A¹ гомотопическая теория

В алгебраической геометрии и алгебраической топологии , разделах математики , А. ¹ Теория гомотопии или мотивная теория гомотопии — это способ применения методов алгебраической топологии, в частности гомотопии , к алгебраическим многообразиям и, в более общем плане, к схемам . Теория принадлежит Фабьену Морелю и Владимиру Воеводскому . Основная идея состоит в том, что можно разработать чисто алгебраический подход к теории гомотопий, заменив единичный интервал [0, 1] , который не является алгебраическим многообразием, на аффинную прямую A ¹ , что есть. Теория нашла впечатляющие применения, такие как построение Воеводским производной категории смешанных мотивов и доказательство гипотез Милнора и Блоха-Като .

Строительство

А ¹ гомотопическая теория основана на категории, называемой A ¹ гомотопическая категория ${\mathcal {H}}(S)$. Проще говоря, буква А ¹ гомотопическая категория, или, скорее, канонический функтор $Sm_{S}\to {\mathcal {H}}(S)$, – универсальный функтор из категории $Sm_{S}$ гладкого $S$-схемы к категории бесконечности , удовлетворяющей спуску Нисневича , такой, что аффинная линия A ¹ становится сжимаемым. Здесь $S$ — некоторая заранее выбранная базовая схема (например, спектр комплексных чисел $Spec(\mathbb {C} )$).

Это определение в терминах универсального свойства невозможно без категорий бесконечности. Их не было в 90-х годах, и первоначальное определение основывалось на теории модельных категорий Квиллена . Другой взгляд на ситуацию заключается в том, что исходное определение Мореля-Воеводского дает конкретную модель (гомотопической категории) категории бесконечности. ${\mathcal {H}}(S)$.

Эта более конкретная конструкция показана ниже.

Шаг 0

Выберите базовую схему $S$. Классически, $S$ предполагается нётеровским, но многие современные авторы, такие как Марк Ойоа, работают с квазикомпактными квазиотделимыми базовыми схемами. В любом случае многие важные результаты известны только для идеального базового поля, например для комплексных чисел, поэтому мы рассматриваем только этот случай.

Шаг 1

Шаг 1а: Пучки Нисневича . Классически построение начинается с категории $Shv(Sm_{S})_{Nis}$ на пучков Нисневича категории $Sm_{S}$ плавных схем над $S$. Эвристически это следует рассматривать как (и в точном техническом смысле ) универсальное расширение $Sm_{S}$ получается присоединением всех копределов и выполнением спуска Нисневича.

Шаг 1б: симплициальные пучки . Чтобы упростить выполнение стандартных гомотопических теоретических процедур, таких как гомотопические копределы и гомотопические пределы, $Shv_{Nis}(Sm_{S})$ заменены следующей категорией симплициальных пучков.

Пусть ∆ — симплекс-категория , т. е. категория, объектами которой являются множества

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

и чьи морфизмы являются функциями, сохраняющими порядок. Мы позволяем $\Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}$ обозначим категорию функторов $\Delta ^{op}\to Shv(Sm_{S})_{Nis}$. То есть, $\Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}$ — категория симплициальных объектов на $Shv(Sm_{S})_{Nis}$. Такой объект еще называют симплициальным пучком на $Sm_{S}$.

Шаг 1c: функторы волокон . Для любой гладкости $S$-схема $X$, любая точка $x\in X$, и любой пучок $F$, давай напишем $x^{*}F$ за стебель ограничения $F|_{X_{Nis}}$ из $F$ на небольшую площадку Нисневича $X$. Явно, $x^{*}F=colim_{x\to V\to X}F(V)$ где копредел превышает факторизации $x\to V\to X$ канонического включения $x\to X$ через этальный морфизм $V\to X$. Коллекция $\{x^{*}\}$ представляет собой консервативное семейство расслоенных функторов для $Shv(Sm_{S})_{Nis}$.

Шаг 1d: закрытая структура модели . Мы определим закрытую структуру модели на $\Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}$ в терминах функторов слоев. Позволять $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ — морфизм симплициальных пучков. Мы говорим, что:

• f является слабой эквивалентностью , если для любого слоеного функтора x группы T морфизм симплициальных множеств $x^{*}f:x^{*}{\mathcal {X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}$ является слабой эквивалентностью.
• f является корасслоением, если это мономорфизм.
• f является расслоением , если оно обладает свойством поднятия справа относительно любого корасслоения, являющегося слабой эквивалентностью.

Гомотопическая категория этой модельной структуры обозначается ${\mathcal {H}}_{s}(T)$.

Шаг 2

Эта модельная структура имеет спуск Нисневича, но не стягивает аффинную линию. Симплициальный пучок ${\mathcal {X}}$ называется $\mathbb {A} ^{1}$-локально, если для любого симплициального пучка ${\mathcal {Y}}$ карта

${\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})$

вызванный $i_{0}:\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}$ является биекцией. Здесь мы рассматриваем $\mathbb {A} ^{1}$ как пучок через вложение Йонеды и постоянный симплициальный объектный функтор $Shv(Sm_{S})_{Nis}\to \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}$.

Морфизм $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ это $\mathbb {A} ^{1}$-слабая эквивалентность, если для любого $\mathbb {A} ^{1}$-местный ${\mathcal {Z}}$, индуцированное отображение

${\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X}},{\mathcal {Z}})$

является биекцией. $\mathbb {A} ^{1}$-локальная структура модели – это локализация вышеуказанной модели по отношению к $\mathbb {A} ^{1}$-слабые эквивалентности.

определение

Наконец, мы можем определить A ¹ гомотопическая категория.

Определение. Пусть S — конечномерная нётерова схема (например, $S=Spec(\mathbb {C} )$ спектр комплексных чисел), и пусть Sm _{/ S} обозначает категорию гладких над S. схем Оснастите Sm _{/ S} топологией Нисневича , чтобы получить узел ( Sm _{/ S} ) _Nis . Гомотопическая категория (или категория бесконечности), связанная с $\mathbb {A} ^{1}$-локальная структура модели на $\Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}$ называется А ¹ - гомотопическая категория . Он обозначается ${\mathcal {H}}_{s}$. Аналогично для заостренных симплициальных пучков $\Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}$ существует связанная с ним заостренная гомотопическая категория ${\mathcal {H}}_{s,*}$.

Заметим, что по построению для любого X из Sm _{/ S} существует изоморфизм

Х × _С А ¹
_С ≅ Икс ,

в категории гомотопий.

Свойства теории

Клиновые и смэш-продукты симплициальных (пред)пучков

Поскольку мы начали с категории симплициальной модели, чтобы построить $\mathbf {A} ^{1}$В -гомотопической категории существует ряд структур, унаследованных из абстрактной теории категорий симплициальных моделей. В частности, для ${\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}$ заостренные симплициальные пучки в $\Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}$ мы можем сформировать клиновое произведение как копредел

${\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\downarrow &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}$

и потрясающий продукт определяется как

${\mathcal {X}}\wedge {\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}/{\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}$

восстановление некоторых классических конструкций гомотопической теории. Кроме того, существуют конус симплициального (пред)пучка и конус морфизма, но для их определения требуется определение симплициальных сфер.

Симплициальные сферы

Поскольку мы начинаем с категории симплициальной модели, это означает, что существует косимплициальный функтор

$\Delta ^{\bullet }:\Delta \to \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}$

определение симплексов в $\Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}$. Напомним, что алгебраический n-симплекс задается формулой $S$-схема

$\Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}-1)}}\right)$

Встраивание этих схем в виде постоянных предпучков и формирование слоёв приводит к тому, что объекты $\Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}$, который мы обозначим через $\Delta ^{n}$. Это объекты на изображении $\Delta ^{\bullet }([n])$, то есть $\Delta ^{\bullet }([n])=\Delta ^{n}$. Тогда, используя абстрактную симплициальную теорию гомотопий, мы получаем симплициальные сферы

$S^{n}=\Delta ^{n}/\partial \Delta ^{n}$

Тогда мы можем сформировать конус симплициального (пред)пучка как

$C({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge \Delta ^{1}$

и образуют конус морфизма $f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}$ как копредел диаграммы

$C(f)={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\xrightarrow {f} &{\mathcal {Y}}\\\downarrow &&\\C({\mathcal {X}})\end{matrix}}\right\}$

Кроме того, коволокно ${\mathcal {Y}}\to C(f)$ это просто подвеска ${\mathcal {X}}\wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}$. В указанной гомотопической категории дополнительно имеется функтор подвески

$\Sigma :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}$ данный $\Sigma ({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge S^{1}$

и его правый сопряженный

$\Omega :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}$

называется функтором пространства петель .

Замечания

Схема, особенно топология Нисневича , выбрана для того, чтобы сделать алгебраическую K-теорию представимой спектром и в некоторых аспектах сделать возможным доказательство гипотезы Блоха-Като.

После строительства Мореля-Воеводского существовало несколько различных подходов к А. ¹ гомотопической теории, используя другие структуры модельных категорий или используя другие пучки, кроме пучков Нисневича (например, пучки Зарисского или просто все предпучки). Каждая из этих конструкций дает одну и ту же гомотопическую категорию.

В теории существует два вида сфер: происходящие из мультипликативной группы, играющей роль 1 -сферы в топологии, и сферы, происходящие из симплициальной сферы (рассматриваемой как постоянный симплициальный пучок). Это приводит к теории мотивных сфер S ^{п , д} с двумя индексами. Вычисление гомотопических групп мотивных сфер также привело бы к получению классических стабильных гомотопических групп сфер, поэтому в этом отношении A ¹ Гомотопическая теория по крайней мере так же сложна, как и классическая теория гомотопии.

Мотивационные аналогии

Пространства Эйленберга-Маклана

Для абелевой группы $A$ тот $(p,q)$-мотивные когомологии гладкой схемы $X$ задается пучковыми группами гиперкогомологий

$H^{p,q}(X,A):=\mathbb {H} ^{p}(X_{nis},A(q))$

для $A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A$. Эти когомологии представляет собой симплициальный абелев пучок , обозначаемый $K(p,q,A)$ соответствующий $A(q)[+p]$ который рассматривается как объект в указанной мотивной гомотопической категории $H_{\bullet }(k)$. Тогда для плавной схемы $X$ у нас есть эквивалентность

${\text{Hom}}_{H_{\bullet }(k)}(X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)$

показывая, что эти пучки представляют собой мотивные пространства Эйленберга-Маклана. ^{стр. 3} .

Категория стабильных гомотопий

Дальнейшее построение в A ¹ -гомотопическая теория - это категория SH( S ), которая получается из указанной выше нестабильной категории путем принуждения смешанного произведения с G _m стать обратимым. Этот процесс может осуществляться либо с использованием модельно-категорических конструкций с использованием так называемых G _m -спектров, либо, альтернативно, с использованием бесконечных категорий.

Для S = Spec( R ), спектра поля действительных чисел, существует функтор

$SH(\mathbf {R} )\to SH$

к стабильной гомотопической категории из алгебраической топологии. Функтор характеризуется отправкой гладкой схемы X / R в вещественное многообразие связанное с X. , Этот функтор обладает свойством отправлять карту

$\rho :S^{0}\to \mathbf {G} _{m},i.e.,\{-1,1\}\to Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]$

эквивалентности, поскольку $\mathbf {R} ^{\times }$ гомотопически эквивалентно двуточечному множеству. Бахманн (2018) показал, что результирующий функтор

$SH(\mathbf {R} )[\rho ^{-1}]\to SH$

является эквивалентностью.

Ссылки

Обзорные статьи и лекции

• Морель (2002) Введение в А ¹ -гомотопическая теория
• Антио, Бенджамин; Эльманто, Элден (2016), Учебник по нестабильной мотивной теории гомотопий , arXiv : 1605.00929 , Bibcode : 2016arXiv160500929A

Мотивическая гомотопия

Фундаменты

• Мотивические стабильные гомотопические группы
• Морель, Фабьен; Воеводский Владимир (1999), « А. ¹ -гомотопическая теория схем» (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 90 (90): 45–143, doi : 10.1007/BF02698831 , MR   1813224 , S2CID   14420180 , получено 9 мая 2008 г.
• Воеводский Владимир (1998), « А. ¹ -гомотопическая теория» (PDF) , Documenta Mathematica , Труды Международного конгресса математиков, Том I (Берлин, 1998): 579–604, ISSN   1431-0635 , MR   1648048
• Воеводский, Владимир (2008) « Нестабильные мотивные гомотопические категории в Нисневиче и cdh-топологии »

Стинрода

• Воеводский, Владимир (2001) " Операции пониженной степени в мотивных когомологиях "
• Воеводский, Владимир (2008) « Мотивические пространства Эйленберга-Маклана »

последовательность

• Мотивная спектральная последовательность Адамса
• Мотивная хроматическая гомотопическая теория

Спектры

• Жардин. (1999) Мотивические симметричные спектры

Блох-Като

• Гипотеза Герстена для К-теории Милнора
• Скручивания Тейта и когомологии P ¹

Приложения

• Мотивная алгебра Стинрода в положительной характеристике
• Мотивические стабильные гомотопические группы
• О Мотивике $\pi _{0}$ Сферного Спектра (Спрингер)
• Первые стабильные гомотопические группы мотивной сферы
• О нулевом срезе спектра сферы
• Исчезновение в устойчивых мотивных гомотопических пучках

Ссылки

• Бахманн, Том (2018), «Мотивичная и реальная этальная стабильная гомотопическая теория», Compositio Mathematica , 154 (5): 883–917, arXiv : 1608.08855 , doi : 10.1112/S0010437X17007710 , S2CID   119305101