Картографический цилиндр

Эта статья о топологическом понятии. Для получения информации о соответствующем алгебраическом понятии см. Цилиндр отображения (гомологическая алгебра) .

В математике , особенно в алгебраической топологии , отображающий цилиндр непрерывной ​ функции $f$ между топологическими пространствами $X$ и $Y$ это частное

$M_{f}=(([0,1]\times X)\amalg Y)\,/\,\sim$

где $\amalg$ обозначает непересекающееся объединение , а ~ — отношение эквивалентности порожденное ,

$(0,x)\sim f(x)\quad {\text{for each }}x\in X.$

То есть картографический цилиндр $M_{f}$ получается путем склеивания одного конца $X\times [0,1]$ к $Y$ через карту $f$. Обратите внимание, что «верх» цилиндра $\{1\}\times X$ гомеоморфен ​ ​ $X$, а «дно» — это пространство $f(X)\subset Y$. Обычно пишут $Mf$ для $M_{f}$, и использовать обозначения $\sqcup _{f}$ или $\cup _{f}$ для построения картографического цилиндра. То есть человек пишет

$Mf=([0,1]\times X)\cup _{f}Y$

с подстрочным символом чашки, обозначающим эквивалентность. Цилиндр отображения обычно используется для построения конуса отображения. $Cf$, полученная сжатием одного конца цилиндра в точку. Картографические цилиндры играют центральную роль в определении кофибраций .

Основные свойства

Нижняя часть Y представляет собой ретракт деформационный $M_{f}$. Проекция $M_{f}\to Y$ разбивается (через $Y\ni y\mapsto y\in Y\subset M_{f}$), и ретракция деформации $R$ дается:

$R:M_{f}\times I\rightarrow M_{f}$

$([t,x],s)\mapsto [s\cdot t,x],(y,s)\mapsto y$

(где указывает $Y$ оставайся на месте, потому что $[0,x]=[s\cdot 0,x]$ для всех $s$).

Карта $f:X\to Y$ является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда «вершина» $\{1\}\times X$ представляет собой сильный деформационный ретракт $M_{f}$. Можно вывести явную формулу для сильной деформационной редукции.

Примеры

Картографический цилиндр пучка волокон

Для пучка волокон $\pi :P\to X$ с волокном $F$, картографический цилиндр

$M_{\pi }=(([0,1]\times P)\coprod X)/\sim$

имеет отношение эквивалентности

$(0,p_{x})\sim (0,q_{x})$

для $p_{x},q_{x}\in F_{x}$. Затем существует каноническая карта, отправляющая точку $[i,p_{x},x]\in M_{\pi }$ в точку $x\in X$, давая пучок волокон

$p:M_{\pi }\to X$

чьим волокном является конус $CF$. Чтобы увидеть это, обратите внимание на волокно над точкой $x\in X$ это фактор-пространство

$[0,1]\times P\coprod \{x\}/\sim$

где каждая точка в $\{0\}\times P$ эквивалентно.

Интерпретация

Цилиндр отображения можно рассматривать как способ замены произвольного отображения эквивалентным корасслоением в следующем смысле:

Учитывая карту $f\colon X\to Y$цилиндр отображения представляет собой пространство $M_{f}$, вместе с кофибрацией ${\tilde {f}}\colon X\to M_{f}$ и сюръективная гомотопическая эквивалентность $M_{f}\to Y$ (действительно, Y — ретракт деформационный $M_{f}$), такая, что композиция $X\to M_{f}\to Y$ равно ф .

Таким образом, пространство Y заменяется гомотопически эквивалентным пространством. $M_{f}$, и отображение f с поднятым отображением ${\tilde {f}}$. Аналогично, диаграмма

$f\colon X\to Y$

заменяется диаграммой

${\tilde {f}}\colon X\to M_{f}$

вместе с гомотопической эквивалентностью между ними.

Конструкция служит для замены любого отображения топологических пространств гомотопически эквивалентным корасслоением.

Обратите внимание, что поточечное корасслоение является замкнутым включением .

Приложения

Картографические цилиндры — довольно распространенные гомотопические инструменты. Одним из применений цилиндров отображения является применение теорем, касающихся включения пространств, к общим отображениям, которые могут не быть инъективными .

Следовательно, теоремы или методы (такие как гомологии , когомологии или теория гомотопий ), которые зависят только от гомотопического класса пространств и задействованных отображений, могут быть применены к $f\colon X\rightarrow Y$ с предположением, что $X\subset Y$ и это $f$ на самом деле является включением подпространства .

Другая, более интуитивная привлекательность этой конструкции состоит в том, что она соответствует обычному мысленному образу функции как «отправляющей» точки $X$ в точки $Y,$ и, следовательно, вложения $X$ в пределах $Y,$ несмотря на то, что функция не обязательно должна быть взаимно однозначной.

Категориальное применение и интерпретация

Можно использовать цилиндр отображения для построения гомотопических копределов : это следует из общего утверждения, что любая категория со всеми выталкиваниями и копределами имеет все копределы . То есть по заданной диаграмме заменить отображения корасслоениями (используя цилиндр отображения), а затем взять обычный поточечный предел (нужно быть немного более осторожным, но цилиндры отображения являются компонентой).

И наоборот, цилиндр отображения является гомотопическим выбросом диаграммы, где $f\colon X\to Y$ и ${\text{id}}_{X}\colon X\to X$.

Картографический телескоп

Дана последовательность карт

$X_{1}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{2}{\xrightarrow {f_{2}}}X_{3}\to \cdots$

картографический телескоп является гомотопическим прямым пределом . Если все отображения уже являются корасслоениями (например, для ортогональных групп $O(n)\subset O(n+1)$), то прямым пределом является объединение, но вообще надо пользоваться картографическим телескопом. Картографический телескоп представляет собой последовательность картографических цилиндров, соединенных встык. На картинке конструкция выглядит как стопка все более крупных цилиндров, наподобие телескопа.

Формально это определяется как

${\Bigl (}\coprod _{i}[0,1]\times X_{i}{\Bigr )}/((0,x_{i})\sim (1,f_{i}(x_{i}))).$

См. также

• Кофибрация
• Отображающий цилиндр (гомологическая алгебра)
• Гомотопический копредел
• Пространство пути отображения , которое можно рассматривать как коцилиндр отображения.

Ссылки

• Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии . Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-2265-1183-2 .