Уравнение Сакумы – Хаттори

В физике уравнение Сакумы-Хаттори представляет собой математическую модель для прогнозирования количества теплового излучения , радиометрического потока или радиометрической мощности, излучаемой идеальным черным телом или принимаемой детектором теплового излучения.

История

Уравнение Сакумы-Хаттори было впервые предложено Фумихиро Сакумой, Акирой Оно и Сусуму Хаттори в 1982 году. В 1996 году было проведено исследование, изучающее полезность различных форм уравнения Сакумы – Хаттори. Это исследование показало, что планковская форма лучше всего подходит для большинства приложений. Это исследование было проведено для 10 различных форм уравнения Сакумы–Хаттори, содержащих не более трех подгоночных переменных. В 2008 году BIPM CCT-WG5 рекомендовала его использование для бюджетов погрешностей измерений радиационной термометрии ниже 960 °C.

Общая форма

Уравнение Сакумы-Хаттори дает электромагнитный сигнал объекта теплового излучения на основе температуры . Сигналом может быть электромагнитный поток или сигнал, создаваемый детектором, измеряющим это излучение. Было высказано предположение, что ниже серебряной точки можно использовать метод, использующий уравнение Сакумы – Хаттори. В общем виде это выглядит так $$S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda _{x}T}}\right)-1}},$$ где:

• $C$ скалярный коэффициент
• $c_{2}$ - вторая постоянная излучения (0,014387752 м⋅К )
• $\lambda _{x}$ - эффективная длина волны, зависящая от температуры (в метрах)
• $T$ абсолютная температура (в К )

Планковская форма

Вывод

Планковская форма реализуется следующей заменой: $$\lambda _{x}=A+{\frac {B}{T}}$$

Выполнение этой замены приводит к следующему уравнению Сакумы – Хаттори в планковской форме.

Уравнение Сакумы – Хаттори (планковская форма)

$S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)-1}}$

Обратное уравнение

$T={\frac {c_{2}}{A\ln \left({\frac {C}{S}}+1\right)}}-{\frac {B}{A}}$

Первая производная

${\frac {dS}{dT}}=\left[S(T)\right]^{2}{\frac {Ac_{2}}{C\left(AT+B\right)^{2}}}\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)$

Обсуждение

Планковскую форму рекомендуется использовать при расчете бюджетов неопределенности радиационной термометрии. и инфракрасная термометрия . Его также рекомендуется использовать при калибровке радиационных термометров ниже серебряной точки.

Планковская форма напоминает закон Планка .

$$S(T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}$$

Однако уравнение Сакумы-Хаттори становится очень полезным при рассмотрении низкотемпературной широкополосной радиационной термометрии. Чтобы использовать закон Планка в широком спектральном диапазоне, интеграл необходимо учитывать следующий :

$$S(T)=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}{\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}d\lambda$$

Этот интеграл дает неполную функцию полилогарифма, что может сделать его использование очень громоздким. Стандартная численная обработка разлагает неполный интеграл в геометрический ряд экспоненты $$\int _{0}^{\lambda _{2}}{\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}\left[\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1\right]}}d\lambda =c_{1}\left({\frac {T}{c_{2}}}\right)^{4}\int _{c_{2}/(\lambda _{2}T)}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx$$ после замены $\lambda ={\tfrac {c_{2}}{xT}},\ d\lambda ={\tfrac {-c_{2}}{x^{2}Tdx}}.$ Затем $${\begin{aligned}J(c)&\equiv \int _{c}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}dx=\int _{c}^{\infty }{\frac {x^{3}e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx\\[4pt]&=\int _{c}^{\infty }\sum _{n\geq 1}x^{3}e^{-nx}dx\\[4pt]&=\sum _{n\geq 1}e^{-nc}{\frac {(nc)^{3}+3(nc)^{2}+6nc+6}{n^{4}}}\end{aligned}}$$ обеспечивает аппроксимацию, если сумма усекается в некотором порядке.

Было обнаружено, что уравнение Сакумы-Хаттори, показанное выше, обеспечивает наилучшее соответствие кривой для интерполяции шкал радиационных термометров среди ряда исследованных альтернатив.

Обратная функция Сакумы–Хаттори может использоваться без итерационного расчета. Это дополнительное преимущество перед интегрированием закона Планка.

Другие формы

В статье 1996 года было исследовано 10 различных форм. Они перечислены в таблице ниже в порядке соответствия кривой фактическим радиометрическим данным.

Имя	Уравнение	Пропускная способность	Планковский
Сакума – Хаттори Планк III	$S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{AT+B}}\right)-1}}$	узкий	да
Сакума – Хаттори Планк IV	$S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {A}{T^{2}}}+{\frac {B}{2T}}\right)-1}}$	узкий	да
Сакума – Хаттори – Вена II	$S(T)=C\exp \left({\frac {-c_{2}}{AT+B}}\right)$	узкий	нет
Сакума – Хаттори Планк II	$S(T)={\frac {CT^{A}}{\exp \left({\frac {B}{T}}\right)-1}}$	широкий и узкий	да
Сакума – Хаттори – Вена I	$S(T)=CT^{A}{\exp \left({\frac {-B}{T}}\right)}$	широкий и узкий	нет
Сакума – Хаттори Планк I	$S(T)={\frac {C}{\exp \left({\frac {c_{2}}{AT}}\right)-1}}$	монохромный	да
Новый	$S(T)=C\left(1+{\frac {A}{T}}\right)-B$	узкий	нет
Вена	$S(T)=C\exp \left({\frac {-c_{2}}{AT}}\right)$	монохромный	нет
Эффективная длина волны – Вена	$S(T)=C\exp \left({\frac {-A}{T}}+{\frac {B}{T^{2}}}\right)$	узкий	нет
Экспонента	$S(T)=CT^{A}$	широкий	нет

См. также

• Закон Стефана – Больцмана
• Закон Планка
• Закон Рэлея – Джинса
• Венское приближение
• Закон смещения Вина
• Закон теплового излучения Кирхгофа
• Инфракрасный термометр
• Пирометр
• Тонкопильная пирометрия
• Термография
• Черное тело
• Тепловое излучение
• Сияние
• Коэффициент излучения
• Подкомитет ASTM E20.02 по радиационной термометрии