Каноническое квантование

В физике каноническое квантование — это процедура квантования классической теории с попыткой сохранить формальную структуру, например симметрию , классической теории в максимально возможной степени.

Исторически это не был Вернера Гейзенберга путь к получению квантовой механики , но Поль Дирак представил его в своей докторской диссертации 1926 года «метод классической аналогии» для квантования. ^[1] и подробно описал это в своем классическом труде «Принципы квантовой механики» . ^[2] Слово «канонический» происходит от гамильтонового подхода к классической механике, в котором динамика системы генерируется с помощью канонических скобок Пуассона , структуры, которая лишь частично сохраняется при каноническом квантовании.

Этот метод в дальнейшем был использован Полем Дираком в контексте квантовой теории поля , при построении квантовой электродинамики . В контексте теории поля его также называют вторым квантованием полей, в отличие от полуклассического первого квантования одиночных частиц.

История

была впервые разработана, Когда квантовая физика она занималась только квантованием движения частиц , , оставляя электромагнитное поле классическим отсюда и название квантовая механика . ^[3]

Позже электромагнитное поле также было квантовано, и даже сами частицы стали представляться через квантованные поля, что привело к развитию квантовой электродинамики (КЭД) и квантовой теории поля в целом. ^[4] Таким образом, по соглашению исходная форма квантовой механики частиц обозначается первым квантованием , а квантовая теория поля формулируется на языке второго квантования .

Первое квантование

Одночастичные системы

Следующее изложение основано на трактате Дирака по квантовой механике. ^[2]В классической механике частицы существуют динамические переменные, которые называются координатами ( $x$ ) и импульсами ( $p$ ). Они определяют состояние классической системы. Каноническая структура (также известная как симплектическая структура) классической механики состоит из скобок Пуассона, заключающих в себе эти переменные, например ${x, p} = 1$ . Все преобразования переменных, сохраняющие эти скобки, разрешены как канонические преобразования в классической механике. Движение само по себе является такой канонической трансформацией.

Напротив, в квантовой механике все существенные свойства частицы содержатся в состоянии $|\psi \rangle$ , называемое квантовым состоянием . Наблюдаемые представлены операторами, действующими в гильбертовом пространстве таких квантовых состояний .

Собственное значение оператора, действующего на одно из его собственных состояний, представляет собой значение измерения представленной таким образом частицы. Например, энергия считывается гамильтоновым оператором ${\hat {H}}$ действуя на государство $|\psi _{n}\rangle$ , уступая ${\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,$ где $En этим$ — характерная энергия, связанная с $|\psi _{n}\rangle$ собственное состояние .

Любое состояние можно представить как линейную комбинацию собственных состояний энергии; например, $|\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,$ где $n —$ постоянные коэффициенты.

Как и в классической механике, все динамические операторы могут быть представлены функциями положения и импульса: ${\hat {X}}$ и ${\hat {P}}$ , соответственно. Связь между этим представлением и более обычным представлением волновой функции задается собственным состоянием оператора положения ${\hat {X}}$ представление частицы в позиции $x$ , который обозначается элементом $|x\rangle$ в гильбертовом пространстве и которое удовлетворяет ${\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle$ . Затем, $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$ .

Аналогично, собственные состояния $|p\rangle$ оператора импульса ${\hat {P}}$ укажите представление импульса : $\psi (p)=\langle p|\psi \rangle$ .

Центральное соотношение между этими операторами представляет собой квантовый аналог указанной выше скобки Пуассона классической механики, коммутационное соотношение каноническое $[{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .$

Это соотношение кодирует (и формально приводит к) принцип неопределенности в форме $Δ x Δ p \geq ħ /2$ . Таким образом, эту алгебраическую структуру можно рассматривать как квантовый аналог канонической структуры классической механики.

Многочастичные системы

При обращении к N-частичным системам, т. е. системам, содержащим N одинаковых частиц (частиц, характеризующихся одинаковыми квантовыми числами, такими как масса , заряд и спин ), необходимо расширить одночастичную функцию состояния $\psi (\mathbf {r} )$ к функции состояния N-частиц $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})$ . Фундаментальное различие между классической и квантовой механикой касается концепции неразличимости идентичных частиц. Таким образом, в квантовой физике возможны только два вида частиц, так называемые бозоны и фермионы, которые подчиняются следующим правилам для каждого вида частиц:

для бозонов: $\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),$
для фермионов: $\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),$

где мы поменяли местами две координаты $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$ государственной функции. Обычная волновая функция получается с использованием определителя Слейтера и теории тождественных частиц . Используя эту основу, можно решать различные многочастичные задачи.

Проблемы и ограничения

Классические и квантовые скобки

книга Дирака ^[2] описывает свое популярное правило замены скобок Пуассона коммутаторами подробно :

$\{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.$

Это предложение можно интерпретировать как утверждение, что нам следует искать «карту квантования». $Q$ отображение функции $f$ на классическом фазовом пространстве оператору $Q_{f}$ в квантовом гильбертовом пространстве такая, что $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ Теперь известно, что не существует разумного такого отображения квантования, удовлетворяющего приведенному выше тождеству точно для всех функций. $f$ и $g$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Теорема Гроневольда

Одной из конкретных версий приведенного выше утверждения о невозможности является теорема Грюневолда (в честь голландского физика-теоретика Хильбранда Дж. Гроневолда ), которую мы для простоты описываем для системы с одной степенью свободы. Давайте примем следующие «основные правила» для карты: $Q$ . Первый, $Q$ должен отправить константную функцию 1 оператору идентификации. Второй, $Q$ должен взять $x$ и $p$ к обычным операторам положения и импульса $X$ и $P$ . Третий, $Q$ должен принимать полином $x$ и $p$ к «полиному» в $X$ и $P$ , то есть конечные линейные комбинации произведений $X$ и $P$ , которые можно брать в любом желаемом порядке. В своей простейшей форме теорема Гроневольда утверждает, что не существует отображения, удовлетворяющего приведенным выше основным правилам, а также условию скобок. $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ для всех полиномов $f$ и $g$ .

Фактически отсутствие такого отображения происходит уже к моменту достижения полиномов четвертой степени. Обратите внимание, что скобка Пуассона двух многочленов четвертой степени имеет шестую степень, поэтому не имеет смысла требовать от отображения многочленов четвертой степени соблюдения условия скобки. Однако мы можем потребовать, чтобы условие скобки выполнялось, когда $f$ и $g$ иметь третью степень. Теорема Гроневольда ^[5] можно сформулировать следующим образом:

Теорема — Отображения квантования не существует. $Q$ (следуя приведенным выше основным правилам) на полиномах степени меньше или равной четырем, удовлетворяющих условию $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ в любое время $f$ и $g$ иметь степень меньше или равную трем. (Обратите внимание, что в этом случае $\{f,g\}$ имеет степень меньше или равную четырем.)

Доказательство можно изложить следующим образом. ^[6]^[7] Предположим, мы сначала пытаемся найти карту квантования полиномов степени меньше или равной трем, удовлетворяющую условию скобок всякий раз, когда $f$ имеет степень меньше или равную двум и $g$ имеет степень меньше или равную двум. Тогда существует ровно одно такое отображение, и это квантование Вейля . Результат о невозможности теперь получается путем записи одного и того же многочлена четвертой степени в виде скобки Пуассона из многочленов третьей степени двумя разными способами . В частности, у нас есть $x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}$ С другой стороны, мы уже видели, что если и должно существовать отображение квантования полиномов третьей степени, то это должно быть квантование Вейля; то есть мы уже определили единственно возможное квантование всех кубических полиномов, приведенных выше.

Аргумент завершается вычислением методом грубой силы, что ${\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]$ не совпадает с ${\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].$ Таким образом, мы имеем два несовместимых требования к значению $Q(x^{2}p^{2})$ .

Аксиомы квантования

Если $Q$ представляет собой карту квантования, которая действует на функции $f$ в классическом фазовом пространстве, то желательными обычно считаются следующие свойства: ^[8]

$Q_{x}\psi =x\psi$ и $Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~$ (элементарные операторы позиции/импульса)
$f\longmapsto Q_{f}~~$ это линейная карта
$[Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~$ (скобка Пуассона)
$Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~$ (правило фон Неймана).

Однако не только эти четыре свойства несовместимы друг с другом, но и любые три из них также несовместимы! ^[9] Как оказывается, единственные пары этих свойств, которые приводят к самосогласованным, нетривиальным решениям, — это 2 и 3 и, возможно, 1 и 3 или 1 и 4. Принятие свойств 1 и 2 вместе с более слабым условием истинности 3 только асимптотически в пределе $ħ \to 0$ (см. скобку Мойала ), приводит к квантованию деформации , и необходимо предоставить некоторую постороннюю информацию, как и в стандартных теориях, используемых в большей части физики. Принятие свойств 1, 2 и 3, но ограничение пространства квантованных наблюдаемых для исключения таких терминов, как кубические в приведенном выше примере, равнозначно геометрическому квантованию .

Второе квантование: теория поля

Квантовая механика преуспела в описании нерелятивистских систем с фиксированным числом частиц, но для описания систем, в которых частицы могут создаваться или уничтожаться, требовалась новая основа, например, электромагнитное поле, рассматриваемое как совокупность фотонов. В конце концов стало понятно, что специальная теория относительности несовместима с одночастичной квантовой механикой, так что все частицы теперь описываются релятивистски с помощью квантовых полей .

Когда процедура канонического квантования применяется к полю, например к электромагнитному полю, классические переменные поля становятся квантовыми операторами . Таким образом, нормальные моды, составляющие амплитуду поля, представляют собой простые генераторы, каждый из которых квантуется стандартным первым квантованием, описанным выше, без двусмысленности. Образующиеся кванты отождествляются с отдельными частицами или возбуждениями. Например, кванты электромагнитного поля отождествляются с фотонами. В отличие от первого квантования, обычное второе квантование является совершенно однозначным, по сути, функтором , поскольку составляющее множество его осцилляторов квантуется однозначно.

Исторически сложилось так, что квантование классической теории одиночной частицы привело к появлению волновой функции. Классические уравнения движения поля обычно идентичны по форме (квантовым) уравнениям для волновой функции одного из его квантов . Например, уравнение Клейна-Гордона является классическим уравнением движения свободного скалярного поля, а также квантовым уравнением для волновой функции скалярной частицы. Это означало, что квантование поля оказалось похожим на квантование теории, которая уже была квантована, что привело к появлению в ранней литературе причудливого термина «второе квантование» , который до сих пор используется для описания квантования поля, хотя его современная интерпретация отличается.

Одним из недостатков канонического квантования релятивистского поля является то, что при использовании гамильтониана для определения временной зависимости релятивистская инвариантность больше не проявляется. При этом необходимо проверить, что релятивистская инвариантность не потеряна. В качестве альтернативы интегральный подход Фейнмана для квантования релятивистских полей доступен , который явно инвариантен. Для нерелятивистских теорий поля, таких как те, которые используются в физике конденсированного состояния , лоренц-инвариантность не является проблемой.

Полевые операторы

С квантовой механики переменные поля (например, амплитуда поля в данной точке) представлены операторами в гильбертовом пространстве . В общем, все наблюдаемые строятся как операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция операторов во времени определяется гамильтонианом , который должен быть положительным оператором. Государство $|0\rangle$ аннулируемое гамильтонианом, должно быть идентифицировано как состояние вакуума , которое является основой построения всех остальных состояний. В теории невзаимодействующего (свободного) поля вакуум обычно идентифицируется как состояние, содержащее ноль частиц. В теории с взаимодействующими частицами идентификация вакуума более тонкая из-за поляризации вакуума , что означает, что физический вакуум в квантовой теории поля никогда не бывает пустым. Для дальнейшего развития см. статьи о квантовомеханическом вакууме и вакууме квантовой хромодинамики . Детали канонического квантования зависят от квантоваемого поля и от того, является ли оно свободным или взаимодействующим.

Действительное скалярное поле

Скалярная теория поля представляет собой хороший пример процедуры канонического квантования. ^[10] Классически скалярное поле представляет собой совокупность бесконечного числа осциллятора нормальных мод . Достаточно рассмотреть 1+1-мерное пространство-время. $\mathbb {R} \times S_{1},$ в котором пространственное направление компактифицируется до окружности 2 $π$ , что делает импульсы дискретными.

Классическая лагранжева плотность описывает бесконечность связанных гармонических осцилляторов , помеченных знаком $x$ , который теперь является меткой (а не динамической переменной смещения, подлежащей квантованию), обозначаемой классическим полем $φ$ , ${\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),$ где $V (φ)$ — потенциальный член, часто принимаемый за полином или моном степени 3 или выше. Функционал действия – это $S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.$ Канонический импульс, полученный преобразованием Лежандра с использованием действия $L,$ равен $\pi =\partial _{t}\phi$ , а классический гамильтониан оказывается равным $H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].$

Каноническое квантование рассматривает переменные $φ$ и $π$ как операторы с каноническими коммутационными соотношениями в момент времени $t$ = 0, заданными формулой $[\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).$ Операторы, построенные из $φ$ и $π,$ затем могут быть формально определены в другое время с помощью временной эволюции, порождаемой гамильтонианом: ${\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.$

Однако, поскольку $φ$ и $π$ больше не коммутируют, это выражение неоднозначно на квантовом уровне. Проблема состоит в том, чтобы построить представление соответствующих операторов ${\mathcal {O}}$ в гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ и построить положительный оператор $H$ как квантовый оператор в этом гильбертовом пространстве таким образом, чтобы он давал такую эволюцию для операторов ${\mathcal {O}}$ как дано предыдущим уравнением, и показать, что ${\mathcal {H}}$ содержит состояние вакуума $|0\rangle$ на котором $H$ имеет нулевое собственное значение. На практике эта конструкция представляет собой трудную задачу для взаимодействующих теорий поля и полностью решена лишь в нескольких простых случаях методами конструктивной квантовой теории поля . Многие из этих проблем можно обойти, используя интеграл Фейнмана, описанный для конкретного $V (φ)$ в статье по скалярной теории поля .

В случае свободного поля с $V (φ) = 0$ процедура квантования относительно проста. удобно преобразовать Фурье Поля так, что $\phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.$ Реальность полей подразумевает, что $\phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.$ Классический гамильтониан можно разложить по модам Фурье как $H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],$ где $\omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ .

Таким образом, этот гамильтониан можно распознать как бесконечную сумму классических нормальной моды возбуждений осциллятора $φ k$ , каждое из которых квантуется стандартным образом , поэтому свободный квантовый гамильтониан выглядит идентично. Именно $φ k$ s стали операторами, подчиняющимися стандартным коммутационным соотношениям, $[φ k, π k †] = [φ k †, π k] = iħ$ , при этом все остальные обращаются в нуль. Таким образом, коллективное гильбертово пространство всех этих осцилляторов строится с использованием операторов рождения и уничтожения, построенных на основе этих мод: $a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),$ для которого $[a k, a k †] = 1$ для всех $k$ , при этом все остальные коммутаторы обращаются в нуль.

Вакуум $|0\rangle$ считается аннулируемым всеми $a k$ , и ${\mathcal {H}}$ — гильбертово пространство, построенное путем применения любой комбинации бесконечного набора операторов рождения $a k$ ^† к $|0\rangle$ . Это гильбертово пространство называется пространством Фока . Для каждого $k$ эта конструкция идентична квантовому гармоническому осциллятору . Квантовое поле представляет собой бесконечный массив квантовых осцилляторов. Квантовый гамильтониан тогда составит $H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},$ где $N k$ можно интерпретировать как числовой оператор, задающий количество частиц в состоянии с импульсом $k$ .

Этот гамильтониан отличается от предыдущего выражения вычитанием нулевой энергии $ħω k /2$ каждого гармонического осциллятора. Это удовлетворяет условию, согласно которому $H$ должен аннигилировать вакуум, не влияя на эволюцию операторов во времени посредством описанной выше операции возведения в степень. Это вычитание энергии нулевой точки можно рассматривать как разрешение неоднозначности порядка квантовых операторов, поскольку оно эквивалентно требованию, чтобы все операторы рождения появлялись слева от операторов уничтожения в разложении гамильтониана. Эта процедура известна как упорядочение Вика или нормальное упорядочение .

Другие поля

Все остальные поля можно квантовать путем обобщения этой процедуры. Векторные или тензорные поля просто имеют больше компонентов, и для каждого независимого компонента необходимо ввести независимые операторы создания и уничтожения. Если поле обладает какой-либо внутренней симметрией , то операторы рождения и разрушения необходимо ввести и для каждой компоненты поля, относящейся к этой симметрии. Если существует калибровочная симметрия , то количество независимых компонентов поля необходимо тщательно проанализировать, чтобы избежать чрезмерного подсчета эквивалентных конфигураций, и калибровочную фиксацию при необходимости можно применить .

Оказывается, коммутационные соотношения полезны только для квантования бозонов , у которых число заполнения любого состояния не ограничено. Для квантования фермионов , удовлетворяющих принципу Паули , необходимы антикоммутаторы. Они определяются формулой ${A, B} = AB + BA$ .

При квантовании фермионов поля расширяются по операторам рождения и уничтожения $θ k †$ , $θ k$ , которые удовлетворяют $\{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.$

Государства построены на вакууме $|0\rangle$ аннулируется $θ k$ , а пространство Фока строится путем применения всех произведений операторов рождения $θ k †$ до |0⟩ . Принцип исключения Паули выполняется, поскольку $(\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0$ , в силу антикоммутационных соотношений.

Конденсаты

Приведенная выше конструкция состояний скалярного поля предполагала, что потенциал был минимизирован при $φ$ = 0, так что вакуум, минимизирующий гамильтониан, удовлетворяет $⟨ φ ⟩ = 0$ , что указывает на то, что вакуумное математическое ожидание (VEV) поля равно нулю. В случаях спонтанного нарушения симметрии возможно иметь ненулевое значение VEV, поскольку потенциал минимизируется для значения $φ$ = $v$ . Это происходит, например, если $V (φ) = gφ 4 - 2 м 2 ж 2$ с $g > 0$ и $m 2 > 0$ , для которого минимальная энергия находится при $v = \pm m / \sqrt g$ . Величину $v$ в одном из этих вакуумов можно рассматривать как конденсат поля $φ$ . Тогда каноническое квантование может быть выполнено для сдвинутого поля $φ (x, t) - v$ , а состояния частиц относительно сдвинутого вакуума определяются путем квантования сдвинутого поля. Эта конструкция используется в механизме Хиггса в стандартной модели физики элементарных частиц .

Математическое квантование

Квантование деформации

Классическая теория описывается с использованием пространственноподобного слоения пространства -времени, в котором состояние в каждом слое описывается элементом симплектического многообразия , временная эволюция которого задается симплектоморфизмом, порожденным функцией Гамильтона над симплектическим многообразием. Квантовая алгебра «операторов» представляет собой $ħ$ - деформацию алгебры гладких функций над симплектическим пространством такую, что главный член в разложении Тейлора по $ħ$ коммутатора , $[A, B],$ выраженный в формулировке фазового пространства равен $iħ {А, Б}$ . (Здесь фигурные скобки обозначают скобку Пуассона . Все подведущие члены закодированы в скобке Мойала , подходящей квантовой деформации скобки Пуассона.) В общем, для рассматриваемых величин (наблюдаемых)и, учитывая аргументы таких скобок, ħ -деформации весьма неоднозначны - квантование - это «искусство», и оно определяется физическим контекстом.(Две разные квантовые системы могут представлять собой две разные, неэквивалентные деформации одной и той же классический предел , $ħ \to 0.$ )

Теперь мы ищем унитарные представления этой квантовой алгебры. По отношению к такому унитарному представлению симплектоморфизм в классической теории теперь деформировался бы в (метаплектическое) унитарное преобразование . В частности, симплектоморфизм временной эволюции, порожденный классическим гамильтонианом, деформируется до унитарного преобразования, порожденного соответствующим квантовым гамильтонианом.

Дальнейшее обобщение состоит в том, чтобы рассмотреть пуассоновское многообразие вместо симплектического пространства для классической теории и выполнить ħ -деформацию соответствующей пуассоновой алгебры или даже пуассоновского супермногообразия .

Геометрическое квантование

В отличие от теории деформационного квантования, описанной выше, геометрическое квантование направлено на построение реального гильбертова пространства и операторов на нем. Начиная с симплектического многообразия $M$ , сначала строится предквантовое гильбертово пространство, состоящее из пространства интегрируемых с квадратом сечений соответствующего линейного расслоения над $M$ . В этом пространстве можно отобразить все классические наблюдаемые в операторы в предквантовом гильбертовом пространстве, причем коммутатор точно соответствует скобке Пуассона. Однако предквантовое гильбертово пространство явно слишком велико, чтобы описать квантование $M$ .

Затем мы переходим к выбору поляризации, то есть (грубо) к выбору $n$ переменные на $2n$ -мерное фазовое пространство. Квантовое гильбертово пространство — это пространство сечений, которые зависят только от $n$ выбранные переменные в том смысле, что они ковариантно постоянны в других $n$ направления. Если выбранные переменные действительны, мы получим нечто вроде традиционного гильбертова пространства Шредингера. Если выбранные переменные комплексные, мы получим что-то вроде пространства Сигала–Баргмана .

См. также

Ссылки

^ Дирак, ПАМ (1925). «Основные уравнения квантовой механики» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 109 (752): 642–653. Бибкод : 1925RSPSA.109..642D . дои : 10.1098/rspa.1925.0150 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Дирак, ПАМ (1982). Принципы квантовой механики . США: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-852011-5 .
^ ван дер Варден, БЛ (1968). Источники квантовой механики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486618811 .
^ Швебер, СС (1983). QED и люди, которые это сделали . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691033277 .
^ Холл, 2013 г. , Теорема 13.13.
^ Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7). Эльзевир Б.В.: 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/s0031-8914(46)80059-4 . ISSN 0031-8914 .
^ Зал 2013 г., раздел 13.4.
^ Шевелл, Джон Роберт (1959). «О формировании квантово-механических операторов». Американский журнал физики . 27 (1). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 16–21. Бибкод : 1959AmJPh..27...16S . дои : 10.1119/1.1934740 . ISSN 0002-9505 .
^ АЛИ, С. ТВАРЕК; Английский, МИРОСЛАВ (2005). «Методы квантования: Руководство для физиков и аналитиков». Обзоры по математической физике . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . дои : 10.1142/s0129055x05002376 . ISSN 0129-055X . S2CID 119152724 .
^ Эта трактовка основана в первую очередь на гл. 1 в Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008). Некоммутативная геометрия, квантовые поля и мотивы (PDF) . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4210-2 . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2009 г. Проверено 16 мая 2010 г.

Исторические справки

Сильван С. Швебер : QED и люди, которые это сделали , Princeton Univ. Пресс, 1994, ISBN 0-691-03327-7

Общие технические ссылки

Александр Альтланд, Бен Саймонс: Теория поля конденсированного состояния , Кембриджский университет. Пресс, 2009, ISBN 978-0-521-84508-3
Джеймс Д. Бьоркен, Сидни Д. Дрелл: Релятивистская квантовая механика , Нью-Йорк, МакГроу-Хилл, 1964 г.
Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H , ISBN 978-1461471158 .
«Введение в квантовую теорию поля » М.Е. Пескина и Х.Д. Шрёдера. ISBN 0-201-50397-2
Франц Швабль: Передовая квантовая механика , Берлин и другие места, Springer, 2009 г. ISBN 978-3-540-85061-8

Внешние ссылки

Что такое «релятивистское каноническое квантование»?
Педагогические помощники по квантовой теории поля Щелкните ссылки, чтобы перейти к главам. 1 и 2 на этом сайте, где вы найдете подробное и упрощенное введение во вторичное квантование. См. разд. 1.5.2 в гл. 1. См. разд. 2.7 и краткое содержание главы в гл. 2.

[1] Дирак, ПАМ (1925). «Основные уравнения квантовой механики» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 109 (752): 642–653. Бибкод : 1925RSPSA.109..642D . дои : 10.1098/rspa.1925.0150 .

[dirac-2] Jump up to: ^а ^б ^с Дирак, ПАМ (1982). Принципы квантовой механики . США: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-852011-5 .

[van_der_Waerden-3] ван дер Варден, БЛ (1968). Источники квантовой механики . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486618811 .

[Schweber-4] Швебер, СС (1983). QED и люди, которые это сделали . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691033277 .

[5] Холл, 2013 г. , Теорема 13.13.

[6] Гроневолд, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7). Эльзевир Б.В.: 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G . дои : 10.1016/s0031-8914(46)80059-4 . ISSN 0031-8914 .

[7] Зал 2013 г., раздел 13.4.

[8] Шевелл, Джон Роберт (1959). «О формировании квантово-механических операторов». Американский журнал физики . 27 (1). Американская ассоциация учителей физики (AAPT): 16–21. Бибкод : 1959AmJPh..27...16S . дои : 10.1119/1.1934740 . ISSN 0002-9505 .

[9] АЛИ, С. ТВАРЕК; Английский, МИРОСЛАВ (2005). «Методы квантования: Руководство для физиков и аналитиков». Обзоры по математической физике . 17 (4): 391–490. arXiv : math-ph/0405065 . дои : 10.1142/s0129055x05002376 . ISSN 0129-055X . S2CID 119152724 .

[10] Эта трактовка основана в первую очередь на гл. 1 в Конн, Ален ; Марколли, Матильда (2008). Некоммутативная геометрия, квантовые поля и мотивы (PDF) . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4210-2 . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2009 г. Проверено 16 мая 2010 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]