изображений сечений, определяемых элементами из S .

Спецификация кольца двойственных чисел

Позволять $D=\operatorname {Spec} (k[t]/(t^{2}))$, Spec кольца двойственных чисел над полем k и X - схема над k . Затем каждый $D\to X$ представляет собой касательный вектор к X в точке, которая является образом замкнутой точки карты. Другими словами, $X(D)$ представляет собой набор касательных векторов к X .

Универсальный объект

Пусть F представленный схемой X. — функтор , При изоморфизме $F(X)\simeq \operatorname {Mor} (X,X)$, есть уникальный элемент $F(X)$ что соответствует карте идентичности $1_{X}:X\to X$. Его называют универсальным объектом или универсальным семейством (когда классифицируемые объекты являются семействами).

См. также

• Пространство модулей
• Ограничение Вейля
• Рациональная точка
• Спуск по торсорам

Ссылки

• Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974 г.) о кривых и их якобианах . Конспект лекций по математике. Том. 1358 г. (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/b62130 . ISBN  3-540-63293-Х .
• Лурье, Джейкоб. «Лекция 14: Существование борелевских редукций (I)» (PDF) .
• Шафаревич, Игорь (1994). Основная алгебраическая геометрия, второе, исправленное и расширенное издание, Vol. 2 . Спрингер-Верлаг.
• Шафаревич, Игорь Робертович (2013). Основная алгебраическая геометрия 2 . дои : 10.1007/978-3-642-38010-5 . ISBN  978-3-642-38009-9 .

Внешние ссылки

• http://www.math.washington.edu/~zhang/Shanghai2011/Slides/ardakov.pdf