Класс Тодда

В математике класс Тодда — это некая конструкция, считающаяся сейчас частью теории алгебраической топологии характеристических классов . Класс Тодда векторного расслоения может быть определен посредством теории классов Чженя и встречается там, где существуют классы Чженя — особенно в дифференциальной топологии , теории комплексных многообразий и алгебраической геометрии . Грубо говоря, класс Тодда действует как обратный класс Чженя или стоит по отношению к нему так же, как конормальное расслоение относится к нормальному расслоению .

Класс Тодда играет фундаментальную роль в обобщении классической теоремы Римана-Роха на более высокие размерности в теореме Хирцебруха-Римана-Роха и теореме Гротендика-Хирцебруха-Римана-Роха .

История

Он назван в честь Дж. А. Тодда , который ввел специальный случай этого понятия в алгебраическую геометрию в 1937 году, до того, как были определены классы Чженя. Используемую геометрическую идею иногда называют классом Тодда-Эгера . Общее определение в высших измерениях принадлежит Фридриху Хирцебруху .

Определение

Чтобы определить класс Тодда $\operatorname {td} (E)$ где $E$ представляет собой комплексное векторное расслоение в топологическом пространстве $X$ , обычно можно ограничить определение случаем суммы Уитни линейных расслоений с помощью общего приема теории характеристических классов — использования корней Чженя (так называемого принципа расщепления ). Для определения пусть

Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=1+{\dfrac {x}{2}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}x^{2i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots

быть формальным степенным рядом со свойством, что коэффициент при $x^{n}$ в $Q(x)^{n+1}$ равно 1, где $B_{i}$ обозначает $i$ -е число Бернулли . Рассмотрим коэффициент $x^{j}$ в продукте

\prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\

для любого $m>j$ . Это симметрично в $\beta _{i}$ s и однородный по весу $j$ : так что можно выразить в виде полинома $\operatorname {td} _{j}(p_{1},\ldots ,p_{j})$ в элементарных симметрических функциях $p$ принадлежащий $\beta _{i}$ с. Затем $\operatorname {td} _{j}$ определяет полиномы Тодда : они образуют мультипликативную последовательность с $Q$ как характеристический степенной ряд .

Если $E$ имеет $\alpha _{i}$ как его корни Черна , то класс Тодда

\operatorname {td} (E)=\prod Q(\alpha _{i})

которое необходимо вычислить в когомологий кольце $X$ (или в его дополнении, если хочется рассматривать бесконечномерные многообразия).

Класс Тодда можно явно задать как формальный степенной ряд в классах Черна следующим образом:

\operatorname {td} (E)=1+{\frac {c_{1}}{2}}+{\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}+{\frac {c_{1}c_{2}}{24}}+{\frac {-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}}{720}}+\cdots

где классы когомологий $c_{i}$ являются классами Черна $E$ , и лежат в группе когомологий $H^{2i}(X)$ . Если $X$ конечномерна, то большинство членов исчезают и $\operatorname {td} (E)$ является полиномом от классов Чженя.

Свойства класса Тодда

Класс Тодда является мультипликативным:

\operatorname {td} (E\oplus F)=\operatorname {td} (E)\cdot \operatorname {td} (F).

Позволять $\xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})$ — фундаментальный класс гиперплоского сечения.Из мультипликативности и точной последовательности Эйлера для касательного расслоения ${\mathbb {C} }P^{n}$

0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,

получается ^[1]

\operatorname {td} (T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.

Вычисления класса Тодда

Для любой алгебраической кривой $C$ класс Тодда просто $\operatorname {td} (C)=1+c_{1}(T_{C})$ . С $C$ проективен, он может быть вложен в некоторые $\mathbb {P} ^{n}$ и мы можем найти $c_{1}(T_{C})$ используя обычную последовательность

$0\to T_{C}\to T_{\mathbb {P} }^{n}|_{C}\to N_{C/\mathbb {P} ^{n}}\to 0$

и свойства классов черни. Например, если у нас есть степень $d$ плоская кривая в $\mathbb {P} ^{2}$ , мы находим, что общий класс черна равен

${\begin{aligned}c(T_{C})&={\frac {c(T_{\mathbb {P} ^{2}}|_{C})}{c(N_{C/\mathbb {P} ^{2}})}}\\&={\frac {1+3[H]}{1+d[H]}}\\&=(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{aligned}}$