Закон Рэлея – Джинса

В физике закон Рэлея -Джинса представляет собой приближение спектральной яркости как электромагнитного излучения функции длины волны черного тела при заданной температуре с помощью классических аргументов. Для длины волны λ это $B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}},$ где $B_{\lambda }$ - спектральная яркость (мощность, излучаемая на единицу излучающей площади, на стерадиан , на единицу длины волны), $c$ это скорость света , $k_{\text{B}}$ – постоянная Больцмана и $T$ это температура в кельвинах . По частоте $\nu$ , вместо этого выражение $B_{\nu }(T)={\frac {2\nu ^{2}k_{\text{B}}T}{c^{2}}}.$

Закон Рэлея-Джинса согласуется с экспериментальными результатами на больших длинах волн (низкие частоты), но совершенно не согласен на коротких длинах волн (высокие частоты). Это несоответствие между наблюдениями и предсказаниями классической физики широко известно как ультрафиолетовая катастрофа . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Закон Планка , который дает правильное излучение на всех частотах, имеет закон Рэлея-Гяна в качестве низкочастотного предела.

Историческое развитие

В 1900 году британский физик лорд Рэлей вывел λ. ⁻⁴ зависимость закона Рэлея-Джинса, основанная на классических физических аргументах, опирающихся на теорему о равнораспределении . Этот закон предсказал, что выходная энергия будет стремиться к бесконечности по мере приближения длины волны к нулю (поскольку частота стремится к бесконечности). Измерения спектрального излучения реальных черных тел показали, что излучение согласуется с расчетом Рэлея на низких частотах, но расходится на высоких частотах, достигая максимума, а затем падая с частотой, поэтому полная излучаемая энергия конечна. Рэлей осознал нефизическое поведение своей формулы на высоких частотах и ввел специальное ограничение, чтобы исправить это, но экспериментаторы обнаружили, что его ограничение не согласуется с данными. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]} Хендрик Лоренц также представил вывод зависимости от длины волны в 1903 году. Более полные выводы, которые включали постоянную пропорциональность, были представлены в 1905 году Рэйли и сэром Джеймсом Джинсами и независимо Альбертом Эйнштейном . ^{[ 3 ]} Рэйли полагал, что это несоответствие может быть решено теоремой равенства, которая не была действительной для высокочастотных вибраций, в то время как джинсы утверждали, что основной причиной была материальная и светильная эфир, не находящаяся в термическом равновесии. ^{[ 3 ]}

Рэйли опубликовал свой первый вывод о частотной зависимости в июне 1900 года. Планк обнаружил, что кривая, теперь известная как закон Планка в октябре того же года, и представил ее в декабре. ^{[ 3 ]} Первоначальное намерение Планка заключалось в том, чтобы найти удовлетворительный вывод выражения Вина для кривой излучения черного тела, которая точно описала данные на высоких частотах. Планк нашел первоначальный вывод Вена неадекватным и разработал свой собственный. Затем, узнав, что самые последние экспериментальные результаты не согласны с его прогнозами на низкие частоты, Планк пересмотрел его расчет, получая то, что сейчас называется законом Планка. ^{[ 4 ]}

Сравнение с законом Планка

В 1900 году Макс Планк эмпирически получил выражение для излучения черного тела, выраженного в терминах длины волны λ = c / ν ( закон Планка ): $B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}},$ где h - постоянная Планка , а $К. Б$ является постоянной Больцманной . Закон Планка не страдает от ультрафиолетовой катастрофы и хорошо согласуется с экспериментальными данными, но его полное значение (что в конечном итоге привело к квантовой теории) было оценено только несколько лет спустя. С $e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,$ Затем, в пределах высоких температур или длинных длин волн, термин в экспоненте становится небольшим, а экспоненциал хорошо аппроксимируется с полинома Тейлора термином первого порядка : $e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}\approx 1+{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}.$

Так ${\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {1}{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}}={\frac {\lambda k_{\text{B}}T}{hc}}.$

Это приводит к тому, что формула черного тела Планка уменьшилась до $B_{\lambda }(T)={\frac {2ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}},$ что идентично классически полученному выражению Рэлея -Джана.

Тот же аргумент можно применить к излучению абсолютно черного тела, выраженному через частоту ν = c / λ . В пределе малых частот, т.е. $h\nu \ll k_{\text{B}}T$ , $B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}\cdot {\frac {k_{\text{B}}T}{h\nu }}={\frac {2\nu ^{2}k_{\mathrm {B} }T}{c^{2}}}.$

Последнее выражение представляет собой закон Рэлея–Джинса в пределе малых частот.

Согласованность выражений, зависящих от частоты и длины волны

При сравнении зависимых от частоты и длины волны выражений закона Рэлея – Джинса важно помнить, что ${\frac {dP}{d\lambda }}=B_{\lambda }(T)$ и ${\frac {dP}{d\nu }}=B_{\nu }(T).$ Обратите внимание, что эти два выражения имеют разные единицы измерения, так как шаг $d\lambda$ по длине волны не эквивалентен шагу $d\nu$ по частоте. Поэтому, $B_{\lambda }(T)\neq B_{\nu }(T),$ даже после подстановки значения $\lambda =c/\nu$ , потому что $B_{\lambda }(T)$ имеет единицы энергии, излучаемой в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу длины волны , тогда как $B_{\nu }(T)$ имеет единицы энергии, излучаемой в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу частоты . Чтобы быть последовательными, мы должны использовать равенство $B_{\lambda }\,d\lambda =dP=B_{\nu }\,d\nu ,$ где обе стороны теперь имеют единицы мощности (энергии, излучаемой в единицу времени) на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла.

Исходя из закона Рэлея-Джинса в терминах длины волны, получаем $B_{\lambda }(T)=B_{\nu }(T){\frac {d\nu }{d\lambda }},$ где ${\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d}{d\lambda }}\left({\frac {c}{\lambda }}\right)=-{\frac {c}{\lambda ^{2}}}.$ Это приводит к $B_{\lambda }(T)={\frac {2k_{\text{B}}T\left({\frac {c}{\lambda }}\right)^{2}}{c^{2}}}\times {\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {2ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}}.$

Другие формы закона Рэлея – Джинса

В зависимости от приложения функция Planck может быть выражена в 3 разных формах. Первый включает в себя энергию, излучаемую на единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу угла с твердым набором, на спектральную единицу. В этой форме функция Planck и связанные с ними пределы Рэлея -Джаяна определяются $B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}}$ или $B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2k_{\text{B}}T\nu ^{2}}{c^{2}}}.$

В качестве альтернативы, закон Планка может быть написан как выражение $I(\nu ,T)=\pi B_{\nu }(T)$ Для излучаемой мощности, интегрированной по всем твердым углам. В этой форме функция Planck и связанные с ними пределы Рэлея -Джаяна определяются $I(\lambda ,T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2\pi ck_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}}$ или $I(\nu ,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {2\pi k_{\text{B}}T\nu ^{2}}{c^{2}}}.$

В других случаях закон Планка написан как ${\textstyle u(\nu ,T)={\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)}$ Для энергии на единицу объема (плотность энергии). В этой форме функция Planck и связанные с ними пределы Рэлея -Джаяна определяются $u(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\text{B}}T}{\lambda ^{4}}}$ или $u(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\text{B}}T}}-1}}\approx {\frac {8\pi k_{\text{B}}T\nu ^{2}}{c^{3}}}.$

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Катнер, Марк Л. (2003). Астрономия: физическая перспектива . Издательство Кембриджского университета. п. 15 . ISBN 0-521-52927-1 .
^ Рыбицкий; Лайтман (2004). Радиационные процессы в астрофизике . Уайли. стр. 20–28. ISBN 0-471-82759-2 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Паис, А. (1 октября 1979 г.). «Эйнштейн и квантовая теория» . Обзоры современной физики . 51 (4): 863–914. Бибкод : 1979РвМП...51..863П . дои : 10.1103/RevModPhys.51.863 . ISSN 0034-6861 .
^ Краг, Х. (2000). «Макс Планк: сопротивляющийся революционер». Мир физики . 13 (12): 31–36. дои : 10.1088/2058-7058/13/12/34 .

Внешние ссылки

[auto-1] Jump up to: ^а ^б Катнер, Марк Л. (2003). Астрономия: физическая перспектива . Издательство Кембриджского университета. п. 15 . ISBN 0-521-52927-1 .

[2] Рыбицкий; Лайтман (2004). Радиационные процессы в астрофизике . Уайли. стр. 20–28. ISBN 0-471-82759-2 .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Паис, А. (1 октября 1979 г.). «Эйнштейн и квантовая теория» . Обзоры современной физики . 51 (4): 863–914. Бибкод : 1979РвМП...51..863П . дои : 10.1103/RevModPhys.51.863 . ISSN 0034-6861 .

[4] Краг, Х. (2000). «Макс Планк: сопротивляющийся революционер». Мир физики . 13 (12): 31–36. дои : 10.1088/2058-7058/13/12/34 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]