Гомотопический копредел и предел

В математике , особенно в алгебраической топологии , гомотопический предел и копредел ^[1]^{стр. 52} являются вариантами понятий предела и копредела, расширенными до гомотопической категории ${\text{Ho}}({\textbf {Top}})$ . Основная идея такова: если у нас есть диаграмма

$F:I\to {\textbf {Top}}$

рассматривается как объект гомотопической категории диаграмм $F\in {\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{I})$ , (где гомотопическая эквивалентность диаграмм рассматривается поточечно), то гомотопический предел и копределы тогда соответствуют конусу и коконусу

${\begin{aligned}{\underset {\leftarrow I}{\text{Holim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\\{\underset {\rightarrow I}{\text{Hocolim}}}(F)&:*\to {\textbf {Top}}\end{aligned}}$

которые являются объектами гомотопической категории ${\text{Ho}}({\textbf {Top}}^{*})$ , где $*$ — категория с одним объектом и одним морфизмом. Обратите внимание, что эта категория эквивалентна стандартной гомотопической категории. ${\text{Ho}}({\textbf {Top}})$ поскольку последняя категория гомотопических функторов имеет функторы, которые выбирают объект в ${\text{Top}}$ а естественное преобразование соответствует непрерывной функции топологических пространств. Обратите внимание, что эту конструкцию можно обобщить на модельные категории , которые дают методы построения гомотопических пределов и копределов в терминах других гомотопических категорий, таких как производные категории . Другой подход, формализующий подобные конструкции, — это дериваторы. ^[2]^{стр. 193} которые являются новой основой гомотопической алгебры .

Вводные примеры

Гомотопическое выталкивание

Понятие гомотопического копредела ^[1]^{стр. 4–8} является обобщением гомотопических выталкиваний , таких как цилиндр отображения, используемый для определения корасслоения . Это понятие мотивировано следующим наблюдением: (обычное) выталкивание

D^{n}\sqcup _{S^{n-1}}pt

— это пространство, полученное сжатием ( n −1)-сферы (которая является границей n -мерного диска) в одну точку. пространство гомеоморфно n Это -сфере S ^н. С другой стороны, выталкивание

pt\sqcup _{S^{n-1}}pt

это точка. Следовательно, хотя ( сжимаемый ) диск D ^н был заменен точкой (которая гомотопически эквивалентна диску), два выталкивания не гомотопически (или слабо ) эквивалентны.

Следовательно, выталкивание не совсем соответствует принципу гомотопической теории, согласно которой слабо эквивалентные пространства несут одну и ту же информацию: если одно (или несколько) пространств, используемых для формирования выталкивания, заменяется слабо эквивалентным пространством, pushout не гарантирует, что он останется слабо эквивалентным. Гомотопическое выталкивание исправляет этот недостаток.

Гомотопическое выталкивание двух карт $A\leftarrow B\rightarrow C$ топологических пространств определяется как

A\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}B\sqcup _{1}B\times [0,1]\sqcup _{0}C

,

т. е. вместо склеивания B как в A, и в C , две копии цилиндра на B склеиваются вместе, а их концы приклеиваются к A и C. так Например, гомотопический копредел диаграммы (карты которой являются проекциями)

X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}

это соединение $X_{0}*X_{1}$ .

Можно показать, что гомотопическое выталкивание не имеет недостатка обычного выталкивания: заменяя A , B и/или C гомотопическим пространством, гомотопическое выталкивание также будет гомотопным. В этом смысле гомотопические выталкивания относятся к гомотопическим пространствам так же, как (обычные) выталкивания относятся к гомеоморфным пространствам.

Состав карт

Еще одним полезным и мотивирующим примером гомотопического копредела является построение моделей гомотопического копредела диаграммы.

$A\xrightarrow {f} X\xrightarrow {g} Y$

топологических пространств. Существует несколько способов смоделировать этот копредел: первый — рассмотреть пространство

$\left[(A\times I)\coprod (X\times I)\coprod Y\right]/\sim$

где $\sim$ – это отношение эквивалентности, идентифицирующее

${\begin{aligned}(a,1)&\sim (f(a),0)\\(x,1)&\sim g(x)\end{aligned}}$

которое образно можно описать как картинку

Поскольку мы можем аналогичным образом интерпретировать приведенную выше диаграмму как коммутативную диаграмму, из свойств категорий мы получаем коммутативную диаграмму

дающий гомотопический копредел. Мы могли бы догадаться, что это выглядит так

но обратите внимание, что мы ввели новый цикл для заполнения новых данных композиции. Это создает техническую проблему, которую можно решить с помощью симплициальных методов: найти метод построения модели гомотопических копределов. Новая диаграмма, образующая гомотопический копредел диаграммы композиции, графически представлена как

дающая другую модель гомотопического копредела, гомотопически эквивалентную исходной диаграмме (без композиции $g\circ f$ ), приведенное выше.

Картографический телескоп

Гомотопический копредел последовательности пространств

X_{1}\to X_{2}\to \cdots ,

это картографический телескоп . ^[3] Одним из примеров вычислений является получение гомотопического копредела последовательности корасслоений . Копредел ^[1]^{стр. 62} эта диаграмма дает гомотопический копредел. Это означает, что мы можем вычислить гомотопический копредел любого картографического телескопа, заменив карты корасслоениями.

Общее определение

Гомотопический предел

Рассмотрения таких примеров, как картографический телескоп и выталкивание гомотопий, на равных можно добиться, рассматривая $I$ -диаграмму пространств, где $I$ — некоторая «индексирующая» категория . Это функтор

X:I\to Spaces,

т. е. каждому объекту $i$ в $I$ присваивается пространство $X i$ и отображаются между ними в соответствии с отображениями в $I$ . Категория таких диаграмм обозначается $Пространства. я$ .

Существует естественный функтор, называемый диагональю.

\Delta _{0}:Spaces\to Spaces^{I}

который отправляет любое пространство $X$ в диаграмму, состоящую из $X$ повсюду (и тождество $X$ как отображение между ними). В (обычной) теории категорий правым сопряженным к этому функтору является предел . Гомотопический предел определяется изменением этой ситуации: он является правым сопряженным

\Delta :Spaces\to Spaces^{I}

который отправляет пробел $X$ на $I-$ диаграмму, которая на каком-то объекте $i$ дает

X\times |N(I/i)|

Здесь $I / i$ — категория среза (ее объекты — стрелки $j \to i$ , где $j$ — любой объект из $I$ ), $N$ — нерв этой категории и |-| является топологической реализацией этого симплициального множества . ^[4]

Гомотопический копредел

Аналогично можно определить копредел как левый сопряженный диагональному функтору $0,$ указанному выше. гомотопический копредел, мы должны модифицировать $0 Чтобы определить$ другим способом. Гомотопический копредел можно определить как левый сопряженный функтору $Δ: Пространства \to Пространства. я$ где

Δ(X)(i) = Hom Spaces (| N (I на / я) |, X)

,

где $я на$ является противоположной I. $$ категорией Хотя это не то же самое, что функтор $Δ,$ указанный выше, он обладает тем свойством, что если геометрическая реализация категории нерва ( $| N (-) |$ ) заменяется точечным пространством, мы восстанавливаем исходный функтор $Δ 0$ .

Примеры

Гомотопический откат (или произведение гомотопического слоя ) — это двойственная концепция гомотопического выталкивания. Он удовлетворяет универсальному свойству возврата к гомотопии. ^{[ нужна ссылка ]} Конкретно, учитывая $f:X\to Z$ и $g:Y\to Z$ , его можно построить как

X\times _{Z}^{h}Y:=X\times _{Z}Z^{I}\times _{Z}Y=\{(x,\gamma ,y)|f(x)=\gamma (0),g(y)=\gamma (1)\}.

^[5]

Например, гомотопический слой $f:X\to Y$ над точкой y — это гомотопический возврат $f$ вдоль $y\hookrightarrow Y$ . ^[5] Гомотопический возврат $f$ вдоль идентичности есть не что иное, как путей отображения пространство $f$ .

Универсальное свойство гомотопического возврата дает естественное отображение $X\times _{Z}Y\to X\times _{Z}^{h}Y$ , частный случай естественного отображения предела в гомотопический предел. В случае гомотопического слоя это отображение является включением слоя в гомотопический слой.

Построение копределов с симплициальными заменами.

Учитывая небольшую категорию $I$ и диаграмма $D:I\to {\textbf {Top}}$ , мы можем построить гомотопический копредел, используя симплициальную замену диаграммы. Это симплициальное пространство, ${\text{srep}}(D)_{\bullet }$ дано диаграммой ^[1]^{стр. 16-17}

где

${\text{srep}}(D)_{n}={\underset {i_{0}\leftarrow i_{1}\leftarrow \cdots \leftarrow i_{n}}{\coprod }}D(i_{n})$

задается цепочками составных отображений в категории индексации $I$ . Тогда гомотопический копредел $D$ может быть построено как геометрическая реализация этого симплициального пространства, поэтому

${\underset {\to }{\text{hocolim}}}D=|{\text{srep}}(D)_{\bullet }|$

Обратите внимание, что это согласуется с приведенным выше изображением диаграммы состава $A\to X\to Y$ .

Отношение к (обычному) копределу и пределу

Всегда есть карта

\mathrm {hocolim} X_{i}\to \mathrm {colim} X_{i}.

Обычно это отображение не является слабой эквивалентностью. Например, встречающееся выше гомотопическое выталкивание всегда соответствует обычному выталкиванию. Это отображение обычно не является слабой эквивалентностью, например, соединение не является слабо эквивалентным вытеснению $X_{0}\leftarrow X_{0}\times X_{1}\rightarrow X_{1}$ , это точка.

Дополнительные примеры и приложения

Точно так же, как предел используется для завершения кольца, холим используется для завершения спектра .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Даггер, Дэниел. «Букварь по гомотопическим копределам» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2020 г.
^ Гротендик. «В поисках стопок» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 г. Проверено 17 сентября 2020 г.
^ Алгебраическая топология Хэтчера, 4.G.
^ Баусфилд и Кан: Гомотопические пределы, пополнения и локализации , Springer, LNM 304. Раздел XI.3.3
^ Jump up to: ^а ^б Математика 527 - Гомотопическая теория Гомотопические откаты

Введение в гомотопические копределы
Гомотопические копределы в категории малых категорий
Категории и орбипространства
Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0 .

Дальнейшее чтение

[:1-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Даггер, Дэниел. «Букварь по гомотопическим копределам» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 декабря 2020 г.

[:0-2] Гротендик. «В поисках стопок» . thescrivener.github.io . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2020 г. Проверено 17 сентября 2020 г.

[3] Алгебраическая топология Хэтчера, 4.G.

[4] Баусфилд и Кан: Гомотопические пределы, пополнения и локализации , Springer, LNM 304. Раздел XI.3.3

[homotopy_pullback-5] Jump up to: ^а ^б Математика 527 - Гомотопическая теория Гомотопические откаты

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]