Регулярное встраивание

Не путать с обычной схемой .

В алгебраической геометрии замкнутое погружение $i:X\hookrightarrow Y$ схем является регулярным вложением коразмерности r , если каждая точка x в X имеет открытую аффинную окрестность U в Y такую, что идеал схем $X\cap U$ порождается регулярной последовательностью длины r . Регулярное вложение коразмерности один и есть эффективный дивизор Картье .

Примеры и использование

Например, если X и Y гладкие i над схемой S и если — S - морфизм, то i — регулярное вложение. В частности, каждое сечение гладкого морфизма является регулярным вложением. Если $\operatorname {Spec} B$ правильно вложено в регулярную схему , то B — полное кольцо пересечений .

Это понятие существенно используется, например, в подходе Фултона к теории пересечений . Важным фактом является то, что когда i — регулярное вложение, если I — идеальный пучок X в Y , то нормальный пучок , двойственный к $I/I^{2}$, локально свободно (таким образом, векторное расслоение) и естественное отображение $\operatorname {Sym} (I/I^{2})\to \oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}$ является изоморфизмом: нормальный конус $\operatorname {Spec} (\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})$ совпадает с нормальным пучком.

Непримеры

Одним из непримеров является неравномерная схема. Например, схема

$X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)$

это союз $\mathbb {A} ^{2}$ и $\mathbb {A} ^{1}$. Тогда вложение $X\hookrightarrow \mathbb {A} ^{3}$ не является регулярным, поскольку берется любая неисходная точка на $z$-ось имеет размерность $1$ в то время как любая неисходная точка на $xy$-плоскость имеет размерность $2$.

Локальные морфизмы полного пересечения и виртуальные касательные расслоения

Морфизм конечного типа $f:X\to Y$ называется (локальным) полным морфизмом пересечений , если каждая точка x в X имеет открытую аффинную окрестность U так, что f | _U -факторы как $U{\overset {j}{\to }}V{\overset {g}{\to }}Y$ где j — регулярное вложение, а g — гладкое . Например, если f — морфизм между гладкими многообразиями , то f факторизуется как $X\to X\times Y\to Y$ где первое отображение — это морфизм графа , а значит, и морфизм полного пересечения. Обратите внимание, что это определение совместимо с определением в EGA IV для частного случая плоских морфизмов .

Позволять $f:X\to Y$ быть морфизмом локального полного пересечения, допускающим глобальную факторизацию: это композиция $X{\overset {i}{\hookrightarrow }}P{\overset {p}{\to }}Y$ где $i$ является регулярным вложением и $p$ гладкий морфизм. Тогда виртуальное касательное расслоение является элементом группы Гротендика векторных расслоений на X, заданной как:

$T_{f}=[i^{*}T_{P/Y}]-[N_{X/P}]$,

где $T_{P/Y}=\Omega _{P/Y}^{\vee }$ – относительный касательный пучок $p$ (который локально бесплатен, поскольку $p$ он гладкий) и $N$ это нормальный пучок $({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee }$ (где ${\mathcal {I}}$ представляет собой идеальный пучок $X$ в $P$), который является локально бесплатным, поскольку $i$ является обычным вложением.

В более общем смысле, если $f\colon X\rightarrow Y$ — любой локальный морфизм полного пересечения схем, его котангенс комплекс $L_{X/Y}$ является совершенным по Tor-амплитуде [-1,0]. Если к тому же $f$ локально имеет конечный тип и $Y$ локально нётерово, то верно и обратное.

Эти понятия используются, например, в теореме Гротендика-Римана-Роха .

Ненетеров случай

SGA 6 Exposé VII использует следующую несколько более слабую форму понятия регулярного вложения, которая согласуется с представленной выше для нетеровских схем:

Во-первых, для проективного модуля E над коммутативным кольцом A отображение A -линейное $u:E\to A$ называется регулярным по Кошулю, если комплекс Кошуля определяемый им ацикличен в размерности > 0 (следовательно, он является резольвентой коядра оператора u ). Затем закрытое погружение $X\hookrightarrow Y$ называется регулярным по Кошулю, если определяемый им идеальный пучок таков, что локально существуют конечный свободный A -модуль E и регулярная по Кошулю сюръекция из E в идеальный пучок.

Именно эта закономерность Кошуля использовалась в SGA 6. для определения локальных морфизмов полного пересечения; там указано, что регулярность Кошуля была призвана заменить определение, данное ранее в этой статье и появившееся первоначально в уже опубликованной EGA IV.

(Этот вопрос возникает потому, что обсуждение делителей нуля для ненётеровых колец сложно, поскольку нельзя использовать теорию ассоциированных простых чисел.)

См. также

• Регулярное подмногообразие

Ссылки

• Бертло, Пьер ; Александр Гротендик ; Люк Иллюзи , ред. (1971). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1966-67 - Теория пересечений и теорема Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii+700. дои : 10.1007/BFb0066283 . ISBN  978-3-540-05647-8 . МР   0354655 .
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323 , раздел Б.7
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное изучение схем и морфизмов схем, Часть четвертая» . Публикации IHÉS по математике . 32 :5–361. дои : 10.1007/bf02732123 . МР   0238860 . , раздел 16.9, с. 46
• Иллюзи, Люк (1971), Complexe Cotangent et Déformations I , Конспекты лекций по математике 239 (на французском языке), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-05686-7
• Сернеси, Эдоардо (2006). Деформации алгебраических схем . Физика-Верлаг. ISBN  9783540306153 .