Мультипликативная последовательность

В математике или мультипликативная последовательность m - последовательность — это последовательность полиномов, связанная с формальной структурой группы . Они имеют применение в кольце кобордизмов в алгебраической топологии .

Определение

Пусть K _n — многочлены над кольцом A от неопределённых p ₁ , ... взвешенные так, что p _i имеет вес i (при p ₀ = 1), а все члены в K _n имеют вес n (в частности, K _n — многочлен в п ₁ , ..., п _н ). Последовательность K _n мультипликативна , если отображение

K:\sum _{n=0}^{\infty }q_{n}z^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }K_{n}(q_{1},\cdots ,q_{n})z^{n}

является эндоморфизмом мультипликативного моноида $(A[x_{1},x_{2},\cdots ][[z]],\cdot )$ , где $q_{n}\in A[x_{1},x_{2},\cdots ]$ .

Силовой ряд

K(1+z)=\sum K_{n}(1,0,\ldots ,0)z^{n}

является характеристическим степенным K n _. рядом Мультипликативная последовательность определяется ее характерным степенным рядом Q ( z ), и каждый степенной ряд с постоянным членом 1 порождает мультипликативную последовательность.

Чтобы восстановить мультипликативную последовательность из характеристического степенного ряда Q ( z ), рассмотрим коэффициент при z ^дж в продукте

\prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}z)\

для любого m > j . Он симметричен по β _i и однороден по весу j : поэтому его можно выразить как полином K _j ( p ₁ , ..., p _j ) от элементарных симметричных функций p от β . Тогда K _j определяет мультипликативную последовательность.

Примеры

Например, последовательность K _n = p _n является мультипликативной и имеет характеристический степенной ряд 1 + z .

Рассмотрим степенной ряд

Q(z)={\frac {\sqrt {z}}{\tanh {\sqrt {z}}}}=1-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}B_{k}z^{k}\

где Bk _— число k -е Бернулли . Мультипликативная последовательность с Q степенного ряда обозначается Lj _{в качестве} ( p1 _pj ,..., ) _{характеристического} .

Мультипликативная последовательность с характеристическим степенным рядом

Q(z)={\frac {2{\sqrt {z}}}{\sinh 2{\sqrt {z}}}}\

обозначается A _j ( p ₁ ,..., p _j ).

Мультипликативная последовательность с характеристическим степенным рядом

Q(z)={\frac {z}{1-\exp(-z)}}=1+{\frac {x}{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {B_{k}}{(2k)!}}z^{2k}\

обозначается Tj _Тодда ( p1 _: ,..., pj ₎ это полиномы .

Род

Род к другому мультипликативной последовательности — это кольцевой гомоморфизм от кольца кобордизмов гладких ориентированных компактных многообразий кольцу, обычно кольцу рациональных чисел .

Например, род Тодда связан с полиномами Тодда с характеристическими степенными рядами ${\frac {z}{1-\exp(-z)}}$ .

Ссылки

Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика по математике. Перевод с немецкого и приложение №1 Р.Л.Э. Шварценбергера. Приложение второе А. Бореля (Отпечаток 2-го, корр. отпечатка 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-58663-6 . Збл 0843.14009 .