Теорема Гротендика – Римана – Роха.

Теорема Гротендика – Римана – Роха.

Комментарий Гротендика к теореме Гротендика – Римана – Роха.
Поле	Алгебраическая геометрия
Первое доказательство	Александр Гротендик
Первое доказательство в	1957
Обобщения	Теорема Атьи – Зингера об индексе
Последствия	Теорема Хирцебруха – Римана – Роха. Теорема Римана–Роха для поверхностей Теорема Римана – Роха

В математике , особенно в алгебраической геометрии , теорема Гротендика-Римана-Роха является далеко идущим результатом о когерентных когомологиях . Это обобщение теоремы Хирцебруха-Римана-Роха о комплексных многообразиях , которая сама по себе является обобщением классической теоремы Римана-Роха для линейных расслоений на компактных римановых поверхностях .

Теоремы типа Римана-Роха связывают эйлеровы характеристики когомологий . векторного расслоения с их топологическими степенями или, в более общем смысле, с их характеристическими классами в (ко) гомологиях или их алгебраических аналогах Классическая теорема Римана–Роха делает это для кривых и линейных расслоений, тогда как теорема Хирцебруха–Римана–Роха обобщает это на векторные расслоения над многообразиями. Теорема Гротендика-Римана-Роха устанавливает обе теоремы в относительной ситуации морфизма между двумя многообразиями (или более общими схемами ) и изменяет теорему с утверждения об одном расслоении на утверждение, применимое к комплексам пучков цепным .

Теорема оказала большое влияние, не в последнюю очередь на развитие теоремы об индексе Атьи-Зингера . И наоборот, комплексные аналитические аналоги теоремы Гротендика – Римана – Роха можно доказать, используя теорему об индексе для семейств. Александр Гротендик дал первое доказательство в рукописи 1957 года, позже опубликованной. Арман Борель и Жан-Пьер Серр написали и опубликовали доказательство Гротендика в 1958 году. Позже Гротендик и его сотрудники упростили и обобщили доказательство.

Формулировка

Пусть X — гладкая квазипроективная схема над полем . При этих предположениях группа Гротендика $K_{0}(X)$ ограниченных комплексов когерентных пучков канонически изоморфна группе Гротендика ограниченных комплексов векторных расслоений конечного ранга. Используя этот изоморфизм, рассмотрим характер Чженя (рациональную комбинацию классов Чженя ) как функториальное преобразование:

$\mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),$

где $A_{d}(X,\mathbb {Q} )$ — Чжоу группа циклов на X размерности d по модулю рациональной эквивалентности , тензорированная рациональными числами . В случае, если X определено над комплексными числами , последняя группа отображается в группу топологических когомологий :

$H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).$

Теперь рассмотрим правильный морфизм $f\colon X\to Y$ между гладкими квазипроективными схемами и ограниченным комплексом пучков ${{\mathcal {F}}^{\bullet }}$ на $X.$

Теорема Гротендика – Римана – Роха связывает прямое отображение

$f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)$

(попеременная сумма высших прямых изображений ) и выдвижение вперед

$f_{*}\colon A(X)\to A(Y),$

по формуле

$\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).$

Здесь $\mathrm {td} (X)$ является родом Тодда ( касательного расслоения ) X . Таким образом, теорема дает точную меру отсутствия коммутативности при движении вперед в вышеуказанных смыслах и характере Черна и показывает, что необходимые поправочные коэффициенты зависят от X и Y. только Фактически, поскольку род Тодда функториален и мультипликативен в точных последовательностях , мы можем переписать формулу Гротендика – Римана – Роха как

$\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),$

где $T_{f}$ относительный касательный пучок f , определяемый как элемент $TX-f^{*}(TY)$ в $K_{0}(X)$. Например, когда f — гладкий морфизм , $T_{f}$ — это просто векторное расслоение, известное как касательное расслоение вдоль слоев f .

Использование А ¹ В -гомотопической теории теорема Гротендика-Римана-Роха была расширена Наварро и Наварро (2017) на ситуацию, когда f является правильным отображением между двумя гладкими схемами.

Обобщая и специализируя

Обобщения теоремы можно сделать на негладкий случай, рассмотрев подходящее обобщение комбинации $\mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)$ и к несобственному случаю, рассматривая когомологии с компактным носителем .

Арифметическая теорема Римана–Роха расширяет теорему Гротендика–Римана–Роха на арифметические схемы .

Теорема Хирцебруха –Римана–Роха представляет собой (по сути) частный случай, когда Y — точка, а поле — поле комплексных чисел.

Версия теоремы Римана–Роха для теорий ориентированных когомологий была доказана Иваном Паниным и Александром Смирновым. Он касается мультипликативных операций между алгебраическими ориентированными теориями когомологий (такими как алгебраические кобордизмы ). Модель Гротендика-Римана-Роха является частным случаем этого результата, и в этой ситуации естественным образом возникает характер Черна.

Примеры

Векторные расслоения на кривой

Векторный расслоение $E\to C$ ранга $n$ и степень $d$ (определяется как степень его определителя или, что то же самое, степень его первого класса Черна) на гладкой проективной кривой над полем $k$ имеет формулу, аналогичную формуле Римана–Роха для линейных расслоений. Если мы возьмем $X=C$ и $Y=\{*\}$ точку, то формулу Гротендика–Римана–Роха можно прочитать как

${\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}$

следовательно,

$\chi (C,E)=d+n(1-g).$

Эта формула справедлива и для когерентных пучков ранга $n$ и степень $d$.

Гладкие правильные карты

Одним из преимуществ формулы Гротендика-Римана-Роха является то, что ее можно интерпретировать как относительную версию формулы Хирцебруха-Римана-Роха. Например, гладкий морфизм $f\colon X\to Y$ имеет слои, которые все равномерны (и изоморфны как топологические пространства при замене базы на $\mathbb {C}$). Этот факт полезен в теории модулей при рассмотрении пространства модулей. ${\mathcal {M}}$ параметризация гладких собственных пространств. Например, Дэвид Мамфорд использовал эту формулу для вывода связей кольца Чоу в пространстве модулей алгебраических кривых .

Модули кривых

Для стека модулей рода $g$ кривые (и без отмеченных точек) ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ есть универсальная кривая $\pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ где ${\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}$ (является стеком модулей кривых рода $g$ и одна отмеченная точка. Затем он определяет тавтологические классы

${\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}$

где $1\leq l\leq g$ и $\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$ – относительный дуализирующий пучок. Обратите внимание на волокно $\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$через точку $[C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ это дуализирующий пучок $\omega _{C}$. Ему удалось найти связи между $\lambda _{i}$ и $\kappa _{i}$ описание $\lambda _{i}$ в виде суммы $\kappa _{i}$ (следствие 6.2) на кольце чау $A^{*}({\mathcal {M}}_{g})$ гладкого локуса с использованием Гротендика-Римана-Роха. Потому что ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ представляет собой гладкий стек Делиня–Мамфорда , он рассматривал покрытие по схеме ${\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ который представляет ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]$ для некоторой конечной группы $G$. Он использует Гротендика-Римана-Роха на $\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}$ получить

$\mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))$

Потому что

$\mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},$

это дает формулу

$\mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).$

Вычисление $\mathrm {ch} (\mathbb {E} )$ затем можно сократить еще больше. В четных размерах $2k$,

${\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.$

Кроме того, в измерении 1

$\lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),$

где $\delta$ это класс на границе. В случае $g=2$ и на гладком месте ${\mathcal {M}}_{g}$ есть отношения

${\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}$

что можно вывести, анализируя характер Черна $\mathbb {E}$.

Закрытое встраивание

Закрытые вложения $f\colon Y\to X$ также имеют описание с использованием формулы Гротендика-Римана-Роха, демонстрируя еще один нетривиальный случай, когда эта формула верна. Для гладкого разнообразия $X$ размера $n$ и подразновидность $Y$ коразмерности $k$, есть формула

$c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]$

Используя короткую точную последовательность

$0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0$,

есть формула

$c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]$

для идеального пучка, поскольку $1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})$.

Приложения

Квазипроективность пространств модулей

Гротендика – Римана – Роха можно использовать для доказательства того, что грубое пространство модулей $M$, например пространство модулей заостренных алгебраических кривых $M_{g,n}$, допускает вложение в проективное пространство, следовательно, является квазипроективным многообразием . Этого можно добиться, рассматривая канонически связанные пучки на $M$ и изучение степени связанных линейных расслоений. Например, $M_{g,n}$ имеет семейство кривых

$\pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}$

с разделами

$s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}$

соответствующие отмеченным точкам. Поскольку каждый слой имеет каноническое расслоение $\omega _{C}$, существуют связанные линейные пучки

$$\Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))$$

и

$$\chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).$$

Оказывается,

$\Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)$

это обширный линейный пакет ^{стр. 209} , следовательно, грубое пространство модулей $M_{g,n}$ является квазипроективным.

История

Александра Гротендика Версия теоремы Римана-Роха была первоначально передана в письме Жан-Пьеру Серру примерно в 1956–1957 годах. Оно было обнародовано на первом Боннском Arbeitstagung в 1957 году. Серр и Арман Борель впоследствии организовали семинар в Принстонском университете, чтобы понять это. Последняя опубликованная статья фактически представляла собой изложение Бореля-Серра.

Значение подхода Гротендика основывается на нескольких моментах. Во-первых, Гротендик изменил само утверждение: в то время теорема понималась как теорема о многообразии , тогда как Гротендик рассматривал ее как теорему о морфизме между многообразиями. Найдя правильное обобщение, доказательство стало проще, а вывод стал более общим. Короче говоря, Гротендик применил строгий категоричный подход к сложному анализу . Более того, Гротендик ввел K-группы , как обсуждалось выше, что проложило путь к алгебраической K-теории .

См. также

• Формула Римана-Роха Кавасаки.

Ссылки

• Бертло, Пьер (1971). Александр Гротендик ; Люк Иллюзи (ред.). Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1966-67 - Теория пересечений и теорема Римана-Роха - (SGA 6) (Конспекты лекций по математике 225 ) . Конспекты лекций по математике (на французском языке). Полет. 225.Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . xii+700. дои : 10.1007/BFb0066283 . ISBN  978-3-540-05647-8 .
• Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1958), «Теорема Римана-Роха», Bulletin de la Société Mathématique de France (на французском языке), 86 : 97–136, doi : 10.24033/bsmf.1500 , ISSN   0037-9484 , MR   0116022
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  3-540-62046-Х , МР   1644323 , Збл   0885.14002
• Наварро, Альберто; Наварро, Хосе (2017), О формуле Римана-Роха без проективной гипотезы , arXiv : 1705.10769 , Bibcode : 2017arXiv170510769N
• Панин Иван; Смирнов, Александр (2000). «Продвижение вперед в теориях ориентированных когомологий алгебраических многообразий» .
• «Теорема Гротендика Римана – Роха». 3264 и все такое . 2016. стр. 481–510. дои : 10.1017/CBO9781139062046.016 . ISBN  9781107017085 .

Внешние ссылки

• Теорема Гротендика-Римана-Роха
• Тема » «Применения Гротендика-Римана-Роха? на MathOverflow .
• Тема . Как понять GRR? (Гротендик Риман Рох)» на MathOverflow «
• Ветка Stack «Класс Черна идеального пучка» на Exchange .