Унитарное преобразование (квантовая механика)

Чтобы узнать о других значениях, см. Преобразование .

В квантовой механике уравнение Шрёдингера описывает, как система изменяется со временем. Это делается путем связывания изменений состояния системы с энергией в системе (задаваемой оператором, называемым гамильтонианом ) . Следовательно, если известен гамильтониан, то и временная динамика в принципе известна. Все, что остается, — это подставить гамильтониан в уравнение Шредингера и определить состояние системы как функцию времени.

Однако зачастую уравнение Шрёдингера сложно решить ( даже с помощью компьютера ). Поэтому физики разработали математические методы, позволяющие упростить эти проблемы и прояснить, что происходит физически. Одним из таких методов является применение унитарного преобразования к гамильтониану. Это может привести к упрощенной версии уравнения Шредингера, которая, тем не менее, имеет то же решение, что и исходное.

Трансформация

Унитарное преобразование (или смена системы отсчета) может быть выражено через зависящий от времени гамильтониан $H(t)$ и унитарный оператор $U(t)$. При этом изменении гамильтониан преобразуется как:

$H\to UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{{\dot {U}}U^{\dagger }}=:{\breve {H}}\quad \quad (0)$.

Уравнение Шредингера применимо к новому гамильтониану. Решения непреобразованных и преобразованных уравнений также связаны соотношением $U$. В частности, если волновая функция $\psi (t)$ удовлетворяет исходному уравнению, то $U\psi (t)$ будет удовлетворять новому уравнению.

Вывод

что по определению унитарной матрицы Напомним , $U^{\dagger }U=1$. Начнем с уравнения Шредингера:

${\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}H\psi$,

поэтому мы можем вставить $U^{\dagger }U$ по желанию. В частности, вставив его после $H/\hbar$ а также предварительно умножив обе части на $U$, мы получаем

$U{\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(UHU^{\dagger }\right)U\psi \quad \quad (1)$.

Далее обратите внимание, что по правилу произведения

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(U\psi \right)={\dot {U}}\psi +U{\dot {\psi }}$.

Вставка другого $U^{\dagger }U$ и переставив, получим

$U{\dot {\psi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}-{\dot {U}}U^{\dagger }U\psi \quad \quad (2)$.

Наконец, объединение (1) и (2) выше приводит к желаемому преобразованию:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}=-{\frac {i}{\hbar }}{\Big (}UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{\dot {U}}{U^{\dagger }}{\Big )}{\Big (}U\psi {\Big )}\quad \quad \left(3\right)$.

Если принять обозначение ${\breve {\psi }}:=U\psi$ для описания преобразованной волновой функции уравнения можно записать в более наглядном виде. Например, $(3)$ можно переписать как

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\breve {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}{\breve {H}}{\breve {\psi }}\quad \quad \left(4\right)$,

которое можно переписать в виде исходного уравнения Шрёдингера:

${\breve {H}}{\breve {\psi }}=i\hbar {\operatorname {d} \!{\breve {\psi }} \over \operatorname {d} \!t}.$

Исходную волновую функцию можно восстановить как $\psi =U^{\dagger }{\breve {\psi }}$.

Отношение к картинке взаимодействия

Унитарные преобразования можно рассматривать как обобщение картины взаимодействия (Дирака) . В последнем подходе гамильтониан разбивается на независимую от времени часть и зависящую от времени часть:

$H(t)=H_{0}+V(t)\quad \quad (a)$.

В этом случае уравнение Шредингера принимает вид

${\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(e^{iH_{0}t/\hbar }Ve^{-iH_{0}t/\hbar }\right)\psi _{I}$, с $\psi _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }\psi$.

Соответствие унитарному преобразованию можно показать, выбрав ${\textstyle U(t)=\exp \left[{+iH_{0}t/\hbar }\right]}$. Как результат, ${U^{\dagger }}(t)=\exp \left[{-iH_{0}t}/\hbar \right].$

Используя обозначения из $(0)$ выше, наш преобразованный гамильтониан становится

${\breve {H}}=U\left[H_{0}+V(t)\right]U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }\quad \quad (b)$

Прежде всего отметим, что поскольку $U$ является функцией $H_{0}$, эти двое должны добираться до работы . Затем

$UH_{0}U^{\dagger }=H_{0}$,

который заботится о первом члене преобразования в $(b)$, то есть ${\breve {H}}=H_{0}+UV(t)U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }$. Затем используйте цепное правило для расчета

${\begin{aligned}i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }&=i\hbar \left({\operatorname {d} \!U \over \operatorname {d} \!t}\right)e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar {\Big (}iH_{0}/\hbar {\Big )}e^{+iH_{0}t/\hbar }e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar \left({iH_{0}}/\hbar \right)\\&=-H_{0},\\\end{aligned}}$

который отменяется с другим $H_{0}$. Очевидно, нам осталось ${\breve {H}}=UVU^{\dagger }$, уступая ${\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}UVU^{\dagger }\psi _{I}$ как показано выше.

Однако при применении общего унитарного преобразования не обязательно, чтобы $H(t)$ разбить на части или даже $U(t)$ быть функцией любой части гамильтониана.

Примеры

Вращающаяся рамка

Рассмотрим атом с двумя состояниями , основным $|g\rangle$ и взволнован $|e\rangle$. Атом имеет гамильтониан $H=\hbar \omega {|{e}\rangle \langle {e}|}$, где $\omega$ — частота света , связанная с ge -переходом . Теперь предположим, что мы освещаем атом двигателем с частотой $\omega _{d}$ которое связывает два состояния, и что зависящий от времени гамильтониан равен

$H/\hbar =\omega |e\rangle \langle e|+\Omega \ e^{i\omega _{d}t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ e^{-i\omega _{d}t}|e\rangle \langle g|$

для некоторой сложной силы привода $\Omega$. Из-за конкурирующих частотных масштабов ( $\omega$, $\omega _{d}$, и $\Omega$), трудно предугадать эффект привода (см. ведомое гармоническое движение ).

Без привода фаза $|e\rangle$ будет колебаться относительно $|g\rangle$. В представлении сферы Блоха системы с двумя состояниями это соответствует вращению вокруг оси z. Концептуально мы можем удалить этот компонент динамики, войдя во вращающуюся систему отсчета, определяемую унитарным преобразованием. $U=e^{i\omega t|e\rangle \langle e|}$. В результате этого преобразования гамильтониан принимает вид

$H/\hbar \to \Omega \,e^{i(\omega _{d}-\omega )t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\,e^{i(\omega -\omega _{d})t}|e\rangle \langle g|$.

Если частота возбуждения равна частоте перехода ge, $\omega _{d}=\omega$, резонанс произойдет , и тогда приведенное выше уравнение сводится к

${\breve {H}}/\hbar =\Omega \ |g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ |e\rangle \langle g|$.

Отсюда очевидно, даже не вдаваясь в подробности, что динамика будет включать в себя колебания между основным и возбужденным состояниями с частотой $\Omega$.

В качестве еще одного предельного случая предположим, что привод далеко не резонансный: $|\omega _{d}-\omega |\gg 0$. В этом случае мы можем выяснить динамику, не решая напрямую уравнение Шрёдингера. Предположим, что система запускается в основном состоянии. $|g\rangle$. Первоначально гамильтониан будет заполнять некоторую компоненту $|e\rangle$. Однако через некоторое время он заселит примерно такое же количество $|e\rangle$ но с совершенно другой фазой. Таким образом, эффект нерезонансного возбуждения будет иметь тенденцию нивелироваться. внерезонансный двигатель быстро вращается Это также можно выразить, сказав, что в системе атома .

Эти концепции проиллюстрированы в таблице ниже, где сфера представляет сферу Блоха , стрелка представляет состояние атома, а рука представляет собой стремление.

	Лабораторная рамка	Вращающаяся рамка
Резонансный привод	Резонансный привод в лабораторном корпусе	Резонансный привод во вращающейся вместе с атомом рамке
Внерезонансный привод	Внерезонансный привод в лабораторном корпусе	Внерезонансный привод во вращающейся вместе с атомом рамке

Смещенная рамка

Приведенный выше пример также можно было бы проанализировать в картине взаимодействия. Однако следующий пример труднее анализировать без общей формулировки унитарных преобразований. Рассмотрим два гармонических генератора , между которыми мы хотели бы создать взаимодействие светоделителей :

$g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b$.

Это было достигнуто экспериментально с помощью двух резонаторов микроволнового резонатора, служивших в качестве $a$ и $b$. Ниже мы кратко опишем анализ упрощенной версии этого эксперимента.

Помимо микроволновых резонаторов в эксперименте также участвовал трансмонный кубит , $c$, в сочетании с обоими режимами. Кубит вращается одновременно на двух частотах: $\omega _{1}$ и $\omega _{2}$, для чего $\omega _{1}-\omega _{2}=\omega _{a}-\omega _{b}$.

$H_{\mathrm {drive} }/\hbar =\Re \left[\epsilon _{1}e^{i\omega _{1}t}+\epsilon _{2}e^{i\omega _{2}t}\right](c+c^{\dagger }).$

Кроме того, существует множество четвертого порядка, членов связывающих моды , но большинством из них можно пренебречь. В этом эксперименте важными станут два таких термина:

$H_{4}/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}{\Big )}c^{\dagger }c$.

(Hc — это сокращение от эрмитова сопряжения .) Мы можем применить преобразование смещения : $U=D(-\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}-\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})$, в режим $c$. Для тщательно выбранных амплитуд это преобразование отменит $H_{\textrm {drive}}$ одновременно вытесняя оператора лестницы, $c\to c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t}$. Это оставляет нам

$H/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+e^{i(\omega _{a}-\omega _{b})t}a^{\dagger }b{\big )}(c^{\dagger }+\xi _{1}^{*}e^{i\omega _{1}t}+\xi _{2}^{*}e^{i\omega _{2}t})(c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})$.

Разлагая это выражение и опуская быстро вращающиеся члены, мы получаем искомый гамильтониан:

$H/\hbar =g_{4}\xi _{1}^{*}\xi _{2}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a}+\omega _{1}-\omega _{2})t}\ ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}=g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b$.

Связь с формулой Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа.

Обычно операторы, участвующие в унитарных преобразованиях, записываются как экспоненты операторов, $U=e^{X}$, как видно выше. Кроме того, операторы в экспонентах обычно подчиняются соотношению $X^{\dagger }=-X$, так что преобразование оператора $Y$ является, $UYU^{\dagger }=e^{X}Ye^{-X}$. Представляя теперь коммутатор-итератор,

$[(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,$

мы можем использовать специальный результат формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, чтобы компактно записать это преобразование как:

$e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}},$

или, в длинной форме для полноты,

$e^{X}Ye^{-X}=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .$